Le produit scalaire · Cours et exercices | Tronc Commun Sciences

01 · Les bases

Norme d'un vecteur et produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs se définit à partir d'une projection orthogonale : c'est un nombre réel, pas un vecteur.

I

Norme d'un vecteur

Soit $\vec u$ un vecteur du plan $\mathcal P$ , $A$ et $B$ deux points de $\mathcal P$ tels que $\vec u=\overrightarrow{AB}$ . La distance entre $A$ et $B$ est notée $AB$ ou $\lVert\overrightarrow{AB}\rVert$ : on l'appelle la norme du vecteur $\vec u$ (ou de $\overrightarrow{AB}$ ).

\lVert\overrightarrow{AB}\rVert = AB

II

Produit scalaire de deux vecteurs

Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs du plan tels que $\vec u=\overrightarrow{AB}$ et $\vec v=\overrightarrow{AC}$ . Le produit scalaire de $\vec u$ et $\vec v$ , noté $\vec u\cdot\vec v$ , est le nombre réel défini comme suit.

Cas particulier

Si

\vec u=\vec 0

ou

\vec v=\vec 0

, alors

\vec u\cdot\vec v=0

.

Sinon ( $\vec u\neq\vec 0$ et $\vec v\neq\vec 0$ ), on note $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ (possible car $A\neq B$ ) :

1er cas — même sens

Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ont le même sens :

\begin{gathered} \vec u\cdot\vec v=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} \\ =AB\times AH \end{gathered}

2ᵉ cas — sens opposés

Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ont des sens opposés :

\begin{gathered} \vec u\cdot\vec v=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} \\ =-AB\times AH \end{gathered}

Remarque — le carré scalaire

Le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(AB)$ est $B$ lui-même, d'où $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=AB\times AB=AB^2\geq 0$ . On note $\vec u\cdot\vec u=\vec u^{\,2}$ ou $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}^{\,2}$ , appelé le carré scalaire de $\vec u$ (ou de $\overrightarrow{AB}$ ) : c'est toujours un nombre positif.

\begin{gathered} \vec u^{\,2}=\lVert\vec u\rVert^2 \\ \overrightarrow{AB}^{\,2}=AB^2 \end{gathered}

02 · Avec un angle

Forme trigonométrique et orthogonalité

La formule avec le cosinus est la plus utilisée en pratique : elle relie directement le produit scalaire à l'angle formé par les deux vecteurs.

III

Forme trigonométrique du produit scalaire

Propriété

Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls du plan tels que $\vec u=\overrightarrow{AB}$ et $\vec v=\overrightarrow{AC}$ , et $\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})=(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})$ . Alors :

\begin{gathered} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\theta \\ \text{soit} \\ \vec u\cdot\vec v=\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert\cos\theta \end{gathered}

Idée de la démonstration. Dans le triangle rectangle $AHC$ , on a $\cos\theta=\dfrac{AH}{AC}$ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ont même sens (donc $AH=AC\cos\theta$ , et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH=AB\times AC\cos\theta$ ), et $\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$ dans le second cas, ce qui redonne la même formule avec le signe « $-$ » déjà présent dans la définition.

Remarque — projections décalées

Le produit scalaire de

\vec u=\overrightarrow{AB}

et

\vec v=\overrightarrow{CD}

est le nombre réel

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{C'D'}

où

C'

et

D'

sont les projetés orthogonaux respectifs de

C

et

D

sur la droite

(AB)

.

IV

Orthogonalité de deux vecteurs

Propriété

Les vecteurs

\vec u

et

\vec v

sont orthogonaux (on note

\vec u\perp\vec v

) si et seulement si :

$\vec u\cdot\vec v=0$

En effet, si $\vec u,\vec v\neq\vec 0$ , la formule trigonométrique donne $\vec u\cdot\vec v=0 \iff \cos\theta=0 \iff \theta=\dfrac\pi2$ (à $\pi$ près), c'est-à-dire $\vec u\perp\vec v$ .

03 · Calculer avec le produit scalaire

Propriétés du produit scalaire

Le produit scalaire se manipule comme un produit ordinaire : il est linéaire, symétrique, et donne les identités remarquables habituelles.

V

Propriétés algébriques

Soient $\vec u,\vec v,\vec w$ trois vecteurs du plan et $k\in\mathbb R$ .

1. Linéarité (et symétrie) :

\begin{gathered} (\vec u+\vec v)\cdot\vec w=\vec u\cdot\vec w+\vec v\cdot\vec w \\ \vec w\cdot(\vec u+\vec v)=\vec w\cdot\vec u+\vec w\cdot\vec v \\ (k\vec u)\cdot\vec v=\vec u\cdot(k\vec v)=k(\vec u\cdot\vec v) \end{gathered}

2. Positivité : $\vec u^{\,2}\geq 0$ .

3. Non-dégénérescence : $\vec u\cdot\vec u=0 \iff \vec u=\vec 0$ .

Conséquences — identités remarquables

(\vec u+\vec v)^2=\vec u^{\,2}+2\vec u\cdot\vec v+\vec v^{\,2}

identité 1

(\vec u-\vec v)^2=\vec u^{\,2}-2\vec u\cdot\vec v+\vec v^{\,2}

identité 2

(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\vec u^{\,2}-\vec v^{\,2}

identité 3

\vec u\cdot\vec v=\dfrac12\left[(\vec u+\vec v)^2-\vec u^{\,2}-\vec v^{\,2}\right]

identité 4

Démonstration de l'identité 1

(\vec u+\vec v)^2=(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)=\vec u\cdot\vec u+\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec u+\vec v\cdot\vec v=\vec u^{\,2}+2\vec u\cdot\vec v+\vec v^{\,2}

(on utilise la linéarité, deux fois, puis

\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u

).

