Tronc Commun Sciences · Semestre 1

L'ordre dans IR

Comparaison de réels, intervalles et encadrements, valeur absolue et distance, approximation décimale : le cours complet, puis 14 exercices corrigés pas à pas.

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exercices corrigés

notions du cours

100%

corrigé

a \le b

intervalles · encadrement · valeur absolue

01 · Le cours complet

L'ordre dans IR

Cinq notions à maîtriser, chacune avec sa définition, ses propriétés et un exemple entièrement résolu.

Ordre dans ℝ : définitions et propriétés

Définitions

Soient $a$ et $b$ deux réels.

$a \le b$ équivaut à $(b-a) \in \mathbb{R}^{+}$ .
$a < b$ équivaut à $(b-a) \in \mathbb{R}^{+*}$ .
$a \ge b$ équivaut à $(a-b) \in \mathbb{R}^{+}$ .
$a > b$ équivaut à $(a-b) \in \mathbb{R}^{+*}$ .

Exemple

\dfrac{2}{7} > \dfrac{1}{7}

\sqrt{2} < 2

-100 < 1

Exemple résolu · comparer a = 5 − √3 et b = 2√3

$a-b = (5-\sqrt3)-2\sqrt3 = 5-3\sqrt3$ . Comparons 5 et $3\sqrt3$ en élevant au carré (les deux sont positifs) : $5^2=25$ et $(3\sqrt3)^2=27$ .

Comme $25 < 27$ , on a $5 < 3\sqrt3$ , donc $a-b=5-3\sqrt3 < 0$ .

Conclusion : $a < b$ .

Propriétés de l'ordre et des opérations — pour tous $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ :

Si $a \le b$ et $b \le c$ , alors $a \le c$ (transitivité).
Si $a \le b$ , alors $a+c \le b+c$ et $a-c \le b-c$ (compatibilité avec l'addition).
Si $a \le b$ et $c \le d$ , alors $a+c \le b+d$ .
Si $c > 0$ et $a \le b$ , alors $ac \le bc$ et $\dfrac{a}{c} \le \dfrac{b}{c}$ .
Si $c < 0$ et $a \le b$ , alors $ac \ge bc$ et $\dfrac{a}{c} \ge \dfrac{b}{c}$ (l'inégalité change de sens).
Si $a$ et $b$ sont non nuls et de même signe : $a \le b$ équivaut à $\dfrac1a \ge \dfrac1b$ .
Si $a,b \ge 0$ : $a \le b \iff a^2 \le b^2 \iff \sqrt a \le \sqrt b$ , et $a \le b \iff a^n \le b^n$ pour $n \in \mathbb{N}$ .

Exemple résolu · encadrer B = 2x + 3/x pour x ∈ [1, 7]

$1 \le x \le 7 \implies 2 \le 2x \le 14$ .

$1 \le x \le 7$ , et $x \mapsto \dfrac1x$ est décroissante sur les positifs, donc $\dfrac17 \le \dfrac1x \le 1$ , d'où $\dfrac37 \le \dfrac3x \le 3$ .

On additionne les deux encadrements (compatibilité de l'ordre avec l'addition) :

$2+\dfrac37 \le B \le 14+3$ , c'est-à-dire $\dfrac{17}{7} \le B \le 17$ .

Intervalles et encadrement

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ . Pour les intervalles $[a,b]$ , $]a,b[$ , $[a,b[$ et $]a,b]$ :

$a$ et $b$ sont appelés les extrémités de l'intervalle.
Le nombre positif $b-a$ est appelé la distance entre $a$ et $b$ , ou la longueur (capacité) de l'intervalle.
Le nombre $x_0 = \dfrac{a+b}{2}$ représente le centre de l'intervalle.
Le nombre positif $r = \dfrac{b-a}{2}$ représente le rayon de l'intervalle.
Les symboles $-\infty$ et $+\infty$ ne sont pas des nombres.
$\mathbb{R}^{+}=[0,+\infty[$ , $\mathbb{R}^{+*}=]0,+\infty[$ , $\mathbb{R}^{-}=]-\infty,0]$ , $\mathbb{R}^{-*}=]-\infty,0[$ , et $]a,a[=\varnothing$ .
$\varnothing$ (l'ensemble vide) est lui-même considéré comme un intervalle.

