Tronc Commun Sciences · Semestre 2

Trigonométrie 2 — Équations et inéquations trigonométriques

Résoudre cos x = a, sin x = a, tan x = a, puis les inéquations trigonométriques associées à l'aide du cercle trigonométrique : cours complet et 15 exercices corrigés en détail.

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cosx = aéquations & inéquations trigonométriques

00 · Ce qu'il faut déjà savoir

Rappels sur le cercle trigonométrique

Ce chapitre prolonge directement la trigonométrie 1 : quelques rappels rapides avant d'attaquer les équations et inéquations.

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ . Le cercle $\mathcal C$ de centre $O$ et de rayon $1$ , d'origine $I$ , est le cercle trigonométrique.

Pour $x\in\mathbb R$ , il existe un unique point $M$ de $\mathcal C$ d'abscisse curviligne $x$ ; $\cos x$ et $\sin x$ sont l'abscisse et l'ordonnée de $M$ dans $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ .

Valeurs remarquables et angles associés

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}2$	$\dfrac{\sqrt2}2$	$\dfrac12$	$0$
$\sin x$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}2$	$\dfrac{\sqrt3}2$	$1$
$\tan x$	$0$	$\dfrac{\sqrt3}3$	$1$	$\sqrt3$	indéfini

Angles opposés / supplémentaires —

\cos(-x)=\cos x

\sin(-x)=-\sin x

\cos(\pi-x)=-\cos x

\sin(\pi-x)=\sin x

Périodicité —

\cos(x+2k\pi)=\cos x

\sin(x+2k\pi)=\sin x

\tan(x+k\pi)=\tan x

(

k\in\mathbb Z

01 · Résoudre cos x = a, sin x = a, tan x = a

Équations trigonométriques

Dans toute cette partie, le plan est muni du repère orthonormé direct lié au cercle trigonométrique C d'origine I.

A. Équations de la forme $\cos x=a$

Propriété

Soit

a\in\mathbb R

Si $a\notin[-1,1]$ , l'équation $\cos x=a$ n'a aucune solution.
Si $a\in[-1,1]$ , on cherche $\alpha$ tel que $\cos\alpha=a$ ; alors :

\cos x=\cos\alpha \iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=-\alpha+2k\pi\ \ (k\in\mathbb Z)

a=0

x=\dfrac{\pi}2+k\pi

a=1

x=2k\pi

a=-1

x=\pi+2k\pi

Exemple résolu

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $\cos x=\dfrac12$ .

$\cos\dfrac{\pi}3=\dfrac12$ , donc $\cos x=\cos\dfrac{\pi}3$ , d'où $x=\dfrac{\pi}3+2k\pi$ ou $x=-\dfrac{\pi}3+2k\pi$ ( $k\in\mathbb Z$ ).

$S=\left\{\dfrac{\pi}3+2k\pi\,;\,-\dfrac{\pi}3+2k\pi\ /\ k\in\mathbb Z\right\}$

B. Équations de la forme $\sin x=a$

Propriété

Soit

a\in\mathbb R

Si $a\notin[-1,1]$ , aucune solution.
Si $a\in[-1,1]$ , on cherche $\alpha$ tel que $\sin\alpha=a$ ; alors :

\sin x=\sin\alpha \iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=\pi-\alpha+2k\pi\ \ (k\in\mathbb Z)

a=0

x=k\pi

a=1

x=\dfrac{\pi}2+2k\pi

a=-1

x=-\dfrac{\pi}2+2k\pi

Exemple résolu

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $\sin x=-\dfrac{\sqrt2}2$ .

$\sin\left(-\dfrac{\pi}4\right)=-\dfrac{\sqrt2}2$ , donc $x=-\dfrac{\pi}4+2k\pi$ ou $x=\pi-\left(-\dfrac{\pi}4\right)+2k\pi=\dfrac{5\pi}4+2k\pi$ .

$S=\left\{-\dfrac{\pi}4+2k\pi\,;\,\dfrac{5\pi}4+2k\pi\ /\ k\in\mathbb Z\right\}$

C. Équations de la forme $\tan x=a$

Ensemble de définition

\tan x

n'est définie que si

x\neq\dfrac{\pi}2+k\pi

(

k\in\mathbb Z

). Il faut toujours commencer par exclure ces valeurs.

