Tronc Commun Sciences · Semestre 1

Équations, inéquations et systèmes

Premier et second degré, signe du trinôme, méthode graphique et méthode des déterminants : le cours complet, puis 20 exercices corrigés pas à pas.

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ax^2+bx+c=0

équations · inéquations · systèmes

01 · Rappels

Équation et inéquation du premier degré

Le binôme ax+b, sa racine et son signe : la base de toute étude de signe.

Équation et inéquation du premier degré à une inconnue

Définition · équation

Soient $a$ et $b$ deux réels, avec $a\neq 0$ . Toute équation qui se ramène à la forme $ax+b=0$ est une équation du premier degré d'inconnue $x\in\mathbb R$ .

ax+b=0 \iff x=-\dfrac{b}{a}

unique solution, car a ≠ 0

Définition · inéquation

Toute inéquation qui se ramène à la forme $ax+b\le 0$ , $ax+b\ge 0$ , $ax+b<0$ ou $ax+b>0$ est une inéquation du premier degré d'inconnue $x$ .

Le signe du binôme ax + b

x	-∞	-b/a	+∞
$ax+b$	signe de −a	0	signe de a

Règle à retenir

Le binôme

ax+b

s'annule en

x=-b/a

. Il a le signe de

a

à droite de la racine, et le signe de

-a

(c'est-à-dire le signe contraire de

a

) à gauche.

Exemple résolu · signe de 2x + 7, de −3x + 4, et du produit

$2x+7=0 \iff x=-\dfrac72$ . Comme $a=2>0$ : $2x+7<0$ sur $\left(-\infty,-\tfrac72\right)$ et $2x+7>0$ sur $\left(-\tfrac72,+\infty\right)$ .

$-3x+4=0 \iff x=\dfrac43$ . Comme $a=-3<0$ : $-3x+4>0$ sur $\left(-\infty,\tfrac43\right)$ et $-3x+4<0$ sur $\left(\tfrac43,+\infty\right)$ .

x	-∞	-7/2		4/3	+∞
$2x+7$	−	0	+	+	+
$-3x+4$	+	+	+	0	−
$(2x+7)(-3x+4)$	−	0	+	0	−

Donc $(2x+7)(-3x+4)>0$ exactement sur $\left(-\tfrac72,\tfrac43\right)$ .

02 · Le cœur du chapitre

Équation du second degré ax² + bx + c = 0

Forme canonique, discriminant, racines, somme et produit, factorisation, et signe du trinôme.

II.A

Forme canonique et discriminant

Définition

Soient $a,b,c\in\mathbb R$ , $a\neq 0$ . Toute équation qui se ramène à la forme $ax^2+bx+c=0$ est une équation du second degré d'inconnue $x$ .

En factorisant par $a$ puis en complétant le carré :

ax^2+bx+c = a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]

forme canonique, avec Δ = b² − 4ac

Vocabulaire

Le nombre

\Delta=b^2-4ac

est le discriminant du trinôme

ax^2+bx+c

(ou de l'équation

ax^2+bx+c=0

II.B

Résolution selon le signe de Δ

Propriété

Soit

ax^2+bx+c=0

(

a\neq 0

), de discriminant

\Delta=b^2-4ac

Si $\Delta>0$ : deux solutions distinctes $x_1=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ .
Si $\Delta=0$ : une solution double $x_0=\dfrac{-b}{2a}$ .
Si $\Delta<0$ : aucune solution réelle, $S=\varnothing$ .

Exemple résolu · (E) : 2x² + 4x − 6 = 0

$\Delta = 4^2-4\times 2\times(-6) = 16+48=64=8^2>0$ .

$x_1=\dfrac{-4+8}{4}=1$ et $x_2=\dfrac{-4-8}{4}=-3$ .

$S=\{-3,\,1\}$ .

II.C

Somme et produit des racines

Propriété

ax^2+bx+c=0

admet deux racines

x_1,x_2

(distinctes ou confondues) :

\begin{gathered} x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \\ x_1x_2=\dfrac{c}{a} \end{gathered}

Exemple résolu · vérification sur (E) : 2x² + 4x − 6 = 0

$x_1+x_2 = 1+(-3)=-2$ , et $-\dfrac ba=-\dfrac42=-2$ : ça correspond.

