Transformations du plan

01 · Vocabulaire

Transformation du plan

Une transformation associe à chaque point du plan un unique point image. C'est l'outil qui permet ensuite de définir précisément la symétrie, la translation et l'homothétie.

I

Transformation du plan

Définition

Toute relation qui associe à tout point $M$ du plan $(P)$ un unique point $M'$ de $(P)$ vérifiant une (ou plusieurs) condition(s) s'appelle une transformation du plan $(P)$ , notée $t$ (ou $h$ , $S_{(D)}$ , $S_O$ , $r$ , …).

\begin{gathered} t:(P)\to (P) \\ M\mapsto t(M)=M' \end{gathered}

Vocabulaire

On dit que $t$ transforme $M$ en $M'$ , ou que $M'$ est le transformé (ou l'image) de $M$ par $t$ . On dit aussi que $M$ est un antécédent de $M'$ par $t$ .

02 · Symétries

Symétrie axiale et symétrie centrale

Deux transformations qui envoient chaque point M sur un point M' tel qu'un élément fixe (droite ou point) soit respectivement la médiatrice ou le milieu de [MM'].

II

Symétrie axiale d'axe (D)

Définition

La symétrie axiale $S_{(D)}$ d'axe une droite $(D)$ du plan $(P)$ est la transformation qui associe à tout point $M$ de $(P)$ le point $M'$ tel que $(D)$ soit la médiatrice du segment $[MM']$ .

S_{(D)}(M)=M'

Construction

Pour construire

M'

, on trace la perpendiculaire à

(D)

passant par

M

, qui coupe

(D)

en un point

H

;

M'

est le point de cette perpendiculaire tel que

H

soit le milieu de

[MM']

.

III

Symétrie centrale de centre I

Définition

La symétrie centrale $S_I$ de centre un point $I$ du plan $(P)$ est la transformation qui associe à tout point $M$ de $(P)$ le point $M'$ tel que $I$ soit le milieu du segment $[MM']$ .

S_I(M)=M'

S_I(M)=M' \iff \overrightarrow{IM'}=-\overrightarrow{IM}

S_I(M)=M' \iff S_I(M')=M

Point invariant

I

est le seul point invariant par

S_I

:

S_I(I)=I

.

03 · Translation

Translation de vecteur u

La translation « glisse » tout le plan selon un vecteur donné, sans le déformer et sans le faire tourner.

IV

Translation de vecteur u

Définition

La translation de vecteur $\vec u$ du plan $(P)$ est la transformation qui associe à tout point $M$ de $(P)$ le point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'}=\vec u$ . On la note $t_{\vec u}$ .

\begin{gathered} t_{\vec u}(M)=M' \\ \iff \overrightarrow{MM'}=\vec u \end{gathered}

Remarques

$t_{\vec u}(M)=M'$ équivaut à : le quadrilatère $ABM'M$ est un parallélogramme, avec $\overrightarrow{AB}=\vec u$ .
$t_{\vec u}(M)=M' \iff t_{-\vec u}(M')=M$ .
Si $\vec u\ne\vec 0$ , aucun point du plan n'est invariant.
Si $\vec u=\vec 0$ , tous les points du plan sont invariants : $t_{\vec 0}(M)=M$ .

04 · Homothétie

Homothétie de centre Ω et de rapport k

L'homothétie agrandit ou réduit le plan à partir d'un centre fixe, selon un rapport k réel non nul — c'est la seule des quatre transformations qui ne conserve pas les distances.

V

Homothétie h(Ω,k)

Définition

L'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ (avec $k\in\mathbb R^*$ ) est la transformation qui associe à tout point $M$ du plan le point $M'$ tel que $\overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}$ . On la note $h(\Omega,k)$ .

\begin{gathered} h(M)=M' \\ \iff \overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M} \end{gathered}

Cas particuliers et remarques

$M$ , $M'$ et $\Omega$ sont toujours alignés.
Si $k=1$ : tous les points sont invariants ( $h(M)=M$ ).
Si $k=-1$ : $h(\Omega,-1)$ est exactement la symétrie centrale $S_\Omega$ .
Si $k>0$ : $M'$ est sur la demi-droite $[\Omega M)$ .
Si $k<0$ : $M'$ est sur la demi-droite opposée à $[\Omega M)$ .
On prend en pratique $k\in\mathbb R\setminus\{0,1\}$ pour que l'homothétie soit intéressante.

05 · Propriétés

Propriété caractéristique et conservations

Un critère vectoriel permet de reconnaître la nature d'une transformation à partir des images de deux points, et une liste de propriétés que chaque transformation conserve ou non.

Propriété caractéristique (reconnaître une transformation)

Soit $f$ une transformation du plan telle que pour tous points $A$ et $B$ on ait $f(A)=A'$ et $f(B)=B'$ .

Translation

$f$ est une translation $\iff \overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}$ .

Homothétie

$f$ est une homothétie $\iff \overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}$ avec $k\in\mathbb R\setminus\{0,1\}$ .

Symétrie centrale

$f$ est une symétrie centrale $\iff \overrightarrow{A'B'}=-\overrightarrow{AB}$ .

