Géométrie dans l'espace · Cours et exercices | Tronc Commun Sciences

01 · Le vocabulaire de l'espace

Axiomes et positions relatives

Dans l'espace, deux droites peuvent être sécantes, parallèles, ou même ne se rencontrer jamais sans être parallèles : c'est la grande nouveauté par rapport à la géométrie plane.

I

Les axiomes de l'espace

L'espace usuel est noté $\mathcal E$ . Toutes les propriétés de la géométrie plane restent valables dans chaque plan $\mathcal P$ de $\mathcal E$ .

Axiome 1

Par deux points distincts

A

et

B

de

\mathcal E

passe une et une seule droite, notée

(AB)

.

Axiome 2

Par trois points non alignés de

\mathcal E

passe un plan et un seul, noté

(ABC)

.

Axiome 3

Si

A

et

B

sont deux points distincts d'un plan

\mathcal P

, alors la droite

(AB)

est incluse dans

\mathcal P

:

(AB)\subset \mathcal P

.

Axiome 4

Si deux plans distincts

\mathcal P

et

\mathcal P'

ont un point

A

commun, alors ils se coupent suivant une droite passant par

A

.

Détermination d'un plan

Un plan est déterminé de façon unique par :

une droite $\mathcal D$ et un point $A\notin\mathcal D$ ;
trois points non alignés ;
deux droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ sécantes ;
deux droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ strictement parallèles.

II

Positions relatives de deux droites de l'espace

Soient $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ deux droites de l'espace. Trois cas sont possibles.

Sécantes

$\mathcal D\cap\mathcal D'=\{I\}$ : coplanaires, un seul point commun.

Parallèles

$\mathcal D /\!/ \mathcal D'$ : coplanaires, disjointes (ou confondues).

Non coplanaires

$\mathcal D$ et $\mathcal D'$ gauches : aucun plan ne les contient toutes les deux.

III

Positions relatives d'une droite et d'un plan

Incluse

$\mathcal D\subset\mathcal P$

Strictement parallèles

$\mathcal D /\!/ \mathcal P$ , $\mathcal D\cap\mathcal P=\varnothing$

Sécants

$\mathcal D\cap\mathcal P=\{I\}$

IV

Positions relatives de deux plans

Confondus

$\mathcal P=\mathcal P'$

Strictement parallèles

$\mathcal P /\!/ \mathcal P'$

Sécants

$\mathcal P\cap\mathcal P'=\mathcal D$

02 · Le parallélisme dans l'espace

Parallélisme de droites et de plans

Les trois mêmes idées reviennent à chaque fois : transitivité, un unique parallèle par un point, et le passage par des droites/plans intermédiaires.

V

A. Deux droites parallèles

Définition

Deux droites

\mathcal D

et

\mathcal D'

de l'espace sont parallèles (

\mathcal D /\!/ \mathcal D'

) si et seulement si elles sont coplanaires et disjointes, ou confondues.

Propriétés

Par un point $O$ de l'espace passe une et une seule droite parallèle à une droite $\mathcal D$ donnée.
Si $\mathcal D /\!/ \mathcal D'$ et $\Delta /\!/ \mathcal D$ , alors $\Delta /\!/ \mathcal D'$ (transitivité).
Si $\Delta /\!/ \mathcal D$ et $\Delta /\!/ \mathcal D'$ , alors $\mathcal D /\!/ \mathcal D'$ .

VI

B. Droite parallèle à un plan

Définition

Une droite

\mathcal D

est parallèle à un plan

\mathcal P

(

\mathcal D /\!/ \mathcal P

) si et seulement si

\mathcal D\subset\mathcal P

, ou

\mathcal D\cap\mathcal P=\varnothing

.

Propriété (la plus utilisée en pratique)

\mathcal D /\!/ \mathcal P

si et seulement s'il existe une droite

\mathcal D'

incluse dans

\mathcal P

telle que

\mathcal D /\!/ \mathcal D'

.

Autrement dit : pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan, il suffit de trouver une seule droite du plan qui lui est parallèle.

VII

C. Deux plans parallèles

Définition

Deux plans

\mathcal P

et

\mathcal P'

sont parallèles (

\mathcal P /\!/ \mathcal P'

) si et seulement s'ils sont confondus, ou disjoints.

