Tronc Commun Sciences · Semestre 2

Généralités sur les fonctions

Domaine de définition, courbe représentative, parité, variations, taux d'accroissement, extremums, et les fonctions de référence (parabole, hyperbole, homographique) : le cours complet, puis 28 exercices corrigés.

Commencer le cours Aller aux exercices

exercices corrigés

notions du cours

100%

corrigé

01 · Les bases

Fonction numérique, ensemble de définition, courbe

Le vocabulaire de base — image, antécédent, domaine — et la représentation graphique.

Fonction numérique d'une variable réelle

Définition

Une fonction numérique $f$ associe à chaque élément $x$ d'un ensemble, au plus, un seul réel noté $f(x)$ . On note :

f:\ x \longmapsto f(x)

x est la variable, f(x) est l'image de x par f

Vocabulaire

Si $y=f(x)$ , on dit que $y$ est l'image de $x$ par $f$ , et que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$ .
Si l'image de $x$ existe, on dit que $f$ est définie en x.
L'ensemble de tous les réels qui ont une image par $f$ est appelé ensemble (ou domaine) de définition de $f$ , noté $D_f$ .
$x\in D_f \iff f(x)\in\mathbb R$ .

Exemples résolus — ensemble de définition

$f(x)=\dfrac1x$ : il faut $x\neq 0$ , donc $D_f=\mathbb R^*=\;]-\infty,0[\,\cup\,]0,+\infty[$ .

$f(x)=\sqrt x$ : il faut $x\ge 0$ , donc $D_f=[0,+\infty[$ .

$f(x)=2x$ : fonction polynomiale, définie pour tout réel, donc $D_f=\mathbb R$ .

La courbe représentative d'une fonction

Définition

Le plan $\mathcal P$ est muni d'un repère $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$ (en général orthonormé). On appelle courbe représentative de $f$ , notée $(C_f)$ , l'ensemble des points $M(x,f(x))$ où $x\in D_f$ .

\begin{gathered} M(x,y)\in(C_f) \\ \iff x\in D_f \ \text{et}\ y=f(x) \end{gathered}

équation cartésienne de la courbe : y = f(x)

III

Égalité de deux fonctions

Définition

Deux fonctions

f

g

, définies respectivement sur

D_f

D_g

, sont égales (on écrit

f=g

) si et seulement si :

$D_f=D_g$ ,
pour tout $x\in D_f$ , $f(x)=g(x)$ .

Si $f=g$ , alors les courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ sont confondues. Attention : deux fonctions qui coïncident partout où elles sont toutes les deux définies ne sont pas forcément égales — il faut aussi que leurs domaines soient identiques !

Exemple résolu — un piège classique

$h(x)=\dfrac{x^2-x}{x}$ a pour domaine $D_h=\mathbb R^*$ (il faut $x\neq0$ ). Pour $x\neq0$ , $h(x)=\dfrac{x(x-1)}{x}=x-1$ .

Soit $t(x)=x-1$ , définie sur $D_t=\mathbb R$ .

Bien que $h(x)=t(x)$ partout où $h$ est définie, on a $D_h\neq D_t$ (0 est dans $D_t$ mais pas dans $D_h$ ) : donc $h\neq t$ .

02 · Étudier une fonction

Parité, sens de variation, taux d'accroissement, extremums

Les quatre outils qui permettent de décrire complètement le comportement d'une fonction.

Fonction paire, fonction impaire

Définitions

Soit

f

définie sur

D_f

$f$ est paire sur $D_f$ ssi, pour tout $x\in D_f$ : $-x\in D_f$ et $f(-x)=f(x)$ .
$f$ est impaire sur $D_f$ ssi, pour tout $x\in D_f$ : $-x\in D_f$ et $f(-x)=-f(x)$ .

Fonction paire

La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Le domaine d'étude est $D_E=D_f\cap\mathbb R^+$ .

Fonction impaire

La courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère. Le domaine d'étude est aussi $D_E=D_f\cap\mathbb R^+$ .

Exemples résolus

$f(x)=3x^2+5$ : $D_f=\mathbb R$ , symétrique. $f(-x)=3(-x)^2+5=3x^2+5=f(x)$ . f est paire.

