Tronc Commun Sciences · Semestre 1

Les polynômes

Degré et coefficients, égalité de polynômes, somme et produit, racines et division euclidienne par x − a : le cours complet, puis 14 exercices corrigés pas à pas.

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exercices corrigés

notions du cours

100%

corrigé

P(x)

degré · racines · division euclidienne

01 · Le cours complet

Les polynômes

Trois notions à maîtriser, chacune avec sa définition, ses propriétés et un exemple entièrement résolu.

Approche sur les polynômes — égalité de deux polynômes

Activité · le volume d'une boîte

Une usine construit une boîte de carton (parallélépipède droit) de hauteur $(30-2x)$ cm, de longueur $(15-x)$ cm et de largeur $x$ cm, avec $0<x<15$ .

Le volume est $V(x) = x(15-x)(30-2x)$ . En développant : $(15-x)(30-2x) = 450-60x+2x^2$ , puis :

$V(x) = x(2x^2-60x+450) = 2x^3-60x^2+450x$ .

Vocabulaire

L'expression $2x^3-60x^2+450x$ est appelée polynôme de degré 3. On note un polynôme $P(x)$ , $Q(x)$ ou $R(x)$ , et son degré $d°P$ . Ici $d°V=3$ , et les nombres 2, −60 et 450 sont les coefficients du polynôme.

Définition générale

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $a_0,a_1,\dots,a_{n-1},a_n$ des réels donnés, avec $a_n \ne 0$ . L'expression

P(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n

ou, dans le sens décroissant : anxⁿ + ... + a1x + a0

est appelée polynôme de degré n, noté $d°P=n$ ;
chaque terme $a_ix^i$ est un monôme de degré $i$ ;
$a_0,a_1,\dots,a_n$ sont les coefficients du polynôme ;
si $P(x)=a_0$ avec $a_0\ne0$ , alors $\deg(P)=0$ ;
si tous les coefficients sont nuls, $P(x)=0$ : $P$ n'a pas de degré, c'est le polynôme nul.

Cas particuliers (avec a ≠ 0) :

$P(x)=ax$ : monôme de 1er degré ; $P(x)=ax^2$ : monôme de 2ᵉ degré.
$P(x)=ax+b$ : binôme de 1er degré ; $P(x)=ax^2+bx+c$ : trinôme de 2ᵉ degré.

Propriété · égalité de deux polynômes

Deux polynômes

P(x)

Q(x)

sont égaux si et seulement si

\deg(P)=\deg(Q)

et les coefficients des monômes de même degré sont égaux.

Exemple résolu · P(x) trinôme de degré 2

$P(x)=ax^2+bx+c$ est un trinôme de degré 2 dont le coefficient de degré 2 est le même que celui de $3x^2-5x+8$ , avec $P(0)=-1$ et $P(1)=0$ .

Le coefficient de degré 2 vaut donc $a=3$ . $P(0)=c=-1$ , donc $c=-1$ . $P(1)=3+b+c=0 \Rightarrow 3+b-1=0 \Rightarrow b=-2$ .

Conclusion : $P(x)=3x^2-2x-1$ .

Somme et produit de deux polynômes

Propriétés

La somme de deux polynômes $P(x)$ et $Q(x)$ est un polynôme $(P+Q)(x)$ dont le degré vérifie $d°(P+Q) \le \sup(d°P,\,d°Q)$ .

Le produit de deux polynômes $P(x)$ et $Q(x)$ est un polynôme $(P\times Q)(x)$ tel que $d°(P\times Q) = d°P + d°Q$ .

Exemple résolu · additionner deux trinômes

Avec $P(x)=3x^2-5x+1$ et $Q(x)=4x^2+7x-8$ : $(P+Q)(x)=7x^2+2x-7$ , de degré 2 (le degré ne baisse pas ici).

Avec $P(x)=3x^2-5x+1$ et $Q(x)=-3x^2+7x-8$ : $(P+Q)(x)=2x-7$ , de degré 1 : les termes de degré 2 se sont annulés, ce qui illustre pourquoi on a seulement $d°(P+Q)\le\sup(d°P,d°Q)$ (et non toujours l'égalité).

Exemple résolu · multiplier deux polynômes

Avec $P(x)=5x+1$ (degré 1) et $Q(x)=7x-8$ (degré 1) : $(P\times Q)(x) = 35x^2-33x-8$ , de degré $1+1=2$ .