Propriété

Pour tout

a\in\mathbb R

, l'équation

\tan x=a

admet toujours des solutions (contrairement à

\cos x=a

\sin x=a

). On cherche

\alpha

tel que

\tan\alpha=a

; alors :

\begin{gathered} \tan x=\tan\alpha \\ \iff x=\alpha+k\pi\ \ (k\in\mathbb Z) \end{gathered}

Exemple résolu

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $\tan x=\sqrt3$ .

$\tan\dfrac{\pi}3=\sqrt3$ , donc $\tan x=\tan\dfrac{\pi}3\iff x=\dfrac{\pi}3+k\pi$ . $S=\left\{\dfrac{\pi}3+k\pi\ /\ k\in\mathbb Z\right\}$

Généralisation : $\cos u=\cos v$ , $\sin u=\sin v$ , $\tan u=\tan v$

Propriété (u et v désignent des expressions en x)

$\cos u=\cos v\iff u=v+2k\pi\ \text{ou}\ u=-v+2k\pi$

$\sin u=\sin v\iff u=v+2k\pi\ \text{ou}\ u=\pi-v+2k\pi$

$\tan u=\tan v\iff u=v+k\pi$ (sous réserve que $u,v$ soient définis)

C'est exactement la même propriété que ci-dessus, avec $\alpha$ remplacé par une expression $v$ quelconque : c'est cette forme générale qui permet de résoudre des équations comme $\cos(2x)=\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}3\right)$ (voir exercice 5).

02 · Lire une inégalité sur le cercle

Inéquations trigonométriques

Il n'existe pas de formule générale : on résout systématiquement à l'aide d'une lecture sur le cercle trigonométrique.

Méthode générale

On résout d'abord l'équation associée pour repérer les points frontières sur $\mathcal C$ .
On trace la droite $x=a$ (verticale, pour une inéquation en $\cos$ ) ou $y=a$ (horizontale, pour $\sin$ ), qui partage le segment $[I'I]$ ou $[J'J]$ selon la condition.
On repère l'arc de $\mathcal C$ dont les points vérifient la condition.
On lit les abscisses curvilignes de cet arc, puis on ne garde que celles qui appartiennent à l'intervalle $K$ imposé.

Exemple résolu · inéquation en cosinus

Résoudre dans $[0,2\pi]$ l'inéquation $\cos x\leqslant\dfrac12$ .

$\cos x=\dfrac12$ pour $x=\dfrac{\pi}3$ et $x=\dfrac{5\pi}3$ dans $[0,2\pi]$ . La droite $x=\tfrac12$ partage $[I'I]$ ; les points $M$ d'abscisse $\leqslant\tfrac12$ forment le grand arc « du côté de $I'$ », entre $\tfrac{\pi}3$ et $\tfrac{5\pi}3$ .

$S=\left[\dfrac{\pi}3\,;\,\dfrac{5\pi}3\right]$

Exemple résolu · inéquation en sinus

Résoudre dans $[-\pi,\pi]$ l'inéquation $\sin x\geqslant-\dfrac12$ .

$\sin x=-\dfrac12$ pour $x=-\dfrac{\pi}6$ et $x=-\dfrac{5\pi}6$ dans $[-\pi,\pi]$ . L'arc où l'ordonnée est $<-\tfrac12$ est le petit arc autour de $-\tfrac{\pi}2$ , entre $-\tfrac{5\pi}6$ et $-\tfrac{\pi}6$ : c'est le seul arc à exclure.

$S=\left[-\pi\,;\,-\dfrac{5\pi}6\right]\cup\left[-\dfrac{\pi}6\,;\,\pi\right]$

Exemple résolu · inéquation en tangente

Résoudre dans $\left]-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right[$ l'inéquation $\tan x\geqslant\sqrt3$ .