$f(x)=7x^3+2x$ : $D_f=\mathbb R$ , symétrique. $f(-x)=7(-x)^3+2(-x)=-7x^3-2x=-f(x)$ . f est impaire.

Sens de variation d'une fonction

Définitions

Soit

I\subset D_f

un intervalle. Pour tous

x,x'\in I

$f$ croissante sur $I$ ssi $x<x' \Rightarrow f(x)\le f(x')$ .
$f$ strictement croissante ssi $x<x' \Rightarrow f(x)<f(x')$ .
$f$ décroissante ssi $x<x' \Rightarrow f(x)\ge f(x')$ .
$f$ strictement décroissante ssi $x<x' \Rightarrow f(x)>f(x')$ .
$f$ constante sur $I$ ssi $f(x)=f(x')$ pour tous $x,x'\in I$ .

Vocabulaire

Croissante ou décroissante : on dit que

f

est monotone. Strictement croissante ou strictement décroissante : strictement monotone. Le tableau qui résume

D_f

et les variations de

f

est le tableau de variation.

Exemple résolu — f(x) = 5x − 3

Soient $x<x'$ . Alors $5x<5x'$ (on multiplie par 5>0, l'ordre est conservé), donc $5x-3<5x'-3$ , c'est-à-dire $f(x)<f(x')$ .

f est strictement croissante sur ℝ.

Taux d'accroissement

Définition

Soient $x,x'\in I\subset D_f$ , $x\neq x'$ . Le taux d'accroissement de $f$ entre $x$ et $x'$ est le nombre :

T_f=\dfrac{f(x)-f(x')}{x-x'}

Propriété — le lien avec les variations

Si $T_f>0$ sur $I$ : $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $T_f<0$ sur $I$ : $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $T_f=0$ sur $I$ : $f$ est constante sur $I$ .

Exemple résolu — f(x) = 5x − 3, encore

$T_f=\dfrac{(5x-3)-(5x'-3)}{x-x'}=\dfrac{5(x-x')}{x-x'}=5$ .

$T_f=5>0$ : on retrouve que f est strictement croissante sur ℝ.

VII

Extremums d'une fonction

Définitions

Soit

a\in I\subset D_f

$f(a)$ est une valeur maximale de $f$ sur $I$ ssi $f(x)\le f(a)$ pour tout $x\in I$ .
$f(a)$ est une valeur minimale de $f$ sur $I$ ssi $f(a)\le f(x)$ pour tout $x\in I$ .

Un extremum est un maximum ou un minimum. Si $I=D_f$ , on parle d'extremum absolu ; sinon, d'extremum relatif (local).

Exemple résolu — un minimum absolu

Soit $f(x)=5x^2+3$ . Pour tout $x\in\mathbb R$ : $f(x)-f(0)=5x^2+3-3=5x^2\ge0$ , donc $f(x)\ge f(0)$ .

$f(0)=3$ est donc une valeur minimale (absolue) de f sur ℝ.

03 · Les fonctions de référence

Étude des fonctions ax², a/x, ax²+bx+c et (ax+b)/(cx+d)

Quatre familles de fonctions à connaître par cœur, avec leur courbe, leurs variations, et la méthode de translation.

VIII.A

La fonction f(x) = ax² (a ≠ 0)

$D_f=\mathbb R$ . Comme $f(-x)=a(-x)^2=ax^2=f(x)$ , f est paire. Le domaine d'étude est $D_E=[0,+\infty[$ .

Pour $x,x'\ge0$ , $x\neq x'$ : $T_f=\dfrac{ax^2-ax'^2}{x-x'}=a(x+x')$ . Comme $x+x'>0$ , le signe de $T_f$ est celui de $a$ .

Propriété

Si $a>0$ : f strictement décroissante sur $]-\infty,0]$ , strictement croissante sur $[0,+\infty[$ , minimum $f(0)=0$ . La courbe est une parabole tournée vers le haut.
Si $a<0$ : f strictement croissante sur $]-\infty,0]$ , strictement décroissante sur $[0,+\infty[$ , maximum $f(0)=0$ . Parabole tournée vers le bas.

Dans les deux cas, la courbe est une parabole de sommet l'origine $O$ , d'axe de symétrie $(Oy)$ .

VIII.B

La fonction f(x) = a/x (a ≠ 0)

$D_f=\mathbb R^*$ . $f(-x)=\dfrac{a}{-x}=-f(x)$ : f est impaire. Domaine d'étude $D_E=\;]0,+\infty[$ .