Définition · encadrement

Réaliser un encadrement d'un réel $x$ c'est trouver deux réels $a$ et $b$ (avec $a<b$ ) tels que $a \le x \le b$ (ou avec des inégalités strictes). Le nombre positif $b-a$ s'appelle l'amplitude de cet encadrement.

a \le x \le b \qquad \text{amplitude } = b-a

encadrement d'un réel x

Exemple résolu · encadrer √2 d'amplitude 0,01

$1{,}41^2 = 1{,}9881$ et $1{,}42^2 = 2{,}0164$ , avec $1{,}9881 < 2 < 2{,}0164$ .

Donc $1{,}41 \le \sqrt2 \le 1{,}42$ , un encadrement d'amplitude $1{,}42-1{,}41 = 0{,}01$ .

Exemple résolu · soit x ∈ ]1/3, 1[, encadrer x/(x+4)

$\dfrac13 < x < 1 \implies \dfrac13+4 < x+4 < 1+4$ , soit $\dfrac{13}{3} < x+4 < 5$ .

La fonction inverse est décroissante sur les positifs, donc $\dfrac15 < \dfrac{1}{x+4} < \dfrac{3}{13}$ , puis en multipliant par 4 : $\dfrac45 < \dfrac{4}{x+4} < \dfrac{12}{13}$ .

Or $\dfrac{x}{x+4} = \dfrac{(x+4)-4}{x+4} = 1-\dfrac{4}{x+4}$ . Comme on retranche un nombre compris entre 4/5 et 12/13, l'inégalité se retourne :

$1-\dfrac{12}{13} < \dfrac{x}{x+4} < 1-\dfrac45$ , c'est-à-dire $\dfrac{1}{13} < \dfrac{x}{x+4} < \dfrac15$ .

III

Intersection et réunion d'intervalles

Définition · intersection

Soient $A$ et $B$ deux ensembles. L'ensemble des éléments communs à $A$ et à $B$ est noté $A \cap B$ : $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ et } x \in B\}$ . On a : $x \in A \cap B \iff (x \in A \text{ et } x \in B)$ .

Définition · réunion

L'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$ est noté $A \cup B$ : $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}$ . On a : $x \in A \cup B \iff (x \in A \text{ ou } x \in B)$ .

Exemple avec des ensembles finis

Avec

A=\{1,2,3,4,5,6\}

B=\{-1,2,4,6,44,50\}

A \cap B = \{2,4,6\}

A \cup B = \{-1,1,2,3,4,5,6,44,50\}

Exemples résolus · avec I = [−1, 3]

Si $J=[1,5]$ : $I \cap J = [1,3]$ et $I \cup J = [-1,5]$ .

Si $J=]1,5]$ : $I \cap J = ]1,3]$ et $I \cup J = [-1,5]$ .

Si $J=]3,5[$ : $I \cap J = \varnothing$ (aucun point commun) et $I \cup J = [-1,5[$ .

Valeur absolue et distance

Définition

Soit une droite graduée d'origine $O$ et d'unité $OI=1$ , et $M$ le point d'abscisse $x$ . La valeur absolue de $x$ est la distance $OM$ , notée $OM=|x|$ .

Si $x \ge 0$ , alors $|x|=x$ ; si $x \le 0$ , alors $|x|=-x$ .
$|0|=0$ , $|-x|=|x|$ , $|x| \ge 0$ .