Ici $\mathcal P$ contient deux droites sécantes (en bleu et en rouge) chacune parallèle à son homologue dans $\mathcal P'$ : c'est exactement le critère très utilisé pour prouver que $\mathcal P /\!/ \mathcal P'$ .

Propriétés

Par un point $O$ passe un unique plan parallèle à un plan donné.
Transitivité : si $\mathcal P /\!/ \mathcal P'$ et $\mathcal Q /\!/ \mathcal P$ , alors $\mathcal Q /\!/ \mathcal P'$ .
Critère très utilisé : $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ sont parallèles si l'un des deux contient deux droites sécantes chacune parallèle au second plan.

Propriétés de recoupement

Si $\mathcal P /\!/ \mathcal P'$ et une droite $\mathcal D$ coupe $\mathcal P$ en $I$ , alors $\mathcal D$ coupe aussi $\mathcal P'$ .
Si $\mathcal P /\!/ \mathcal P'$ et un plan $\mathcal Q$ coupe $\mathcal P$ suivant $\Delta$ , alors $\mathcal Q$ coupe $\mathcal P'$ suivant une droite $\Delta'$ avec $\Delta /\!/ \Delta'$ (théorème du toit).
Si $\mathcal D /\!/ \mathcal P$ et $\mathcal D /\!/ \mathcal P'$ , et si $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ sont sécants suivant $\Delta$ , alors $\mathcal D /\!/ \Delta$ .

Théorème du toit : le plan $\mathcal Q$ (en vert) coupe les deux plans parallèles $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ selon deux droites $\Delta$ et $\Delta'$ , qui sont nécessairement parallèles entre elles.

03 · L'orthogonalité dans l'espace

Orthogonalité de droites et de plans

Le résultat-clé : une droite est orthogonale à un plan dès qu'elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan — inutile de vérifier toutes les droites du plan.

VIII

A. Orthogonalité de deux droites

Définition

\mathcal D

et

\Delta

sont orthogonales (

\mathcal D\perp\Delta

) si et seulement s'il existe deux droites

\mathcal D'

et

\Delta'

sécantes en un point

A

, telles que

\mathcal D' /\!/ \mathcal D

et

\Delta' /\!/ \Delta

, et

\mathcal D'\perp\Delta'

(au sens usuel du plan).

Remarque

Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes : elles peuvent être non coplanaires (orthogonales « à distance »), c'est là toute la différence avec la géométrie plane.

Propriétés

Si $\mathcal D\perp\mathcal D'$ et $\Delta /\!/ \mathcal D$ , alors $\Delta\perp\mathcal D'$ .
Si $\mathcal D /\!/ \mathcal D'$ et $\Delta\perp\mathcal D$ , alors $\Delta\perp\mathcal D'$ .

IX

B. Orthogonalité d'une droite et d'un plan

Définition

Une droite

\mathcal D

est orthogonale à un plan

\mathcal P

(

\mathcal D\perp\mathcal P

) si et seulement si

\mathcal D

est orthogonale à toute droite

\Delta

de

\mathcal P

.

Propriété 1 — le critère pratique

\mathcal D\perp\mathcal P

si et seulement si

\mathcal D

est orthogonale à deux droites sécantes de

\mathcal P

.

Il suffit donc de vérifier l'orthogonalité avec deux droites sécantes du plan (pas toutes !) pour conclure que $\mathcal D$ est orthogonale au plan tout entier.

Propriétés 2 et 3

Si $\mathcal D /\!/ \mathcal D'$ et $\mathcal P\perp\mathcal D$ , alors $\mathcal P\perp\mathcal D'$ .
Si $\mathcal P /\!/ \mathcal P'$ et $\mathcal D\perp\mathcal P$ , alors $\mathcal D\perp\mathcal P'$ .

Remarque

Par un point de l'espace passe un unique plan orthogonal à une droite donnée, et une unique droite orthogonale à un plan donné. (Mais il est faux de dire que par un point passe une unique droite orthogonale à une droite donnée : il en existe une infinité, formant tout un plan.)

X

C. Orthogonalité de deux plans

Définition

Deux plans

\mathcal P

et

\mathcal P'

sont orthogonaux (

\mathcal P\perp\mathcal P'

) si et seulement si l'un des deux contient une droite orthogonale à l'autre.