Sur $\left]-\tfrac{\pi}2,\tfrac{\pi}2\right[$ (un « fuseau » entre deux asymptotes), $\tan$ est strictement croissante, de $-\infty$ à $+\infty$ . Comme $\tan\dfrac{\pi}3=\sqrt3$ , l'inéquation $\tan x\geqslant\sqrt3$ équivaut à $x\geqslant\dfrac{\pi}3$ (à droite de $\pi/3$ , tout en restant avant l'asymptote $\pi/2$ ).

$S=\left[\dfrac{\pi}3\,;\,\dfrac{\pi}2\right[$

Méthode pour tan sur un domaine plus large

Quand l'intervalle contient plusieurs asymptotes

\tfrac{\pi}2+k\pi

, on découpe en « fuseaux »

\left]-\tfrac{\pi}2+k\pi,\tfrac{\pi}2+k\pi\right[

: sur chacun,

\tan

est strictement croissante, ce qui permet de conclure fuseau par fuseau comme ci-dessus.

Entraînement

15 exercices corrigés

Cherchez chaque exercice au brouillon, puis cliquez pour vérifier votre réponse étape par étape.

0 / 15 vérifiés

Équations en cosinus

Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes.

\cos x=\dfrac{\sqrt2}2

\cos x=-\dfrac12

\cos^2x=\dfrac12

Équations en sinus

Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes.

\sin x=\dfrac{\sqrt3}2

\sin x=-\dfrac12

\sin^2x=\dfrac12

Équation avec angle double, sur un intervalle

Résoudre dans $\left]-\pi,\pi\right]$ l'équation $\cos2x=\dfrac{\sqrt3}2$ .

Équations sur un intervalle donné

1) Résoudre dans $\mathbb R$ : $4\tan x+4=0$ .

2) Résoudre dans $\left[-\dfrac{\pi}2,\dfrac{5\pi}2\right]$ : $2\sqrt2\sin x+2=0$ .

Équations cos u = cos v, sin u = sin v, tan u = tan v

1) Résoudre dans $\mathbb R$ : $\cos2x=\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}3\right)$ .

2) Résoudre dans $[0,\pi]$ : $\sin\!\left(2x-\dfrac{\pi}3\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}4-x\right)$ .

3) Résoudre dans $\left]-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right[$ : $\tan\!\left(2x-\dfrac{\pi}5\right)=1$ .

Inéquation en sinus

Résoudre dans $[0,2\pi[$ : $\sin x\geqslant\dfrac12$ .

Inéquation en sinus (bornes négatives)

Résoudre dans $\left]-\pi,\pi\right]$ : $\sin x\leqslant-\dfrac12$ .

Inéquation en cosinus

Résoudre dans $\left]-\pi,\pi\right]$ : $\cos x\geqslant\dfrac{\sqrt2}2$ .

Inéquation en cosinus, intervalle dissymétrique

Résoudre dans $\left]-\dfrac{\pi}2,\pi\right]$ : $\cos x\leqslant\dfrac12$ .

Deux inéquations sur le même intervalle

Résoudre dans $\left]-\pi,\pi\right]$ :

1) $\cos x\leqslant0$ 2) $\sin x\geqslant0$

Inéquation en tangente

Résoudre dans $S=\left]-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right[$ : $\tan x\geqslant1$ .

Inéquation stricte en sinus

Résoudre dans $[0,2\pi]$ : $\sin x>-\dfrac{\sqrt2}2$ .

Inéquation en tangente sur trois fuseaux

Résoudre dans $[-\pi,\pi]$ : $3\tan x-\sqrt3\geqslant0$ .

Inéquation en tangente sur [0, 2π]

Résoudre dans $[0,2\pi]$ : $\tan x-1\geqslant0$ .

Équation du second degré en sin x, produit de facteurs

1) a) Résoudre dans $\mathbb R$ : $2\sin^2x-9\sin x-5=0$ , puis en déduire les solutions dans $[0,2\pi]$ .

b) Résoudre dans $[0,2\pi]$ : $2\sin^2x-9\sin x-5\leqslant0$ .

2) Résoudre dans $[0,\pi]$ : $(2\cos x-1)(\tan x+1)\geqslant0$ .

Trigonométrie 2 — Équations et inéquations trigonométriques · Mathématiques, Tronc Commun Sciences et Technologies, semestre 2.