Avec $P(x)=-5x+1$ (degré 1) et $Q(x)=5x^2-8$ (degré 2) : $(P\times Q)(x) = -25x^3+5x^2+40x-8$ , de degré $1+2=3$ : le degré du produit est toujours exactement $d°P+d°Q$ .

III

Racine d'un polynôme — division par x − a

Définition · racine (ou zéro)

On dit qu'un réel $\alpha$ est une racine (ou un zéro) d'un polynôme $P(x)$ si et seulement si $P(\alpha)=0$ .

Exemple

Pour

P(x)=x^2-5x+6

P(3)=9-15+6=0

: 3 est racine de

P

Propriété fondamentale de la division euclidienne

Soit

P(x)

un polynôme de degré

n

(

n\in\mathbb{N}^*

) et

a\in\mathbb{R}

. Il existe un unique polynôme

Q(x)

tel que

\begin{gathered} P(x) = (x-a)\,Q(x) + P(a) \\ \text{avec}\ \deg(Q)=n-1 \end{gathered}

$Q(x)$ est le quotient et $P(a)$ le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x-a$ .

Cas particulier

P(a)=0

(a est racine de P), alors

P(x)=(x-a)Q(x)

: on dit que

P(x)

est divisible par

x-a

, ou que

P(x)

est factorisé par

x-a

Trois méthodes pour trouver Q(x) et le reste — sur P(x) = 6x³ − 5x² + 4 divisé par x − 2

$P(2) = 6\times8-5\times4+4 = 48-20+4 = 32$ . On sait que $d°Q=2$ , donc $Q(x)=ax^2+bx+c$ , et :

$6x^3-5x^2+4 = (x-2)(ax^2+bx+c)+32 = ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c+32$ .

En identifiant : $a=6$ ; $b-2a=-5 \Rightarrow b=7$ ; $c-2b=0 \Rightarrow c=14$ ; on vérifie $-2c+32=4$ .

$P(x)=(x-2)(6x^2+7x+14)+32$ .

$6x^3-5x^2+0x+4$ divisé par $x-2$ : on soustrait successivement $6x^2(x-2)=6x^3-12x^2$ , puis $7x(x-2)=7x^2-14x$ , puis $14(x-2)=14x-28$ .

On obtient le même résultat : quotient $6x^2+7x+14$ , reste $32$ .

On aligne les coefficients de $P$ : $6,\ -5,\ 0,\ 4$ , et on multiplie par $a=2$ en cascade :

$6$ ; puis $-5+2\times6=7$ ; puis $0+2\times7=14$ ; puis $4+2\times14=32$ (le reste).

Même résultat : $Q(x)=6x^2+7x+14$ , reste 32.

02 · Teste-toi

Formulaire express

Essaie de répondre dans ta tête avant de cliquer pour vérifier.

Même degré, et coefficients des monômes de même degré égaux.

d°(P+Q) \le \sup(d°P,d°Q)

(peut baisser si les termes de plus haut degré s'annulent).

d°(P\times Q) = d°P+d°Q

(toujours exact).

P(\alpha)=0

, donc

P(x)=(x-\alpha)Q(x)

(P est divisible/factorisé par

x-\alpha

P(x)=(x-a)Q(x)+P(a)

, avec

\deg(Q)=\deg(P)-1

Par le schéma de Horner : coefficients de P, multipliés en cascade par a et additionnés.

À toi de jouer

Série d'exercices · Les polynômes

14 exercices corrigés en détail. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 14 vérifiés

Déterminer des coefficients par identification

Déterminer les réels a, b et c pour que l'égalité soit valide :

Cas 1 : $(x-1)(ax^2+bx+c) = -2x^3-3x^2+5x$ .
Cas 2 : $(x-2)^2(ax^2+bx+c) = 3x^4-12x^3+18x^2-24x+24$ .
Cas 3 : $(x^2-1)(ax^3+bx^2+cx) = x^5+x^3-2x$ .

Le polynôme nul

Déterminer les deux réels a et b tels que $P(-2)=0$ et $P(0)=5$ où $P(x)=-2x^3+ax+b$ .
Déterminer les trois réels a, b et c tels que pour tout réel x, on a $P(x)=0$ où $P(x) = ax^3-3(x-b)x+cx^2+(x^2-3)x$ .

Divisions euclidiennes

Effectuer la division euclidienne de E(x) par F(x) dans les cas suivants :

Cas 1 : $E(x)=5x^4-x^3-3x^2+x-1$ et $F(x)=x-2$ .
Cas 2 : $E(x)=4x^3+5x^2-x+7$ et $F(x)=x+1$ .
Cas 3 : $E(x)=4x^5-5x^3+2x+1$ et $F(x)=2x+3$ .