Propriétés

Si $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ sont orthogonaux à une même droite, alors $\mathcal P /\!/ \mathcal P'$ .
Si $\mathcal P /\!/ \mathcal P'$ : tout plan (ou toute droite) orthogonal à l'un l'est aussi à l'autre.
Tout plan orthogonal à deux plans sécants suivant $\mathcal D$ est orthogonal à $\mathcal D$ .

04 · Mémo

Formulaire des solides usuels

Les aires et volumes des solides de référence, à connaître pour les exercices de synthèse.

Cube (arête a)

$\begin{gathered} S_L=4a^2 \qquad S_T=6a^2 \\ V=a^3 \end{gathered}$

Parallélépipède rectangle

Longueur L, largeur l, hauteur h

$\begin{gathered} S_L=2(L+l)h \qquad S_T=S_L+2Ll \\ V=L\,l\,h \end{gathered}$

Prisme droit

Hauteur h, périmètre de base P_B, aire de base S_B

$\begin{gathered} S_L=P_B\times h \\ V=S_B\times h \end{gathered}$

Cylindre droit

Rayon R, hauteur h

$S_L=2\pi R h \qquad V=\pi R^2 h$

Pyramide (sommet S)

Hauteur h, aire de base S_B

$V=\dfrac13\,S_B\times h$

Cône de révolution

Rayon R, hauteur h

$V=\dfrac13\pi R^2 h$

Sphère (rayon R)

$V=\dfrac43\pi R^3$

À toi de jouer

Exercices · Géométrie dans l'espace

3 exercices corrigés (les distances sont exprimées en cm).

0 / 3 vérifiés

1

Pyramide sur base carrée : orthogonalité et parallélisme

$ABCD$ est un carré et $S$ un point de l'espace n'appartenant pas au plan $(ABCD)$ , tel que $SAB$ et $SAD$ sont des triangles rectangles en $A$ , avec $AB=8$ et $SA=6$ .

1) a) Montrer que $(SA)$ est perpendiculaire à $(ABCD)$ .
b) Calculer les distances $AC$ et $SC$ .

2) Soit $\Delta$ la droite passant par $S$ et parallèle à $(AB)$ .
a) Montrer que les droites $(DC)$ et $\Delta$ sont parallèles.
b) En déduire l'intersection des plans $(SAB)$ et $(SDC)$ .

2

Parallélépipède ABCDEFGH : distances, orthogonalité et volumes

$ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle avec $AB=10$ , $AD=25$ et $AE=7$ (en cm).

1) a) Calculer la distance $BD$ .
b) Montrer que la droite $(DH)$ est perpendiculaire au plan $(ABCD)$ .
c) En déduire que le triangle $BDH$ est rectangle en $D$ .
d) Calculer $BH$ .

2) Soit $P$ le périmètre de la base $EFGH$ et $S$ sa surface.
a) Calculer $P$ et $S$ .
b) Donner l'expression de la surface latérale $S_L$ et de la surface totale $S_T$ du parallélépipède, puis les calculer.
c) Donner l'expression du volume $V_1$ du parallélépipède, puis le calculer.
d) Donner l'expression du volume $V_2$ de la pyramide $DEFGH$ , puis le calculer.

3

Pyramide SABCD : triangles rectangles, distances et volume d'un tronc

La figure représente une pyramide $SABCD$ de hauteur $h=SH=12$ telle que $(SH)\perp(ABCD)$ , avec $H\in[AC]$ et de base un carré $ABCD$ de côté $a=5$ . $K$ est un point de $[SH]$ tel que $h'=KH=4$ . (Distances en cm.)

Montrer que chacun des triangles $SHA$ , $SHB$ , $SHC$ et $SHD$ est rectangle en $H$ .
Calculer la distance $AC$ . En déduire $BD$ .
Sachant que $AH=\sqrt2$ , calculer la distance $SA$ , en déduire $SC$ .
Sachant que $\widehat{SBH}=60\degree$ , calculer la distance $BH$ puis $SB$ .
Calculer $V_1$ le volume de la pyramide $SABCD$ , puis $V_2$ le volume de la pyramide $KABCD$ .
Calculer $V_3$ le volume du solide obtenu en enlevant de la pyramide $SABCD$ la pyramide (plus petite, semblable) découpée par le plan parallèle à $(ABCD)$ passant par $K$ .