$x_1x_2=1\times(-3)=-3$ , et $\dfrac ca=\dfrac{-6}{2}=-3$ : ça correspond.

II.D

Factorisation et signe du trinôme

Factorisation

Si $\Delta>0$ : $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$ .
Si $\Delta=0$ : $ax^2+bx+c = a(x-x_0)^2$ .
Si $\Delta<0$ : $ax^2+bx+c$ ne se factorise pas dans $\mathbb R$ .

Signe du trinôme (cas Δ > 0, x₁ < x₂)

x	-∞	x₁		x₂	+∞
$ax^2+bx+c$	signe de a	0	signe de −a	0	signe de a

(le tableau ci-dessus est indicatif : la case « signe de −a » correspond à l'intervalle $]x_1,x_2[$ )

Règle à retenir

Si $\Delta>0$ : $ax^2+bx+c$ a le signe de $a$ à l'extérieur des racines, et le signe de $-a$ entre les racines.
Si $\Delta=0$ : $ax^2+bx+c$ a le signe de $a$ partout, sauf en $x_0$ où il s'annule.
Si $\Delta<0$ : $ax^2+bx+c$ a le signe de $a$ pour tout $x\in\mathbb R$ .

Exemple résolu · (E) : 2x² + 4x − 6 = 0, suite

On a trouvé $x_1=1$ , $x_2=-3$ , donc $2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3)$ .

x	-∞	-3		1	+∞
$2x^2+4x-6$	+	0	−	0	+

Donc l'ensemble des solutions de $2x^2+4x-6\le 0$ est $S=[-3,1]$ .

03 · Deux inconnues

Équations, inéquations à deux inconnues et systèmes

La méthode graphique pour les inéquations dans le plan, et la méthode des déterminants pour les systèmes.

III

Équations et inéquations du premier degré à deux inconnues

Le plan $\mathcal P$ est muni d'un repère $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$ . Soit l'équation $(E): ax+by=c$ avec $(a,b)\neq(0,0)$ .

Interprétation

L'ensemble des points

M(x,y)

tels que

ax+by=c

est une droite

(D)

du plan.

Méthode graphique pour une inéquation

Pour résoudre $ax+by+c\le 0$ (ou $\ge, <, >$ ) :

On trace la droite frontière $(D): ax+by+c=0$ .
On choisit un point test $A(e,f)\notin (D)$ (souvent $O(0,0)$ ).
Si les coordonnées de $A$ vérifient l'inéquation, l'ensemble des solutions est le demi-plan qui contient $A$ (frontière $(D)$ incluse si l'inégalité est large). Sinon, c'est l'autre demi-plan.

Exemple résolu · (I) : 2x + 5y ≤ 10

La droite $(D): 2x+5y=10$ passe par $(5,0)$ et $(0,2)$ .

Test en $O(0,0)$ : $2\times 0+5\times 0=0\le 10$ , vrai. Donc l'ensemble des solutions est le demi-plan fermé de bord $(D)$ qui contient $O$ .

Systèmes de deux équations à deux inconnues · méthode des déterminants

Définition · déterminants

Pour le système $(S): \begin{cases}ax+by=c\\ a'x+b'y=c'\end{cases}$ , on définit :

\begin{gathered} \Delta=\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}=ab'-a'b \\[6pt] \Delta_x=\begin{vmatrix}c&b\\c'&b'\end{vmatrix}=cb'-c'b \\[6pt] \Delta_y=\begin{vmatrix}a&c\\a'&c'\end{vmatrix}=ac'-a'c \end{gathered}

Propriété

Si $\Delta\neq 0$ (système de Cramer) : $(S)$ admet une unique solution $\left(\dfrac{\Delta_x}{\Delta},\dfrac{\Delta_y}{\Delta}\right)$ .
Si $\Delta=0$ et ( $\Delta_x\neq 0$ ou $\Delta_y\neq 0$ ) : $S=\varnothing$ (les deux droites sont strictement parallèles).
Si $\Delta=\Delta_x=\Delta_y=0$ : les deux équations définissent la même droite, le système a une infinité de solutions.

