Tronc Commun Sciences · Semestre 2

Statistiques

Vocabulaire, moyenne, médiane, mode, écart-moyen, variance, écart-type et diagrammes statistiques : le cours complet, puis 13 exercices corrigés pas à pas.

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01 · Le vocabulaire de base

Terminologie et symboles statistiques

Population, caractère, effectifs, fréquences : les mots à maîtriser avant de calculer quoi que ce soit. Trois exemples-fils rouges les illustrent tout au long du cours.

Population, caractère, valeurs, classes

Exemple 1 — discret

10 candidats passent un concours (sur 150 points). Notes : 60, 70, 80, 60, 60, 70, 90, 70, 60, 80.

Exemple 2 — continu

Poids (en kg) de 60 bébés de 4 mois, regroupés en 5 classes de

[5\,;5{,}5[

[7\,;7{,}5[

Exemple 3 — qualitatif

Marque de 300 voitures vendues en un mois : Dacia, Peugeot, Ford, Mercedes, BMW.

Termes	Exemple 1	Exemple 2	Exemple 3
Population statistique	10 candidats	60 bébés	300 voitures vendues
Unité statistique (individu)	un candidat	un bébé	une voiture vendue
Caractère étudié	la note obtenue	le poids	la marque
Type de caractère	quantitatif discret	quantitatif continu	qualitatif

Quantitatif discret

Le caractère prend des valeurs isolées $x_i$ (ex. nombre de frères et sœurs, note à un devoir).

Quantitatif continu

Le caractère prend des valeurs très proches, regroupées en classes $[a_i\,;a_{i+1}[$ de même amplitude (ex. poids, taille). Le centre de la classe est $c_i=\dfrac{a_i+a_{i+1}}2$ .

Qualitatif

Le caractère ne s'exprime pas par un nombre (ex. couleur des yeux, marque préférée).

Effectifs, effectifs cumulés, fréquences, pourcentages

Soit $(x_i,n_i)$ une série statistique : $x_i$ est une valeur (ou une classe) du caractère, $n_i$ son effectif (nombre de fois qu'elle apparaît).

Effectif total N

$N=n_1+n_2+\cdots+n_p$ . La valeur (ou classe) de plus grand effectif est dite modale.

Effectif cumulé (croissant)

Effectif cumulé de $x_i$ : $n_1+n_2+\cdots+n_i$ (somme des effectifs jusqu'à $x_i$ inclus).

Fréquence

$f_i=\dfrac{n_i}{N}$ . Remarque : $f_1+f_2+\cdots+f_p=1$ .

Fréquence cumulée

$f_1+f_2+\cdots+f_i$ (somme des fréquences jusqu'à $x_i$ inclus).

Pourcentage

$p_i=f_i\times100\%$ . Remarque : $p_1+p_2+\cdots+p_p=100\%$ .

Tableau complet de l'exemple 1 (10 candidats)

Note	60	70	80	90
Effectif	4	3	2	1
Effectif cumulé	4	7	9	10
Fréquence	0,4	0,3	0,2	0,1
Fréquence cumulée	0,4	0,7	0,9	1
Pourcentage	40 %	30 %	20 %	10 %

02 · Résumer une série par un nombre

Paramètres de position : mode, moyenne, médiane

Trois nombres pour résumer une série statistique entière — chacun avec ses avantages.

III

Moyenne arithmétique

Définition

La moyenne arithmétique d'une série

(x_i,n_i)

est le nombre

\bar x

tel que :

\bar x=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_px_p}{N}

Exemple résolu — 10 candidats

$\bar x=\dfrac{4\times60+3\times70+2\times80+1\times90}{10}=\dfrac{700}{10}$

✓ $\bar x=70$

Remarque — série regroupée en classes

Pour une série en classes

[a_i\,;a_{i+1}[

, on remplace chaque

x_i

par le centre

c_i

de sa classe :

\bar x=\dfrac{\sum n_ic_i}{N}

. C'est alors une valeur approchée de la vraie moyenne (calculée sur les données brutes) si l'on dispose par ailleurs de la liste complète des valeurs.

Exemple résolu — durée de vie de 60 lampes (série en classes)

Classe	[10;20[	[20;30[	[30;40[	[40;50[	[50;60[
Effectif	2	7	3	10	8
Centre	15	25	35	45	55

$\bar x=\dfrac{2\times15+7\times25+3\times35+10\times45+8\times55}{30}=\dfrac{1200}{30}$

✓ $\bar x=40$

Médiane

Définition

La médiane

M_e

d'une série statistique dont les valeurs sont classées par ordre croissant est la plus petite valeur du caractère dont l'effectif cumulé est supérieur ou égal à la moitié de l'effectif total

N

Exemple résolu — 10 candidats

Effectif cumulé de $x_2=70$ est $4+3=7\geq \tfrac{10}2=5$ , et celui de $x_1=60$ vaut $4<5$ .