Exemples

|1-\sqrt2| = \sqrt2-1

(car

1<\sqrt2

|-\sqrt3|=\sqrt3

\left|-\dfrac37\right| = \dfrac37

|\sqrt5|=\sqrt5

Propriétés — pour tous a, b réels :

$\sqrt{a^2} = |a|$ .
$|ab| = |a|\,|b|$ et $|a^n| = |a|^n$ ( $n \in \mathbb{N}$ ).
$|a+b| \le |a|+|b|$ (inégalité triangulaire).
Pour $b \ne 0$ : $\left|\dfrac1b\right| = \dfrac{1}{|b|}$ et $\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}$ .
$|a| = |b| \iff (a=b \text{ ou } a=-b)$ .

Exemple résolu · simplifier √((2x−3)²) sachant x ≥ 2

Si $x \ge 2$ , alors $2x \ge 4$ , donc $2x-3 \ge 1 > 0$ .

Donc $\sqrt{(2x-3)^2} = |2x-3| = 2x-3$ .

Définition · distance

Soient $A$ d'abscisse $a$ et $B$ d'abscisse $b$ sur une droite graduée. La distance entre $A$ et $B$ est $AB = |b-a|$ .

Propriétés — soit $r>0$ et $x_0 \in \mathbb{R}$ :

$|x| \le r \iff -r \le x \le r$ ; $|x| < r \iff -r < x < r$ .
$|x| \ge r \iff x \in \,]-\infty,-r] \cup [r,+\infty[$ .
$|x-x_0| \le r \iff x_0-r \le x \le x_0+r$ .
$[a,b] = [x_0-r,\, x_0+r]$ avec $x_0=\dfrac{a+b}{2}$ et $r=\dfrac{b-a}{2}$ .

Exemple résolu · |x − 3| ≤ 2

Ici $x_0=3$ et $r=2$ , donc $|x-3|\le2 \iff 1 \le x \le 5$ .

L'intervalle cherché est $[a,b]=[1,5]$ .

Approximation décimale

Définitions — soit x ∈ ℝ et r > 0

$a$ est une valeur approchée de $x$ à $r$ près lorsque $|x-a| \le r$ . $a$ est une valeur approchée par défaut de $x$ à $r$ près lorsque $a \le x \le a+r$ (a est en-dessous de x). $a$ est une valeur approchée par excès de $x$ à $r$ près lorsque $a-r \le x \le a$ (a est au-dessus de x).

Cas particulier

a \le x \le a+r=b

, alors

a

est valeur approchée par défaut de

x

à la précision

b-a

b

est valeur approchée par excès à la même précision, et

\dfrac{a+b}{2}

est une valeur approchée (générale) de

x

à la précision

\dfrac{b-a}{2}

Exemple résolu · avec 1,4142 ≤ √2 ≤ 1,4143

$1{,}4142$ est une valeur approchée par défaut de $\sqrt2$ à la précision $10^{-4}$ (car $1{,}4143-1{,}4142=0{,}0001=10^{-4}$ ).

$1{,}4143$ est une valeur approchée par excès de $\sqrt2$ à la précision $10^{-4}$ .

$1{,}41425$ est une valeur approchée de $\sqrt2$ à la précision $5\times10^{-5}$ (la demi-amplitude).

Partie entière

Pour tout réel $x$ , il existe un unique entier relatif $p$ tel que $p \le x < p+1$ . On l'appelle la partie entière de $x$ , notée $E(x)=p$ .

Exemples

E(21)=21

E(2{,}14)=2

E(-7)=-7

, et

E(-2{,}5)=-3

(car

-3 \le -2{,}5 < -2

Approximation décimale d'ordre n

Soit $n \in \mathbb{N}$ et $p = E(10^n x)$ , c'est-à-dire $p \le 10^n x < p+1$ . Le nombre $p \times 10^{-n}$ est l'approximation décimale par défaut de $x$ à la précision $10^{-n}$ , et $(p+1)\times10^{-n}$ est l'approximation décimale par excès, à la même précision.

02 · Teste-toi

Formulaire express

Essaie de répondre dans ta tête avant de cliquer pour vérifier.

L'inégalité change de sens : si

c<0

a\le b

, alors

ac \ge bc

x_0=\dfrac{a+b}{2}

(centre) et

r=\dfrac{b-a}{2}

(rayon).

