Tronc Commun Sciences · Semestre 1

La projection dans le plan

Projeter un point sur une droite parallèlement à une autre : définition, théorème de Thalès (direct et réciproque), et conservation du coefficient de colinéarité. Cours complet et figures exactes, puis 7 exercices corrigés.

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01 · La définition

Projection d'un point sur une droite parallèlement à une autre droite

Deux droites sécantes suffisent à définir, pour tout point du plan, un unique projeté.

Définition

Soient $(D)$ et $(\Delta)$ deux droites sécantes du plan, et $M$ un point du plan tel que $M\notin(\Delta)$ .

On appelle projeté (ou projection) du point M sur (Δ) parallèlement à (D), l'unique point $M'$ tel que :

\begin{gathered} M'\in(\Delta) \\ \text{et} \\ (MM')\parallel(D) \end{gathered}

M′ est le point d'intersection de (Δ) avec la parallèle à (D) passant par M

Cas particulier — la projection orthogonale

(D)\perp(\Delta)

, le projeté

M'

M

sur

(\Delta)

parallèlement à

(D)

est appelé projection orthogonale de

M

sur

(\Delta)

Si $M\in(\Delta)$ , on convient que $M$ est son propre projeté (un point de $(\Delta)$ ne bouge pas).

I bis

Activité — comprendre la construction

Imaginons que $(D)$ représente la direction des rayons du soleil, et que $(\Delta)$ représente le sol. L'ombre d'un point $A$ (par exemple le sommet d'un arbre) sur le sol est exactement le point $A'$ , projeté de $A$ sur $(\Delta)$ parallèlement à $(D)$ : on trace la parallèle à $(D)$ passant par $A$ , et son intersection avec le sol $(\Delta)$ donne $A'$ .

Trois questions classiques sur une figure donnée

Trouver la projection d'un point : on trace la parallèle à $(D)$ par ce point, et on regarde où elle coupe $(\Delta)$ .
Trouver tous les points dont la projection sur $(\Delta)$ est un point donné $F$ : c'est exactement la droite passant par $F$ et parallèle à $(D)$ (car tout point de cette droite se projette bien en $F$ , et réciproquement).
Construire un point $M$ connaissant sa projection $M'$ et une condition supplémentaire (par exemple appartenir à un parallélogramme donné) : $M$ se trouve nécessairement sur la parallèle à $(D)$ passant par $M'$ , et la seconde condition permet de le localiser précisément sur cette droite.

02 · Le théorème central

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème qui relie la projection aux rapports de longueurs, dans les trois configurations usuelles.

II.A

Théorème de Thalès (sens direct)

Propriété (admise)

Si $A,B,M$ sont trois points alignés, $A,N,C$ sont trois points alignés, et si $(MN)\parallel(BC)$ , alors :

$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$

Ce théorème s'applique dans plusieurs configurations : les points $M,N$ peuvent être situés entre $A$ et $B,C$ (triangle), au-delà (agrandissement), ou de part et d'autre de $A$ (configuration en « papillon », droites sécantes en $A$ ). Dans tous les cas, c'est la même relation de rapports qui s'applique.

Exemple résolu — calculer x et y

$ABC$ un triangle, $I\in[AB]$ , $J\in[AC]$ , $(IJ)\parallel(BC)$ , avec $AI=6$ , $AB=18$ , $AJ=5$ , $AC=x$ , $BC=12$ , $IJ=y$ (en cm).

D'après Thalès : $\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{AJ}{AC}=\dfrac{IJ}{BC}$ , soit $\dfrac{6}{18}=\dfrac{5}{x}=\dfrac{y}{12}$ , c'est-à-dire $\dfrac13=\dfrac5x=\dfrac{y}{12}$ .

$\dfrac13=\dfrac5x \iff x=15$ et $\dfrac13=\dfrac{y}{12}\iff y=4$ .

$AC=15$ cm et $IJ=4$ cm.

II.B

Réciproque du théorème de Thalès

Propriété (admise) — pour prouver un parallélisme

Si :

$A,M,B$ sont alignés,
$A,N,C$ sont alignés,
$A,M,B$ sont dans le même ordre que $A,N,C$ ,
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ ,

alors $(MN)\parallel(BC)$ .

Exemple résolu — ADE un triangle

$ADE$ un triangle tel que $B\in[AD]$ , $C\in[AE]$ , $AB=4$ cm, $AD=6$ cm, $AC=6$ cm, $AE=9$ cm. Montrons que $(BC)\parallel(DE)$ .

On a $A,B,D$ alignés, $A,C,E$ alignés, dans le même ordre, et :

$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac46=\dfrac23 \qquad\qquad \dfrac{AC}{AE}=\dfrac69=\dfrac23$

Les deux rapports sont égaux, donc $(BC)\parallel(DE)$ d'après la réciproque du théorème de Thalès.

03 · L'outil clé pour les exercices

Conservation du coefficient de colinéarité par projection

La propriété qui transforme un problème de projection en simple calcul vectoriel — la clé de tous les exercices de ce chapitre.

III

La propriété fondamentale

Soient $(D)$ et $(\Delta)$ deux droites sécantes. Pour des points $A,B,C,\dots$ du plan, on note $A',B',C',\dots$ leurs projections respectives sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ (ou sur $(\Delta)$ parallèlement à $(D)$ , selon le contexte).

Propriété (admise)

Si $\overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}$ ( $k\in\mathbb R$ ), alors :

$\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{A'C'}$

Autrement dit : la projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs. En particulier, elle conserve le milieu d'un segment, et transforme un vecteur nul en vecteur nul.