Pour $x,x'>0$ , $x\neq x'$ : $T_f=\dfrac{\frac ax-\frac a{x'}}{x-x'}=\dfrac{-a}{xx'}$ .

Propriété

Si $a>0$ : $T_f<0$ , donc f est strictement décroissante sur $]0,+\infty[$ — et, par imparité, strictement décroissante aussi sur $]-\infty,0[$ .
Si $a<0$ : $T_f>0$ , donc f est strictement croissante sur les deux intervalles $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$ .

La courbe est une hyperbole, de centre de symétrie $O$ , d'asymptote horizontale $(Ox)$ et d'asymptote verticale $(Oy)$ .

VIII.C

La fonction f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Propriété (admise) — forme canonique

f(x)=ax^2+bx+c

s'écrit

f(x)=a(x+\alpha)^2+\beta

avec

\alpha,\beta\in\mathbb R

. La courbe

(C_f)

est une parabole, de sommet

S(-\alpha,\beta)

, d'axe de symétrie

x=-\alpha

, obtenue à partir de la courbe de

g(x)=ax^2

par la translation de vecteur

\vec u=-\alpha\vec\imath+\beta\vec\jmath

Exemple résolu — f(x) = x² − 4x + 3

$a=1>0$ , $b=-4$ , $c=3$ . Forme canonique :

$f(x)=a\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}=\left(x-2\right)^2-1$

Donc $\alpha=-2$ et $\beta=-1$ : sommet $S(2,-1)$ , axe de symétrie $x=2$ .

$a=1>0$ : f est strictement décroissante sur $]-\infty,2]$ et strictement croissante sur $[2,+\infty[$ , minimum $f(2)=-1$ .

VIII.D

La fonction homographique f(x) = (ax+b)/(cx+d)

Propriété (admise)

c\neq0

\Delta=ad-bc\neq0

f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}

s'écrit

f(x)=\beta+\dfrac{k}{x+\alpha}

(avec

x\neq-\alpha

). La courbe est une hyperbole de centre

S(-\alpha,\beta)

, d'asymptote horizontale

y=\beta

et d'asymptote verticale

x=-\alpha

, obtenue à partir de

g(x)=\dfrac kx

par la translation de vecteur

\vec u=-\alpha\vec\imath+\beta\vec\jmath

Signe de k et sens de variation

Comme pour

a/x

: si

k>0

, f est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles de

D_f

; si

k<0

, f est strictement croissante sur chacun des deux intervalles.

Exemple résolu — f(x) = (x−1)/(x+2)

$D_f=\mathbb R\setminus\{-2\}$ . On écrit $x-1=(x+2)-3$ , donc :

$f(x)=\dfrac{(x+2)-3}{x+2}=1-\dfrac{3}{x+2}$

D'où $\alpha=2$ , $\beta=1$ , $k=-3$ . Centre $S(-2,1)$ , asymptotes $x=-2$ et $y=1$ .

$k=-3<0$ : f est strictement croissante sur $]-\infty,-2[$ et sur $]-2,+\infty[$ .

À toi de jouer

Série d'exercices · Généralités sur les fonctions

28 exercices corrigés en détail (Prof. Atmani Najib). Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 28 vérifiés

Calculer des images, chercher des antécédents

Soit $f(x)=3x^2-1$ .

Calculer l'image de $1$ , de $\sqrt2$ et de $-1$ par $f$ .
Déterminer les antécédents éventuels de $2$ par $f$ .

Valeurs sans image

a) $f(x)=\dfrac1{x-3}$ : parmi 0 ; 2 ; −3 ; 3, laquelle/lesquelles n'a/ont pas d'image par f ?

b) $g(x)=\sqrt{x-3}$ : parmi 0 ; 2 ; −3 ; 4, laquelle/lesquelles n'a/ont pas d'image par g ?

c) $h(x)=\dfrac1{\sqrt{7-x}}$ : parmi 5 ; −6 ; 9 ; 7, laquelle/lesquelles n'a/ont pas d'image par h ?