-r \le x \le r

x_0-r \le x \le x_0+r

a=b

a=-b

|a+b| \le |a|+|b|

a \le x \le a+r

(a est en-dessous de x).

L'unique entier

p

tel que

p \le x < p+1

À toi de jouer

Série d'exercices · L'ordre dans IR

14 exercices corrigés en détail. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 14 vérifiés

Comparer deux nombres

Comparer les deux nombres a et b dans les cas suivants :

$a=2-\sqrt3$ et $b=(2-\sqrt3)^2$ .
$a=5+\sqrt2$ et $b=\sqrt{25+10\sqrt2}$ .
$a=\sqrt{10}$ et $b=\sqrt3+\sqrt7$ .
$a=4+\sqrt{17}$ et $b=3\sqrt2+\sqrt{17}$ .
$a=4\sqrt5-\sqrt{79}$ et $b=9-4\sqrt5$ .

Encadrer une expression rationnelle

1) Soit $a>0$ et $b<0$ , en posant $A=\dfrac{9a-4b}{3a-2b}$ . Montrer que $2<A<3$ .

2) Soit $a>0$ et $b>0$ , en posant $A=\dfrac{12a+10b}{3a+2b}$ . Montrer que $4<A<5$ .

Une double inégalité et l'encadrement de √15

Soient $a$ et $b$ deux réels distincts strictement positifs.

Montrer que $a^2+b^2 > 2ab$ .
Montrer que $\dfrac{2}{a^2+b^2} < \dfrac{1}{ab} < \dfrac{a^2+b^2}{2a^2b^2}$ .
Déduire que $3{,}75 < \sqrt{15} < 4$ .

Encadrer ab, a², b² et 3a²+b²−a+b

Soient $a$ et $b$ des réels tels que $-6<a<3$ et $5<b<9$ .

Encadrer les nombres suivants : $ab$ ; $a^2$ ; $b^2$ ; $3a^2+b^2-a+b$ .

Inégalités et intervalles : traduire dans les deux sens

1) Écrire les inégalités suivantes sous forme d'intervalles :

$3 \le x \le 7$ ; $\dfrac23 < x < \dfrac54$ ; $-3<x\le0$ ; $x \ge 5$ ; $x \le 7$ ; $x > \dfrac{6}{11}$ ; $x<0$ .

2) Écrire les intervalles suivants sous forme d'inégalités :

$[2,5[$ ; $]-2,+\infty[$ ; $]-\infty,0]$ ; $\left[\dfrac13,+\infty\right[$ ; $]4,5[$ ; $]-3,3]$ .

Simplifier des intersections et réunions d'intervalles

Simplifier :

$]-3,4[ \cap [2,7[$ ; $[-8,4[ \cap [10,20[$ ; $]-\infty,1[ \cap \left[-\dfrac74,+\infty\right[$

$]5,9[ \cup [4,8[$ ; $[-5,-2[ \cup [-3,+\infty[$ ; $\left]-\infty,\dfrac27\right[ \cup \left[-\dfrac12,+\infty\right[$ .

Valeur absolue : simplifications, équations et inéquations

1) Soient $x\in[-2,5]$ et $y\in[-3,-1]$ . Simplifier $A=2|2x+7|-|3y|+2|y+8|-|2y-x|$ .

2) Simplifier les nombres : $\sqrt{(5\sqrt7-59\sqrt3)^2}$ ; $|3\sqrt2-2\sqrt3|$ ; $|-5\sqrt{13}-13\sqrt5|$ ; $\sqrt{7-4\sqrt3}$ .

3) Soient $a \in \mathbb{R}^{-}$ et $b \in \left[0,\dfrac13\right]$ . Simplifier $\sqrt{(3b-1)^2}$ et $\sqrt{(a-5)^2}$ .

4) Résoudre les équations : $|5x+2|=8$ ; $|-2x+1|=-1$ ; $|2x-1|=|3x-4|$ .