Degré d'un produit de trois polynômes

Soient $P(x)$ , $Q(x)$ et $R(x)$ trois polynômes dont les degrés successifs sont 2, 1 et 5. Déterminer le degré du produit $P(x)\cdot Q(x)\cdot R(x)$ .

Construire un polynôme à partir de conditions

Trouver un polynôme $P(x)$ de second degré tel que : $P(2)=3$ ; $P(1)=3$ ; $P(-1)=4$ .
Déterminer un trinôme du second degré admettant 2 et 5 comme racines.

Un polynôme qui est un carré parfait

Soit $P(x)=x^4+6x^3-11x^2-60x+100$ .

Vérifier que $P(x)=(x^2+3x-10)^2$ .
Vérifier que 2 est racine de $P(x)$ .
Factoriser P(x).
Résoudre l'équation $P(x)=0$ .

Factoriser par x + 1 (deux méthodes)

Soit $P(x) = -2x^3+2x^2+10x+6$ .

Montrer que $P(x)$ est divisible par $x+1$ .
En utilisant deux méthodes, déterminer les trois réels a, b et c tels que pour tout réel x : $P(x) = (x+1)(ax^2+bx+c)$ .

Divisibilité par un trinôme

Soit $Q(x) = x^2-x-12$ . Calculer $Q(-3)$ et factoriser $Q(x)$ .
Déterminer les réels a et b tels que le polynôme $P(x) = 2x^4-4x^3-33x^2+ax+b$ soit divisible par $Q(x)$ .
Factoriser P(x).

Factoriser en chaîne à partir d'une racine connue

On considère le polynôme $P(x) = x^3-15x-4$ .

a) Vérifier que 4 est une racine de $P(x)$ .
b) Montrer que $P(x) = (x-4)(x^2+4x+1)$ .
a) Montrer que $x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)$ .
b) Déterminer les deux réels a et b tels que : $P(x)+2(x-4) = (x-4)(x+a)(x+b)$ .

Un polynôme dépendant d'un paramètre n

Soit $P(x) = (x-2)^{3n}+(x-1)^{2n}-1$ , $n\in\mathbb{N}^*$ .

Prouver l'existence d'un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-2)Q(x)$ .
Déterminer le degré de $Q(x)$ .
Calculer $P(1)$ en fonction de $n$ .
Déterminer les valeurs de $n$ pour que $P(x)$ soit divisible par $x-1$ .

Un polynôme réciproque (palindromique)

Soit $P(x) = 2x^4-9x^3+14x^2-9x+2$ .

Vérifier que 0 n'est pas racine de ce polynôme.
Montrer que si $\alpha$ est racine de $P(x)$ , alors $\dfrac1\alpha$ est aussi une racine de $P(x)$ .
a) Vérifier que 2 est racine de $P(x)$ .
b) Déduire une autre racine de $P(x)$ .
c) En effectuant la division euclidienne de $P(x)$ par $x-2$ , déterminer $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-2)Q(x)$ .
a) Déterminer les trois réels a, b et c tels que $Q(x) = \left(x-\dfrac12\right)(ax^2+bx+c)$ .
b) Factoriser P(x) en monômes.

Somme géométrique via factorisation

Soit le polynôme $P(x) = 1-x^{n+1}$ .

Montrer que $P(x) = (1-x)(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n)$ .
En déduire la valeur de la somme : $S = 1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2009}$ .

Un polynôme télescopique pour retrouver 1+2+...+n

Déterminer un polynôme de second degré $P(x)$ tel que pour tout réel $x$ , on a $P(x+1)-P(x)=x$ .
En déduire la valeur de la somme : $S = 1+2+3+\cdots+n$ où $n$ est un entier naturel.

Divisibilité par (x + 1)²

On veut déterminer les réels a et b de sorte que le polynôme $P(x)=ax^6+bx^5+1$ soit divisible par $(x+1)^2$ .

Montrer que si $(x+1)$ divise $P(x)$ , alors $P(x) = a(x^6+x^5)+x^5+1$ .
Déterminer la factorisation de $x^5+1$ par $x+1$ . En déduire la factorisation de $P(x)$ par $x+1$ .
Déterminer alors la valeur de a puis celle de b.
Effectuer enfin la factorisation de $P(x)$ par $(x+1)^2$ .

Les polynômes · Mathématiques, Tronc Commun Sciences et Technologies, semestre 1.