Exemple résolu — avec ‖u⃗‖ = 4, ‖v⃗‖ = 7 et u⃗ · v⃗ = 7

1) $(\vec u+\vec v)\cdot\vec u = \vec u^{\,2}+\vec v\cdot\vec u = 4^2+7=16+7=23$ . Donc $(\vec u+\vec v)\cdot\vec u=23$ .

2) $(\vec u+\vec v)^2=\vec u^{\,2}+2\vec u\cdot\vec v+\vec v^{\,2}=4^2+2\times 7+7^2=16+14+49=79$ . Donc $(\vec u+\vec v)^2=79$ .

3) $(2\vec u)\cdot(4\vec v)=2\times 4\times(\vec u\cdot\vec v)=8\times 7=56$ . Donc $(2\vec u)\cdot(4\vec v)=56$ .

04 · Trois applications classiques

Relations métriques, Al-Kashi et théorème de la médiane

Le produit scalaire permet de retrouver — et de généraliser — le théorème de Pythagore.

VI

Relations métriques dans le triangle rectangle

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ ; $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$ .

Propriété — relations métriques

$BC^2=BA^2+AC^2$ (Pythagore)
$BA^2=BH\times BC$ et $CA^2=CH\times CB$
$AH^2=HB\times HC$

(Ces relations se retrouvent en calculant $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ de deux façons : par projection, $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=BH\times BC$ ; et par Chasles via $A$ , $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=BA^2$ puisque le triangle est rectangle en $A$ .)

VII

Théorème d'Al-Kashi

Théorème (généralise Pythagore)

Dans tout triangle $ABC$ , en posant $AB=c$ , $AC=b$ , $BC=a$ :

\begin{gathered} BC^2=BA^2+AC^2-2\,AB\times AC\times\cos\widehat A \\ \text{soit} \\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A \end{gathered}

Démonstration. $\overrightarrow{BC}^{\,2}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})^2=\overrightarrow{BA}^{\,2}+2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}^{\,2}$ . Or $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AC\cos\widehat A$ , d'où le résultat.

Exemple résolu — calculer AC

On donne $BA=\sqrt2$ , $BC=5$ et $\widehat{ABC}=\dfrac\pi4$ . Calculons $AC$ .

$AC^2=AB^2+BC^2-2\,AB\times BC\times\cos\widehat B=(\sqrt2)^2+5^2-2\sqrt2\times5\cos\dfrac\pi4$

$AC^2=2+25-10\sqrt2\times\dfrac{\sqrt2}{2}=27-10=17$

Conclusion : $AC=\sqrt{17}$ .

VIII

Théorème de la médiane

Théorème

Soit $[AB]$ un segment du plan, $I$ son milieu. Pour tout point $M$ du plan :

MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac12 AB^2

Démonstration. On écrit $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$ , puis on développe :

\begin{gathered} MA^2+MB^2=2MI^2+2\overrightarrow{MI}\cdot(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}) \\ +IA^2+IB^2 \end{gathered}

Or $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec 0$ ( $I$ est le milieu), et $IA^2+IB^2=2\left(\dfrac{AB}2\right)^2=\dfrac12 AB^2$ , d'où le résultat.

À toi de jouer

Exercices · Le produit scalaire

5 exercices corrigés. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier ta réponse. Le plan est muni d'un repère orthonormal (exercice 5).

0 / 5 vérifiés

1

Calculs directs à partir de normes et d'un produit scalaire

On considère les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ tels que : $\lVert\vec u\rVert=2$ , $\lVert\vec v\rVert=3$ et $\vec u\cdot\vec v=1$ .

Calculer :

$(2\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)$
$(\vec u+2\vec v)^2$
$(-3\vec u+\vec v)^2$
$(\vec u-\vec v)^2-(\vec u+\vec v)^2$

2

Parallélogramme, projections et calculs de produits scalaires

$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ , $O$ est le pied de la hauteur issue de $A$ (milieu de $[BC]$ ), $AIBJ$ est un parallélogramme avec $(JB)\perp(BC)$ , et $BC=4$ .

Calculer les produits scalaires suivants :

$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{JC}$
$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AJ}$
$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{IA}$
$\overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{BI}$
$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CI}$

3

Cercle, hauteur et point diamétralement opposé

Soit $\mathcal C$ un cercle de centre $O$ et $A$ , $B$ , $C$ trois points distincts de $\mathcal C$ . On note $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$ , $D$ l'intersection entre la hauteur $(AH)$ et le cercle $\mathcal C$ , et $E$ le point du cercle diamétralement opposé à $A$ . Montrer que $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AH}$ .

4

Carré, milieux et perpendicularité

Soit $ABCD$ un carré, $I$ le milieu de $[AB]$ , $J$ le milieu de $[AD]$ et $K$ le milieu de $[ID]$ . Montrer que les droites $(AK)$ et $(BJ)$ sont perpendiculaires.

5

Tangente et équation d'un cercle (repère orthonormal)

On considère les points $A(2\,;\,1)$ et $B(-1\,;\,3)$ .
a) Déterminer une équation de la tangente en $B$ au cercle $\mathcal C$ de centre $A$ passant par $B$ .
b) Déterminer une équation du cercle $\mathcal C$ .