Tronc Commun Sciences · Semestre 1

Trigonométrie 1 — Calcul trigonométrique

Le radian, le cercle trigonométrique, l'abscisse curviligne, les angles orientés, puis sinus, cosinus et tangente d'un nombre réel et les angles associés : un cours complet suivi de 12 exercices corrigés en détail.

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cosx, sinxcercle trigonométrique · rayon 1

01 · Unité d'angle

Le radian et le cercle trigonométrique

Une nouvelle unité pour mesurer les angles, mieux adaptée à l'étude des fonctions trigonométriques que le degré.

Définition · le radian

Soit

\mathcal{C}

un cercle de centre

O

et de rayon

1

. On appelle radian (noté

\text{rad}

) la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur

1

sur ce cercle.

Remarque

On étend cette définition à tout cercle de rayon

R

: le radian est alors la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur

R

. Le radian sert aussi à mesurer des longueurs d'arcs sur le cercle trigonométrique.

Cercle trigonométrique

Sur un cercle, le sens direct (ou sens positif, ou sens trigonométrique) est le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Un cercle trigonométrique est un cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , muni d'un point origine $I$ et du sens de parcours direct. On y place aussi $J$ tel que $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})$ soit un angle droit direct.

Relation degré ↔ radian

\dfrac{x}{\pi}=\dfrac{y}{180}

x : mesure en radians — y : mesure en degrés, pour un même angle

degrés	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$180^\circ$	$360^\circ$
radians	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$2\pi$

Exemple résolu

1) Convertir $150^\circ$ en radians. 2) Convertir $\dfrac{7\pi}{4}$ rad en degrés.

1) $\dfrac{x}{\pi}=\dfrac{150}{180}$ donc $x=\dfrac{150\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}$ . $150^\circ=\dfrac{5\pi}{6}\text{ rad}$

2) $\dfrac{7\pi/4}{\pi}=\dfrac{y}{180}$ donc $y=\dfrac{7}{4}\times180=315$ . $\dfrac{7\pi}{4}\text{ rad}=315^\circ$

02 · Repérer un point sur le cercle

Abscisse curviligne d'un point

On enroule la droite numérique sur le cercle trigonométrique pour associer un ou plusieurs réels à chaque point du cercle.

Enroulement de la droite numérique

On fait coïncider le zéro de la droite numérique avec l'origine

I

du cercle trigonométrique, puis on enroule la demi-droite des réels positifs sur le cercle dans le sens direct, et la demi-droite des réels négatifs dans le sens indirect. Chaque point

M

du cercle est ainsi recouvert par une infinité de réels, appelés abscisses curvilignes de

M

Si $\alpha$ est une abscisse curviligne de $M$ , l'ensemble de toutes les abscisses curvilignes de $M$ est :

\{\alpha+2k\pi\;;\;k\in\mathbb{Z}\}

Propriété

x

x'

sont deux abscisses curvilignes du même point

M

, alors il existe

k\in\mathbb{Z}

tel que

x'=x+2k\pi

. On note

x'\equiv x\ [2\pi]

et on lit «

x'

est congru à

x

modulo

2\pi

».

Abscisse curviligne principale

Parmi toutes les abscisses curvilignes d'un point

M

, une seule appartient à l'intervalle

]-\pi\,;\,\pi]

. On l'appelle abscisse curviligne principale de

M

Méthode et exemple résolu

Déterminer l'abscisse curviligne principale de $x=\dfrac{29\pi}{4}$ .

On cherche $k\in\mathbb{Z}$ et $\theta\in\,]-\pi\,;\,\pi]$ tels que $\dfrac{29\pi}{4}=\theta+2k\pi$ .

$\dfrac{29\pi}{4}=7{,}25\pi$ . En retranchant $3\times2\pi=\dfrac{24\pi}{4}$ : $\dfrac{29\pi}{4}-\dfrac{24\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}$ , qui n'est pas dans $]-\pi\,;\,\pi]$ (car $\tfrac{5\pi}{4}>\pi$ ). On retranche encore $2\pi=\tfrac{8\pi}{4}$ : $\dfrac{5\pi}{4}-\dfrac{8\pi}{4}=-\dfrac{3\pi}{4}$ , qui appartient bien à $]-\pi\,;\,\pi]$ .