21 ensembles de définition à déterminer

1) $f(x)=3x^2-x+1$

2) $f(x)=\dfrac{x^3}{2x-4}$

3) $f(x)=\dfrac{2x^4}{x^2-4}$

4) $f(x)=\dfrac{7x-1}{x^3-2x}$

5) $f(x)=\sqrt{-3x+6}$

6) $f(x)=\dfrac{x-5}{2x^2-5x-3}$

7) $f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}$

8) $f(x)=\sqrt{\dfrac{-3x+9}{x+1}}$

9) $f(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{-2x^2+x+3}}$

10) $f(x)=\dfrac{|x-5|}{x^2+1}$

11) $f(x)=\dfrac{\sqrt{|x|}}{x}$

12) $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}$

13) $f(x)=\sqrt{-2x^2+x+3}$

14) $f(x)=\dfrac{|x-5|}{x^2+1}$

15) $f(x)=\dfrac{\sqrt{|x|}}{x}$

16) $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-2}}{2x+4}$

17) $f(x)=3x^2-\dfrac1x+\sqrt{-x}$

18) $f(x)=\dfrac{x}{|2x-4|-|x-1|}$

19) $f(x)=\dfrac{2\sin x}{2\cos x-1}$

20) $f(x)=\sqrt{\dfrac{-2x^2+2x+13}{x^2-x-6}}$

21) $f(x)=\sqrt{x^2+(2\sqrt3-\sqrt2)x-2\sqrt6}$

f = g ? (cas où c'est vrai)

Soient $f(x)=\dfrac{3x^2+1}{\sqrt{x^2}}$ et $g(x)=\dfrac{1+3x^2}{|x|}$ . Est-ce que $f=g$ ? Justifier.

h = t ? (cas où c'est faux)

Soient $h(x)=\dfrac{x^2-x}{x}$ et $t(x)=x-1$ . Est-ce que $h=t$ ? Justifier.

Tracer la courbe de f(x) = 1/(x²+1) sur [−2,3]

Tracer la représentation graphique de $f(x)=\dfrac1{x^2+1}$ sur $I=[-2,3]$ .

Le graphe d'une fonction affine

Que représente la courbe représentative d'une fonction affine $f(x)=ax+b$ (avec $a,b\in\mathbb R$ ) ?

Tracer la courbe de f(x) = |2x + 3|

Tracer la représentation graphique de $f(x)=|2x+3|$ .

Tracer la courbe de f(x) = |x−2| + |x+2|

Tracer la représentation graphique de $f(x)=|x-2|+|x+2|$ .

Lecture graphique sur [−6, 7]

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur $[-6,7]$ (ligne brisée passant par les points $(-6,-4)$ , $(-3,2)$ , $(0,-1)$ , $(2,2)$ , $(4,2)$ , $(7,-4)$ ).

Quelles sont les images des réels −5, −3, 0 et 6 ?
Quels sont les antécédents de −1 et de 0 ?
Résoudre graphiquement $f(x)=0$ .
Quel est, en fonction de $m$ , le nombre de solutions de $f(x)=m$ ?
Résoudre graphiquement $f(x)<0$ .
Résoudre graphiquement $f(x)\ge2$ .

Étudier la parité (4 fonctions)

1) $f(x)=3x^2-5$ 2) $g(x)=\dfrac3x$ 3) $h(x)=2x^3+x^2$ 4) $t(x)=\dfrac{x}{x-2}$

Étudier la parité (7 fonctions)

1) $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x}$ 2) $f(x)=x^2+\dfrac1x$ 3) $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$

4) $f(x)=\dfrac{|x|}{x^2-1}$ 5) $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ 6) $f(x)=\dfrac{2x^3}{x^2+5}$

7) $f(x)=|x|-\sqrt{2x^2+4}$ 8) $f(x)=\dfrac{\sqrt x}2$

Étudier la monotonie de f et de g

1) $f(x)=7x-5$ 2) $g(x)=\dfrac2x$

Dresser un tableau de variation à partir d'une courbe

La courbe ci-dessous représente une fonction sur $[-5,5]$ (ligne brisée par les points $(-5,5)$ , $(-2,-2)$ , $(1,2)$ , $(5,0{,}5)$ ). Dresser son tableau de variation.

Domaine, taux d'accroissement et variations de f(x) = 3x² + 2

Déterminer $D_f$ .
Calculer le taux d'accroissement de f entre $x_1$ et $x_2$ ( $x_1\neq x_2$ ).
Étudier les variations de f sur $[0,+\infty[$ et sur $]-\infty,0]$ .
Dresser le tableau de variation de f.