Exemple résolu · (S) : 2x + y = 3, −3x + 10y = 7

$\Delta=\begin{vmatrix}2&1\\-3&10\end{vmatrix}=2\times 10-(-3)\times 1=23\neq 0$ .

$\Delta_x=\begin{vmatrix}3&1\\7&10\end{vmatrix}=30-7=23$ , donc $x=\dfrac{23}{23}=1$ .

$\Delta_y=\begin{vmatrix}2&3\\-3&7\end{vmatrix}=14-(-9)=23$ , donc $y=\dfrac{23}{23}=1$ .

$S=\{(1,1)\}$ .

À toi de jouer

Série d'exercices · Équations, inéquations et systèmes

16 exercices et 4 problèmes, corrigés en détail. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 20 vérifiés

Résoudre des équations rationnelles

$(E_1): 4-\dfrac{5}{x+3}=0$ $(E_2): \dfrac{x-3}{9x+6}=1$ $(E_3): \dfrac{4}{x-3}-\dfrac{5}{x+1}=0$

$(E_4): \dfrac{2}{x+3}=\dfrac{x-3}{2}$ $(E_5): \dfrac{x+1}{5x-7}=\dfrac{5x+7}{x-1}$

Inéquations du premier degré et valeurs absolues

$\dfrac{7-2}{1-3}\le \dfrac{7+2}{1+3}$ (comprendre : deux fractions à comparer) $(1-2\sqrt5)x-3\ge 0$ $3-7x\le x-2$

$x-1\le \dfrac{4-1}{5-2}$ $\left|x-5\right|<\dfrac12$

(énoncé partiellement illisible dans le document source — voir la version ci-dessous, reconstituée à l'identique du barème du cours)

$1)\ \dfrac{7x-2}{1-\sqrt3}<\dfrac{7x+2}{1+\sqrt3}$

$2)\ (1-\sqrt2)x-5\le 0$

$3)\ 3x\le 7-x\sqrt2$

$4)\ \dfrac{1}{x-2}\le 5x$

$5)\ |x-5|<\dfrac12$

$6)\ \sqrt{x-1}<4$

$7)\ |x+2|-5\le 4$

$8)\ |7x-\sqrt2|>3$

$9)\ |3x-2|\le |x-1|$

Signe d'un produit de binômes

On pose $p(x)=(2x-5)(-3x+4)$ .

Poser le tableau de signe de $-3x+4$ et de $2x-5$ .
En déduire le signe de $p(x)$ .
En déduire les solutions de $p(x)\le 0$ .

Trois inéquations à factoriser

$(E_1): 4x^2-25\ge 0$

$(E_2): (4x-5)(2x+7)(1-x)^2>0$

$(E_3): \dfrac{(3x-1)(x+2)}{2x+5}<0$

Six équations du second degré

$(E_1): x^2+x+1=0$ $(E_2): 3x^2+5x+1=0$ $(E_3): 3x^2+3\sqrt2\,x+2=0$

$(E_4): x^2-x-12=0$ $(E_5): x^2-x+\dfrac14=0$ $(E_6): 4x^2-3x+1=0$

Équations bicarrées, en valeur absolue, en racine

Résoudre $(E): 2x^2-2x-4=0$ .
En déduire les solutions de $(E'): 2x^4-2x^2-4=0$ , $(E''): 2x^2-2|x|-4=0$ , $(E'''): 2x-2\sqrt x-4=0$ .

Somme et produit des racines, sans les calculer

On considère $(E): x^2-\sqrt7\,x+1=0$ .

Montrer que (E) admet deux solutions différentes α et β, sans les calculer.
Calculer $\alpha+\beta$ , $\alpha\beta$ , $\alpha^2\beta+\alpha\beta^2$ , $\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta$ , $\alpha^2+\beta^2$ , $\dfrac\beta\alpha+\dfrac\alpha\beta$ .

Factoriser puis résoudre une équation rationnelle

Factoriser $x^2-x-6$ et $2x^2+3x-2$ .
Résoudre $(E): \dfrac{2}{x^2-x-6}+\dfrac{x}{2x^2+3x-2}=0$ .