✓ $M_e=70$

03 · Mesurer l'homogénéité

Paramètres de dispersion : étendue, écart-moyen, variance, écart-type

Deux séries peuvent avoir la même moyenne tout en étant très différentes : les paramètres de dispersion mesurent à quel point les valeurs sont regroupées, ou au contraire dispersées, autour de la moyenne.

Étendue et écart-moyen

Étendue

La différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série.

Définition — écart-moyen

La moyenne des écarts (en valeur absolue) à la moyenne

\bar x

, noté

e

e=\dfrac{n_1|x_1-\bar x|+n_2|x_2-\bar x|+\cdots+n_p|x_p-\bar x|}{N}

Exemple résolu — 10 candidats (étendue et écart-moyen)

Étendue : $x_4-x_1=90-60=30$ .

Écart-moyen ( $\bar x=70$ ) : $e=\dfrac{4\times|60-70|+3\times|70-70|+2\times|80-70|+1\times|90-70|}{10}=\dfrac{40+0+20+20}{10}=\dfrac{80}{10}$

✓ $e=8$

Variance et écart-type

Définition — variance

La variance

V

d'une série

(x_i,n_i)

de moyenne

\bar x

V=\dfrac{n_1(x_1-\bar x)^2+n_2(x_2-\bar x)^2+\cdots+n_p(x_p-\bar x)^2}{N}

Propriété — formule pratique (König-Huygens)

V=\dfrac{n_1x_1^2+n_2x_2^2+\cdots+n_px_p^2}{N}-\bar x^{\,2}

La variance est toujours

\geq 0

Définition — écart-type

L'écart-type est

\sigma=\sqrt V

Exemple résolu — 10 candidats (variance et écart-type)

$V=\dfrac{4\times60^2+3\times70^2+2\times80^2+1\times90^2}{10}-70^2$

$V=\dfrac{14400+14700+12800+8100}{10}-4900=\dfrac{50000}{10}-4900=5000-4900$

✓ $V=100$ puis ✓ $\sigma=\sqrt{100}=10$

04 · Visualiser une série

Diagrammes en bâtons, en bandes, sectoriels, histogrammes

Chaque type de diagramme convient à un type de caractère : bâtons pour un caractère discret, histogramme pour des classes, secteurs pour une répartition en pourcentages.

VII

Diagramme en bâtons et polygone statistique

On place les valeurs $x_i$ sur un axe horizontal et on trace, pour chacune, un segment vertical de hauteur $n_i$ (ou $f_i$ ). Relier les sommets des bâtons donne le polygone statistique.

Exemple résolu

Valeur	30	50	170	200	320
Effectif	12	8	14	20	6

170

200

320

VIII

Diagramme sectoriel

Propriété

L'effectif total

N

correspond à un secteur de

360\degree

. La valeur

x_i

d'effectif

n_i

correspond donc à un secteur d'angle :

\theta_i=\dfrac{360\degree\times n_i}{N}

Exemple résolu — reprise du tableau ci-dessus (N = 60)

$\theta_1=\dfrac{360\times12}{60}=72\degree$ , $\theta_2=48\degree$ , $\theta_3=84\degree$ , $\theta_4=120\degree$ , $\theta_5=36\degree$ .

30 (12) — 72°

50 (8) — 48°

170 (14) — 84°

200 (20) — 120°

320 (6) — 36°

Histogramme

Pour une série en classes, on remplace les valeurs par les classes sur l'axe horizontal.

Classes d'amplitudes différentes

Si les classes n'ont pas toutes la même amplitude, l'aire de chaque rectangle doit rester proportionnelle à l'effectif : la hauteur du rectangle est alors la densité

\dfrac{n_i}{\text{amplitude}_i}

, et non l'effectif brut.

Exemple résolu — classes d'amplitude constante (10)

Classe	[10;20[	[20;30[	[30;40[	[40;50[	[50;60[
Effectif	2	7	3	10	8

[10;20[

[20;30[

[30;40[

[40;50[

[50;60[

À toi de jouer

Exercices · Statistiques

13 exercices corrigés en détail. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

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Vocabulaire, tableau des effectifs, moyenne, médiane

Voici la liste des notes des élèves d'une classe de tronc commun sciences lors d'un devoir de mathématiques :

9 – 8 – 10 – 12 – 10 – 8 – 15 – 18 – 16 – 15 – 12 – 12 – 10 – 10 – 9 – 8 – 15 – 12 – 8 – 10

Quelle est la population concernée par l'étude statistique ? Quel est l'individu ? Quel est le caractère étudié ? Ce caractère est-il quantitatif ou qualitatif ?
Dresser le tableau des effectifs et des effectifs cumulés croissants, et déterminer l'effectif total.
Calculer la fréquence et le pourcentage associés à la note 12.
Calculer les paramètres de position de cette série (mode, moyenne, médiane).