Exemple résolu — la méthode de référence de ce chapitre

$ABC$ un triangle, $M\in[AB]$ tel que $\overrightarrow{AM}=\tfrac13\overrightarrow{AB}$ , et $N$ le projeté de $M$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ . Montrons que $\overrightarrow{AN}=\tfrac13\overrightarrow{AC}$ .

$A$ est sa propre projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ (car $A\in(AC)$ ). $N$ est la projection de $M$ . $C$ est la projection de $B$ (car $(BC)\parallel(BC)$ , la parallèle à $(BC)$ passant par $B$ est $(BC)$ elle-même, qui coupe $(AC)$ en $C$ ).

Comme $\overrightarrow{AM}=\tfrac13\overrightarrow{AB}$ , la conservation du coefficient de colinéarité donne directement $\overrightarrow{A'M'}=\overrightarrow{AN}=\tfrac13\overrightarrow{AC}$ (avec $A'=A$ et $B'=C$ ).

$\overrightarrow{AN}=\tfrac13\overrightarrow{AC}$ .

Méthode à retenir pour les exercices

Repérer les deux droites sécantes qui définissent la projection, et identifier deux points « faciles » (souvent des sommets d'un triangle) dont on connaît déjà le projeté (un point sur la droite-image se projette sur lui-même ; un point sur la droite-direction se projette sur le point d'intersection des deux droites).
Exprimer le point à projeter comme $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ à partir de ces deux points de référence.
Appliquer directement la conservation : $\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}$ .

À toi de jouer

Série d'exercices · La projection dans le plan

7 exercices corrigés en détail (Série n°3, M. Saïd Cherif). Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 7 vérifiés

Un quadrilatère droit en D, médiatrice et parallélisme

$ABDC$ un quadrilatère droit en $D$ . $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[AC]$ et $[BC]$ . La droite parallèle à $(BD)$ passant par $J$ coupe $[DC]$ en $K$ .

Montrer que $K$ est le milieu de $[CD]$ .
Montrer que $(KJ)$ est la médiatrice de $[CD]$ . En déduire la nature du triangle $JDC$ .
En déduire que $(IK)$ est parallèle à $(AD)$ .

Deux droites de projection, un même point E

Soit $ABC$ un triangle et $D,M,N$ des points tels que $\overrightarrow{DB}=-\tfrac23\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DA}$ , et $4\overrightarrow{BN}+3\overrightarrow{MB}=\vec 0$ .

Construire la figure.
Montrer que $\overrightarrow{MB}=\tfrac43\overrightarrow{AB}+\tfrac23\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{AB}+\tfrac12\overrightarrow{AC}$ .
Prouver que les points $A,C,N$ sont alignés.
Soit $E$ un point de $[AB]$ , différent de $A$ et de $B$ . Le point $I$ est le projeté de $E$ sur $(BD)$ parallèlement à $(AD)$ . Le point $J$ est le projeté de $E$ sur $(BN)$ parallèlement à $(AN)$ . Prouver que les droites $(IJ)$ et $(DN)$ sont parallèles.

Triangle isocèle : la somme EM + MD est constante

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ ( $AB=AC=a$ ) et $M$ un point de $[BC]$ , différent de $B$ et de $C$ . Le point $D$ est le projeté de $M$ sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$ . Le point $E$ est le projeté de $M$ sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$ . Montrer que $EM+MD=a$ .

Projections de M et N, et du milieu de [MN']

Soit $ABC$ un triangle et $M,N$ deux points tels que $\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{AB}=\vec0$ et $3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}$ . Soient $M'$ et $N'$ leurs projections sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ .

Montrer que $\overrightarrow{NN'}=-2\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{MM'}=\tfrac13\overrightarrow{BC}$ .
Déterminer la projection de $[MN']$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ .
Soit $I$ le milieu de $[MN']$ . Déterminer la projection de $I$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ .

Construction : projeter, translater, comparer des longueurs

$(D)$ et $(\Delta)$ deux droites sécantes ; $A$ et $B$ deux points distincts, n'appartenant pas à $(D)$ , tels que $(AB)$ ne soit parallèle ni à $(D)$ ni à $(\Delta)$ .

Construire $A'$ et $B'$ , projetés respectifs de $A$ et $B$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ .
Construire $C$ tel que $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A'B'}$ .
Construire $H$ , le projeté orthogonal de $A$ sur $(BB')$ . Quel est le projeté du segment $[AH]$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ ? Déterminer un point $E$ tel que le segment $[A'B']$ soit le projeté de $[AE]$ , avec $AE>A'B'$ .

Quatre points équidistants et deux droites parallèles

Soient $A,B,C,D$ quatre points du plan tels que $C$ soit le milieu de $[BD]$ et $B$ le milieu de $[AC]$ . Soit $E$ un point tel que $E\notin(AB)$ . La droite passant par $D$ et parallèle à $(CE)$ coupe $(BE)$ en $B'$ . La droite passant par $A$ et parallèle à $(BE)$ coupe $(CE)$ en $C'$ et coupe $(DB')$ en $F$ .

Calculer $\dfrac{DB'}{DF}$ et $\dfrac{FC'}{FA}$ .
Montrer que $(B'C')$ et $(AD)$ sont parallèles.
Déduire la valeur de $\dfrac{C'B'}{AD}$ .
Montrer que $\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{FA}{FD}$ .

Trois points définis par des relations vectorielles, alignés

Soit $ABC$ un triangle et $E,F,G$ des points tels que $\overrightarrow{EB}=-2\overrightarrow{EC}$ , $3\overrightarrow{FA}+2\overrightarrow{FC}=\vec0$ , et $\overrightarrow{GB}=3\overrightarrow{GA}$ .

Construire les points $E,F,G$ .
En utilisant la projection, montrer que les points $E,F,G$ sont alignés.

La projection dans le plan · Mathématiques, Tronc Commun Sciences et Technologies, semestre 1.