5) Résoudre les inéquations : $|2x-3|\le1$ ; $|6x+11| \ge \dfrac16$ ; $2\le|10x+2|\le5$ .

x − y = 6 : calculer, encadrer et simplifier

Soient $x$ et $y$ tels que : $x \ge -2$ ; $y \le -1$ ; $x-y=6$ .

Calculer $A = \sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(y+1)^2}$ .
Montrer que $x \le 5$ et $y \ge -8$ .
Établir que $0 \le x^2+y^2 \le 89$ .
Calculer $B = |x+y-4|+|x+y+10|$ .

|a| ≤ 1 et |b| ≤ 1 : encadrer ab+1 et majorer (a+b)/(ab+1)

Soient $a$ et $b$ tels que $|a|\le1$ et $|b|\le1$ .

Encadrer le nombre $ab+1$ et étudier le cas où $ab+1=0$ .
Montrer que $\left|\dfrac{a+b}{ab+1}\right| \le 1$ (lorsque $ab+1\ne0$ ).

√(x²+1) : encadrement et application numérique

Soit $x\in\mathbb{R}$ . On pose $A=\sqrt{x^2+1}-|x|$ et $B=\sqrt{x^2+1}+|x|$ .

Montrer que $A>0$ et en déduire que $B>2|x|$ .
Calculer $AB$ et en déduire que $A < \dfrac{1}{2|x|}$ pour $x\ne0$ .
Démontrer que pour tout $x\ne0$ : $|x| < \sqrt{x^2+1} < |x|+\dfrac{1}{2|x|}$ .
Donner un encadrement d'amplitude $\dfrac{1}{66}$ pour le nombre $\dfrac{\sqrt{122}}{3}$ .

Deux valeurs absolues combinées

Soient $x\in\mathbb{R}$ et $y\in\mathbb{R}$ tels que $\left|2x-\dfrac32\right| < \dfrac12$ et $\left|y-\dfrac34\right| < \dfrac14$ .

Démontrer que $x \in \left]\dfrac12,1\right[$ et $y \in \left]\dfrac12,1\right[$ .
Vérifier que $xy-3x-2y-1 = (x-2)(y-3)-7$ .
En déduire que $-5 < xy-3x-2y-1 < -\dfrac{13}{4}$ .

Approximation de 1/x

Soit $x \in \mathbb{R}^{*}$ tel que $|x-1| < \dfrac12$ . Démontrer que $\dfrac43$ est une valeur approchée du nombre $\dfrac1x$ avec la précision $\dfrac23$ .

Un encadrement en chaîne

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ une valeur approchée par défaut de $\dfrac13$ à $2\times10^{-1}$ près.

Montrer que $\dfrac{2}{15} \le \alpha \le \dfrac13$ , puis donner un encadrement de $\dfrac{\alpha}{\alpha-1}$ .
Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $\left|\dfrac{x-1}{\alpha}\right| < \dfrac{1}{10}$ . Montrer que $\dfrac{29}{30} < x < \dfrac{31}{30}$ .

Un encadrement de √5 par étapes

Soit $x \in [3,+\infty[$ . On pose $A = \dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x-1}}$ .

Montrer que $A-1 = \dfrac{1}{\sqrt{x-1}\left(\sqrt x+\sqrt{x-1}\right)}$ .
a) Établir que $2\sqrt{x-1} < \sqrt x+\sqrt{x-1} < 2\sqrt x$ .
b) Déduire que $\dfrac{1}{2\sqrt x\sqrt{x-1}} < A-1 < \dfrac{1}{2(x-1)}$ .
a) Montrer que $\dfrac{1}{x-1} \le \dfrac{3}{2x}$ et $\dfrac1x \le \dfrac{1}{\sqrt x\sqrt{x-1}}$ .
b) Déduire que $1+\dfrac{1}{2x} < A < 1+\dfrac{3}{4x}$ .
Déduire que $\dfrac94$ est une valeur approchée de $\sqrt5$ avec la précision $5\times10^{-2}$ .

L'ordre dans IR · Mathématiques, Tronc Commun Sciences et Technologies, semestre 1.