Paramètres de dispersion d'une petite série

On considère la série statistique suivante :

Caractère	1	2	7
Effectif	5	4	1

Calculer les paramètres de dispersion de cette série (écart-moyen, variance, écart-type).

Absences d'une classe : tableau, position et dispersion

Après avoir compté les absences des élèves d'une classe de 40 élèves, on a regroupé les résultats dans le tableau suivant :

Heures d'absence	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Effectif	4	2	1	5	5	5	8	1	3	3	3

Compléter le tableau (effectifs cumulés).
Déterminer le nombre et le pourcentage des élèves ayant une absence supérieure ou égale à 6 heures.
Calculer les paramètres de position (mode, moyenne, médiane).
Calculer les paramètres de dispersion (écart-moyen, variance, écart-type).

Notes en classes : effectifs, moyenne exacte, dispersion, histogramme

Voici la liste des notes des élèves d'une classe de tronc commun sciences lors d'un devoir de mathématiques :

14 – 15 – 06 – 08 – 10 – 07 – 14 – 19 – 06 – 08 – 09 – 02 – 10 – 12 – 08 – 06 – 15 – 08 – 12 – 10

Remplir le tableau des classes $[0;5[$ , $[5;10[$ , $[10;15[$ , $[15;20[$ (effectifs, effectif cumulé).
Déterminer la classe modale de cette série.
Calculer la moyenne des notes obtenues, en donnant le résultat sous sa forme décimale exacte.
Calculer les paramètres de dispersion (écart-moyen, variance, écart-type).
Représenter l'histogramme des effectifs de cette série.

Série en classes : classe modale, moyenne, dispersion

On considère la série statistique suivante :

Classe	[0;4[	[4;8[	[8;12[	[12;16[	[16;20[
Effectif	1	2	4	2	1

Déterminer la classe modale de cette série.
Calculer la moyenne.
Calculer les paramètres de dispersion (écart-moyen, variance, écart-type).

Diagramme en bâtons — nombre d'enfants par famille

On étudie le nombre d'enfants par famille au pays de Cocagne. On compte 10 familles n'ayant aucun enfant.

Nombre d'enfants	0	1	2	3	4
Nombre de familles	10	20	25	15	5

Représenter cette série statistique par un diagramme en bâtons.

Lecture d'un diagramme en bâtons — employés par âge

Soit le diagramme en bâtons suivant, représentant le nombre d'employés d'une entreprise selon leur âge (les pointillés indiquent la hauteur exacte de chaque bâton) :

moins de 30 ans

de 30 à 45 ans

plus de 45 ans

Quel est le nombre d'employés de moins de 30 ans ?
Quel est le nombre d'employés de plus de 30 ans ?
Quel est le nombre d'employés de 30 à 45 ans ?
Quel est le nombre d'employés de plus de 30 à 45 ans ?
Quel est le nombre d'employés de moins de 45 ans ?
Quel est le nombre total d'employés ?

Lecture d'un diagramme en bâtons — notes à un contrôle

Voici le diagramme en bâtons représentant une série de notes obtenues par une classe à un contrôle :

Recopier et compléter le tableau des effectifs et des pourcentages.

Diagramme circulaire — adhérents d'un club sportif

Voici un diagramme circulaire représentant la répartition des adhérents à un club sportif :

Football : 58,3 %

Tennis : 25 %

Handball : 16,7 %

Sachant que le club compte 240 adhérents, combien d'adhérents jouent au football ? Au tennis ? Au handball ?

Médiane — lancer de javelot

Le tableau ci-dessous représente les longueurs obtenues par des athlètes lors d'un concours de lancer de javelot :

Longueur (m)	37	39	40	41	42	43	44	48
Effectif	4	3	4	3	2	3	5	2

Déterminer la médiane de cette série.

Histogramme — largeur de classes constante

Construire l'histogramme correspondant à cette série (classes de largeur constante 10) :

Taille (cm)	[0;10[	[10;20[	[20;30[	[30;40[
Effectif	10	7	29	25

Taille (cm)	[40;50[	[50;60[	[60;70[	[70;80[	[80;90[
Effectif	15	12	5	6	5

Histogramme — largeur de classes non constante (méthode des densités)

Construire l'histogramme correspondant à cette série (les amplitudes sont différentes, donc on doit raisonner en aires) :

Classe	[0;20[	[20;50[	[50;60[	[60;85[	[85;100[
Effectif	15	34	8	10	13

Histogramme — tailles d'élèves, classes non constantes (méthode par intervalle-unité)

On relève les tailles des élèves d'une classe, regroupées en classes d'amplitudes différentes :

Taille (m)	[1,50;1,60[	[1,60;1,70[	[1,70;1,80[	[1,80;2,00[
Effectif	2	6	9	8
Largeur (I.U.)	1	1	1	2

On prend comme intervalle-unité (I.U.) une amplitude de référence de 0,10 m. Tracer l'histogramme correspondant.

Statistiques · Mathématiques, Tronc Commun Sciences et Technologies, semestre 2.