$\dfrac{29\pi}{4}\equiv-\dfrac{3\pi}{4}\ [2\pi]$ : l'abscisse curviligne principale est $-\dfrac{3\pi}{4}$ .

03 · Orienter un angle

Angles orientés de deux demi-droites (ou de deux vecteurs)

Un angle géométrique ne suffit pas toujours : on a besoin de préciser dans quel sens on le parcourt.

Définition

Soient

[Ox)

[Oy)

deux demi-droites de même origine

O

. Le couple

([Ox),[Oy))

, pris dans cet ordre, détermine un angle orienté, noté

(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{Oy})

. L'angle

(\overrightarrow{Oy},\overrightarrow{Ox})

, pris dans l'autre sens, est en général différent.

Mesures

Soit $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique de centre $O$ , et $A,B$ les points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec $[Ox)$ , $[Oy)$ . Si $a$ et $b$ sont des abscisses curvilignes de $A$ et $B$ , tout réel de la forme $b-a+2k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ) est une mesure de $(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{Oy})$ . Une seule de ces mesures appartient à $]-\pi\,;\,\pi]$ : c'est la mesure principale.

Cas particuliers

Angle nul —

\overrightarrow{Ox}=\overrightarrow{Oy}

(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{Oy})=0\ [2\pi]

Angle plat —

Ox

Oy

opposées :

(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{Oy})=\pi\ [2\pi]

Angle droit direct :

(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{Oy})=\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]

Angle droit indirect :

(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{Oy})=-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]

Relation de Chasles

(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{Oy})+(\overrightarrow{Oy},\overrightarrow{Oz})=(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{Oz})\ [2\pi]

Conséquences immédiates

$(\overrightarrow{Oy},\overrightarrow{Ox})=-(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{Oy})\ [2\pi]$ (en prenant $Oz=Ox$ ).

Ces définitions et propriétés s'étendent telles quelles aux angles orientés de deux vecteurs non nuls $\vec u,\vec v$ , en considérant les demi-droites qu'ils dirigent : on note alors $(\vec u,\vec v)$ , avec $(\vec u,\vec u)=0\ [2\pi]$ et $(\vec u,-\vec u)=\pi\ [2\pi]$ .

04 · Trois nombres associés à x

Sinus, cosinus et tangente d'un nombre réel

On généralise le cosinus et le sinus, définis au collège pour un angle aigu, à n'importe quel nombre réel.

Repère lié au cercle trigonométrique

Le repère

(O;\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})

est orthonormé direct : c'est le repère lié au cercle trigonométrique

\mathcal{C}

Soit $x\in\mathbb{R}$ . Il existe un unique point $M$ de $\mathcal{C}$ dont $x$ est une abscisse curviligne. Soit $C$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(OI)$ , et $S$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(OJ)$ .

$\cos x$ = abscisse de $M$ (= abscisse de $C$ )

$\sin x$ = ordonnée de $M$ (= ordonnée de $S$ )

Tangente

Soit

(\Delta)

la tangente au cercle

\mathcal{C}

I

. Si

M\neq J

M\neq J'

, la droite

(OM)

coupe

(\Delta)

en un point

T

. Le réel

\tan x

est l'ordonnée de

T

dans le repère

(I;\overrightarrow{OJ})

porté par

(\Delta)

. On a :

\begin{gathered} \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \\ \text{défini ssi } x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}) \end{gathered}

Valeurs remarquables à connaître par cœur

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}2$	$\dfrac{\sqrt2}2$	$\dfrac12$	$0$
$\sin x$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}2$	$\dfrac{\sqrt3}2$	$1$
$\tan x$	$0$	$\dfrac{\sqrt3}3$	$1$	$\sqrt3$	indéfini

Propriétés fondamentales

-1\leqslant\cos x\leqslant1

-1\leqslant\sin x\leqslant1

\cos^2x+\sin^2x=1

\cos(x+2k\pi)=\cos x

\sin(x+2k\pi)=\sin x

(

k\in\mathbb{Z}

)

\tan(x+k\pi)=\tan x

(

k\in\mathbb{Z}

, quand défini)

Pourquoi cos²x + sin²x = 1 ?