Images de figures usuelles par $S_{(D)}$ , $S_\Omega$ , $t_{\vec u}$ et $h(\Omega,k)$

Figure	Image par $S_{(D)}$ , $S_\Omega$ , $t_{\vec u}$	Image par $h(\Omega,k)$
Droite $(AB)$	Droite $(A'B')$ , avec $(AB)\parallel(A'B')$	Droite $(A'B')$ , avec $(AB)\parallel(A'B')$
Segment $[AB]$	Segment $[A'B']$ , $A'B'=AB$	Segment $[A'B']$ , $A'B'=\|k\|\,AB$
Vecteur $\alpha\overrightarrow{AB}$	Vecteur $\alpha\overrightarrow{A'B'}$	Vecteur $k\alpha\overrightarrow{A'B'}$
Cercle $\mathcal C(A,r)$	Cercle $\mathcal C(A',r)$	Cercle $\mathcal C(A',\|k\|\,r)$
Angle géométrique $\widehat{AOB}$	Angle géométrique $\widehat{A'O'B'}$ de même mesure

Ce qui est conservé

La symétrie axiale, la symétrie centrale et la translation conservent : les distances, le milieu, le coefficient de colinéarité, le parallélisme, l'orthogonalité, les mesures des angles géométriques, et l'intersection des figures.

L'homothétie conserve tout cela sauf les distances (elle les multiplie par $|k|$ ).

Image d'une droite par une symétrie (cas particuliers)

Par $S_{(D)}$ , l'image de $(\Delta)$ est une droite $(\Delta')$ telle que : si $(\Delta)\parallel(D)$ alors $(\Delta')\parallel(\Delta)\parallel(D)$ ; si $(\Delta)\perp(D)$ alors $(\Delta')=(\Delta)$ .
Par $S_\Omega$ , l'image de $(\Delta)$ est une droite $(\Delta')$ telle que : si $\Omega\notin(\Delta)$ alors $(\Delta')\parallel(\Delta)$ ; si $\Omega\in(\Delta)$ alors $(\Delta')=(\Delta)$ .

À toi de jouer

Exercices · Transformations du plan

4 exercices corrigés. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier — chaque figure est placée aux coordonnées exactes calculées dans la correction.

0 / 4 vérifiés

1

Losange, symétries et translationsSymétrie centrale, symétrie axiale, translation

$ABCD$ est un losange de centre $O$ , $I$ le milieu du segment $[AB]$ et $J$ le milieu du segment $[AD]$ .

Fais une figure.
Détermine $S_O(A)$ , $S_O(B)$ , $S_O(O)$ et $S_O((AB))$ .
Détermine $S_{(AC)}(B)$ , $S_{(AC)}(A)$ , $S_{(AC)}(O)$ , $S_{(AC)}([AB])$ , $S_{(AC)}(I)$ et $S_{(AC)}((OI))$ .
Détermine $t_{\overrightarrow{BC}}(A)$ , $t_{\overrightarrow{IJ}}(B)$ et $t_{\overrightarrow{IJ}}([OB])$ .

2

Écrire une relation vectorielle à l'aide d'une homothétie

Écrire l'expression vectorielle suivante $\overrightarrow{IC}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IB}$ en utilisant une homothétie.

3

Reconnaître une homothétie dans trois relations vectorielles

Écrire les expressions vectorielles suivantes en utilisant une homothétie :

a) $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{AB}=\vec 0$ avec $I$ un point donné.

b) $2\overrightarrow{\Omega B}=-\overrightarrow{BA}$ avec $\Omega$ un point donné.

c) $3\overrightarrow{IA}-5\overrightarrow{AB}=\vec 0$ avec $I$ un point donné.

4

Parallélogramme, translation et homothétieExercice de synthèse

$ABCD$ est un parallélogramme et $I$ , $J$ deux points tels que $\overrightarrow{CI}=\dfrac23\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{DC}$ .

Fais une figure.
Montre que la droite $(BJ)$ est l'image de la droite $(AI)$ par la translation $t_{\overrightarrow{AB}}$ , et déduis-en une propriété de $(BJ)$ et $(AI)$ .
Soit $h$ l'homothétie de centre $I$ qui transforme $B$ en $C$ .
a) Montre que $h((AB))=(CD)$ .
b) Montre que le rapport $k$ de l'homothétie est $k=-2$ .
Soit $K$ le point tel que $\overrightarrow{KI}=2\overrightarrow{AB}$ .
a) Montre que $h(J)=K$ .
b) Montre que $AI=\dfrac12 CK$ .

Transformation du plan

Transformation du plan

Symétrie axiale et symétrie centrale

Symétrie axiale d'axe (D)

Symétrie centrale de centre I

Translation de vecteur u

Translation de vecteur u

Homothétie de centre Ω et de rapport k

Homothétie h(Ω,k)

Propriété caractéristique et conservations

Propriété caractéristique (reconnaître une transformation)

Images de figures usuelles par S(D)S_{(D)}S(D)​, SΩS_\OmegaSΩ​, tu⃗t_{\vec u}tu​ et h(Ω,k)h(\Omega,k)h(Ω,k)

Exercices · Transformations du plan

Images de figures usuelles par $S_{(D)}$ , $S_\Omega$ , $t_{\vec u}$ et $h(\Omega,k)$