Domaine, taux d'accroissement et variations de g(x) = x/(x+1)

Déterminer $D_g$ .
Calculer le taux d'accroissement de g entre $x_1$ et $x_2$ ( $x_1\neq x_2$ ).
Étudier les variations de g sur $I=\;]-\infty,-1[$ et $J=\;]-1,+\infty[$ .
Dresser le tableau de variation de g.

Étude complète de f(x) = x + 1/x

Déterminer $D_f$ et étudier la parité de f.
Calculer le taux d'accroissement $T(x_1,x_2)$ entre $x_1\neq x_2$ de $D_f$ .
Étudier les variations de f sur $I=\;]0,1]$ puis sur $J=[1,+\infty[$ .
En déduire les variations de f sur $D_f$ .
Dresser le tableau de variations de f sur $D_f$ .

Un minimum, directement

Soit $f(x)=5x^2+3$ . Montrer que $f(0)=3$ est un minimum de f sur $\mathbb R$ .

Un maximum, directement

Soit $g(x)=-4x^2+1$ . Montrer que $g(0)=1$ est un maximum de g sur $\mathbb R$ .

Extremum via une forme canonique imposée

Soit $f(x)=-4x^2+4x+5$ .

1°) a) Montrer que $f(x)=6-(2x-1)^2$ pour tout $x\in\mathbb R$ .

b) Montrer que $f(x)\le6$ pour tout $x\in\mathbb R$ .

2°) Calculer $f\left(\tfrac12\right)$ et en déduire les extremums de f sur $\mathbb R$ .

Tableau et courbe de ½x² et −½x²

Donner le tableau de variation et représenter la courbe de : 1) $f(x)=\tfrac12x^2$ ; 2) $f(x)=-\tfrac12x^2$ .

Étude complète de f(x) = 2x² − 4x − 2

Déterminer $D_f$ .
Déterminer α et β tels que $f(x)=2(x-\alpha)^2+\beta$ pour tout $x$ .
Déterminer le tableau de variations de f.
Tracer la courbe représentative $(C_f)$ .

Étude complète de g(x) = −½x² + 2x + 1

Déterminer $D_g$ .
Déterminer α et β tels que $g(x)=-\tfrac12(x-\alpha)^2+\beta$ pour tout $x$ .
Déterminer le tableau de variations de g.
Tracer la courbe représentative $(C_g)$ .

Étude complète de f(x) = (−2x+1)/(2x−4)

Déterminer $D_f$ .
Déterminer α, β et k tels que $f(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}$ pour tout $x$ .
Déterminer le tableau de variations de f.
Tracer $(C_f)$ .

Étude complète de f(x) = (2x+1)/(x−1)

Déterminer $D_f$ .
Déterminer α, β et k tels que $f(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}$ pour tout $x$ .
Déterminer le tableau de variations de f.
Tracer $(C_f)$ .

Étude complète de g(x) = −x/(x−2)

Déterminer $D_g$ .
Déterminer α, β et k tels que $g(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}$ pour tout $x$ .
Déterminer le tableau de variations de g.
Tracer $(C_g)$ .

Lecture graphique : cubique et droite

Soit $(C_f)$ la courbe de $f(x)=x^3-4x^2+3$ et $(D)$ la droite d'équation $y=-x-3$ .

Résoudre graphiquement $f(x)=3$ , puis l'inéquation $f(x)\le3$ .
Résoudre graphiquement $f(x)=0$ et l'inéquation $f(x)\ge0$ .
Résoudre graphiquement $f(x)=-x-3$ puis l'inéquation $f(x)\le-x-3$ .

Deux courbes qui se coupent : parabole et droite

Soient $f(x)=x^2-3x-4$ et $g(x)=3x+12$ , définies sur $\mathbb R$ .

Tracer les courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ .
Résoudre graphiquement et algébriquement $f(x)=g(x)$ .
Résoudre graphiquement et algébriquement $f(x)\ge g(x)$ .
Trouver les points d'intersection de $(C_f)$ avec les axes du repère.

Généralités sur les fonctions · Mathématiques, Tronc Commun Sciences et Technologies, semestre 2.