Le triangle

OCM

est rectangle en

C

. Pythagore donne

OC^2+CM^2=OM^2=1

. Or

OC=|\cos x|

CM=|\sin x|

, d'où

\cos^2x+\sin^2x=1

. On dit que cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$ .

Exemple résolu

Sachant que $\tan x=\dfrac13$ et que $x\in\left]\pi\,;\,\dfrac{3\pi}2\right[$ , calculer $\cos x$ et $\sin x$ .

On sait que $1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}$ (conséquence de $\cos^2x+\sin^2x=1$ ). Donc $1+\dfrac19=\dfrac{10}9=\dfrac1{\cos^2x}$ , d'où $\cos^2x=\dfrac9{10}$ et $\cos x=\pm\dfrac3{\sqrt{10}}=\pm\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ .

Or $x\in\left]\pi\,;\,\tfrac{3\pi}2\right[$ (troisième quadrant), donc $\cos x<0$ : $\cos x=-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ .

Puis $\sin x=\tan x\times\cos x=\dfrac13\times\left(-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\right)$ , d'où $\sin x=-\dfrac{\sqrt{10}}{10}$ .

05 · Symétries du cercle

Angles associés

Les symétries du cercle trigonométrique permettent de calculer sin, cos, tan d'un angle à partir d'un angle plus simple.

Opposés, supplémentaires, anti-supplémentaires

Complémentaires, anti-complémentaires

Tableau récapitulatif

angle	$-x$	$\pi-x$	$\pi+x$	$\dfrac{\pi}2-x$	$\dfrac{\pi}2+x$
$\cos$	$\cos x$	$-\cos x$	$-\cos x$	$\sin x$	$-\sin x$
$\sin$	$-\sin x$	$\sin x$	$-\sin x$	$\cos x$	$\cos x$
$\tan$	$-\tan x$	$-\tan x$	$\tan x$	$\dfrac1{\tan x}$	$-\dfrac1{\tan x}$

Moyen mnémotechnique

Pour

-x

\pi-x

\pi+x

: cosinus et sinus gardent leur nom (cos reste cos, sin reste sin), seul le signe change selon le quadrant. Pour

\tfrac\pi2-x

\tfrac\pi2+x

: cosinus et sinus échangent leur nom (cos devient sin et réciproquement).

Exemple résolu

Calculer $\cos\left(\dfrac{11\pi}6\right)$ et $\sin\left(\dfrac{11\pi}6\right)$ .

$\dfrac{11\pi}6=2\pi-\dfrac{\pi}6$ , donc $\dfrac{11\pi}6\equiv-\dfrac{\pi}6\ [2\pi]$ .

$\cos\left(-\dfrac{\pi}6\right)=\cos\dfrac{\pi}6=\dfrac{\sqrt3}2$ et $\sin\left(-\dfrac{\pi}6\right)=-\sin\dfrac{\pi}6=-\dfrac12$ .

$\cos\dfrac{11\pi}6=\dfrac{\sqrt3}2$ et $\sin\dfrac{11\pi}6=-\dfrac12$ .

Entraînement

12 exercices corrigés

Cherchez chaque exercice au brouillon, puis cliquez pour vérifier votre réponse étape par étape.

0 / 12 vérifiés

Angles orientés dans une figure

Sur la figure, $I$ est le milieu de $[BC]$ et $BI=IC=IA=AC$ (segments marqués). Le sens direct est indiqué par la flèche.

Donner les mesures principales des angles : $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CI})$ ; $(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IA})$ ; $(\overrightarrow{BI},\overrightarrow{BA})$ ; $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})$ .

Abscisse curviligne principale

Déterminer l'abscisse curviligne principale de chaque point dont une abscisse curviligne est :

\dfrac{22\pi}4

-\dfrac{44\pi}6

\dfrac{214\pi}6

12\pi

-\dfrac{29\pi}2

Représenter ces points sur un cercle trigonométrique.

Même point du cercle trigonométrique

Montrer que les nombres suivants sont les abscisses curvilignes du même point d'un cercle trigonométrique :

\dfrac{96\pi}7\;,\;-\dfrac{16\pi}7\;\text{et}\;\dfrac{12\pi}7

Congruence modulo 2π

Les nombres $\alpha$ et $\beta$ sont-ils congrus modulo $2\pi$ ?

\alpha=245\pi

\beta=-12\pi

\alpha=\dfrac{115\pi}2

\beta=\dfrac{729\pi}6

Angles orientés et relation de Chasles

$A$ et $B$ sont deux points d'un cercle trigonométrique tels que :

(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OA})\equiv\dfrac{7\pi}8\ [2\pi]

(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OB})\equiv-\dfrac{3\pi}5\ [2\pi]

Calculer $(\overrightarrow{OJ},\overrightarrow{OA})$ ; $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ et $(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OJ})$ .

Calculer des valeurs trigonométriques

\cos\left(-\dfrac{29\pi}6\right)

\sin\left(\dfrac{53\pi}6\right)

\tan\left(\dfrac{22\pi}3\right)

Placer des points selon un signe

Déterminer sur un cercle trigonométrique les points $M$ et $N$ d'abscisses curvilignes respectives $x$ et $y$ tels que :

\cos x=\dfrac23

\sin x\geqslant0

;

\sin y=-\dfrac14

\cos y\leqslant0

Simplifier à l'aide des angles associés

A=\cos\left(\dfrac\pi2+x\right)+\sin(\pi-x)+\cos\left(\dfrac\pi2-x\right)-\sin(-x)

B=\cos(\pi+x)+\cos\left(\dfrac{3\pi}2+x\right)+\sin(3\pi-x)+\sin\left(\dfrac{5\pi}2-x\right)

C=\cos\left(\dfrac{7\pi}2+x\right)+\cos\left(\dfrac{7\pi}2-x\right)+\cos\left(\dfrac\pi2+x\right)-\sin\left(\dfrac\pi2-x\right)

Cosinus et sinus de π/8

Sachant que $\tan\dfrac\pi8=\sqrt2-1$ :

Montrer que $\cos\dfrac\pi8=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2$ , puis calculer $\sin\dfrac\pi8$ .
Calculer $\cos\dfrac{7\pi}8$ et $\cos\dfrac{3\pi}8$ .

Identités à démontrer

Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

(\cos x+\sin x)^2+(\cos x-\sin x)^2=2

\cos^4x+\sin^4x=1-2\sin^2x\cos^2x

\cos^4x-\sin^4x+2\sin^2x=1

(\cos x+\sin x+1)^2=2(1+\cos x)(1+\sin x)

Sommes trigonométriques

A=\tan\dfrac\pi5+\tan\dfrac{2\pi}5+\tan\dfrac{3\pi}5+\tan\dfrac{4\pi}5

B=\sin^2\dfrac\pi8+\sin^2\dfrac{3\pi}8+\sin^2\dfrac{5\pi}8+\sin^2\dfrac{7\pi}8

Identité cos⁶x + sin⁶x et calcul avec tan x

On pose $P(x)=\cos^6x+\sin^6x-\dfrac14$ , $x\in\mathbb{R}$ .

Montrer que $P(x)=\dfrac34\left(2\cos^2x-1\right)^2$ .
Écrire $P(x)$ en fonction de $\tan x$ , pour $x\neq\dfrac\pi2+k\pi$ .
Sachant que $\tan x=-\sqrt2$ , calculer $P(x)$ et $\cos x$ .

Trigonométrie 1 — Calcul trigonométrique · Mathématiques, Tronc Commun Sciences et Technologies, semestre 1.