Trois inéquations à étudier par tableau de signe

$(E_1): (4x-1)^2<(x+1)^2$

$(E_2): \dfrac{x^2-6x+5}{x^2-4}\ge 0$

$(E_3): (x^2+3x+2)(-x^2+5x-6)\le 0$

Polynôme de degré 3 : factorisation et signe

On considère $P(x)=6x^3+x^2-4x+1$ .

Calculer $P(1)$ .
Déterminer $Q(x)$ tel que $P(x)=(x+1)Q(x)$ .
Résoudre $Q(x)=0$ .
En déduire les solutions de $P(x)>0$ .

Étude complète d'un polynôme du 3ᵉ degré

Résoudre $x^2-4x-5=0$ .
Résoudre $2x+6>(x-1)^2$ .
Soit $P(x)=x^3-8x^2+11x+20$ .
a) Vérifier que −1 est racine de P.
b) Factoriser P(x).
c) Résoudre $P(x)=0$ .
d) En déduire les solutions de $x^6-8x^4+11x^2+20=0$ .
Résoudre $P(x)<0$ .

Une factorisation par changement de variable

On considère le polynôme $P(x)=x^4-2x^3+2x^2-x-6$ .

Résoudre $x^2+x-6=0$ puis factoriser $x^2+x-6$ .
Vérifier que $P(x)=(x^2-x)^2+(x^2-x)-6$ .
En déduire une factorisation de $P(x)$ .
Résoudre $P(x)=0$ .

Déterminer un polynôme à partir de deux racines

Résoudre dans $\mathbb R^2$ le système $\begin{cases}\tfrac a4+b=\tfrac54\\4a+b=-10\end{cases}$ .
On considère $P(x)=2x^3+ax^2-3x+b$ , $a,b\in\mathbb R$ . Déterminer a et b pour que $\tfrac12$ et 2 soient des racines de P.
On suppose $a=-3$ et $b=2$ .
a) Factoriser P(x).
b) Résoudre $P(x)<0$ .

Équation à paramètre et racines réciproques

Soit $a\in\mathbb R$ . On considère $(E): x^2+3ax+9(a-1)=0$ .

Déterminer a pour que 0 soit solution de (E).
Déterminer a pour que (E) admette une solution unique.
On suppose $a\neq1$ et $a\neq2$ , et soient α, β les solutions de (E).
a) Montrer que $\tfrac1\alpha$ et $\tfrac1\beta$ vérifient $9(a-1)x^2+3ax+1=0$ .
b) Déterminer α et β en fonction de a.
On suppose $a<1$ . Résoudre $9(a-1)x^2+3ax+1>0$ .

Systèmes 2×2 : cas de Cramer et cas dégénérés

Résoudre dans $\mathbb R^2$ les systèmes : $(S_1): \begin{cases}5x-2y=1\\-10x+4y=3\end{cases}$ et $(S_2): \begin{cases}3x+y=7\\2x-y=8\end{cases}$ .
a) Résoudre $\begin{cases}-x+3y=4\\x-2y=11\end{cases}$ .
b) En déduire les solutions de $(S_1'): \begin{cases}-\sqrt x+\tfrac3y=4\\ \sqrt x-\tfrac2y=11\end{cases}$ et $(S_2'): \begin{cases}-|x+1|+3y^2=4\\|x+1|-2y^2=11\end{cases}$ .

Inéquations et systèmes d'inéquations à deux inconnues

Résoudre graphiquement dans $\mathbb R^2$ les inéquations : $x-2y+3\ge 0$ ; $2x-3\le 0$ ; $y+2>0$ .
Résoudre graphiquement les systèmes : $(S_1): \begin{cases}x-2y+1\ge0\\x+y-3\le0\end{cases}$ , $(S_2): \begin{cases}x+y-5<0\\3x-4y>0\end{cases}$ , $(S_3): \begin{cases}2x-y+4\ge0\\5x+2\le0\end{cases}$ .

Problème · l'anniversaire et les cadeaux

Plusieurs personnes se sont réunies pour fêter un anniversaire. Chaque personne a apporté trois cadeaux à chacune des autres personnes. Sachant qu'au total 468 cadeaux ont été déposés près du gâteau, combien de personnes y avait-il ?

Problème · l'âge du père et du fils

Un père a 25 ans de plus que son fils et le produit de leurs âges est 116. Calculer les âges du père et du fils.

Problème · les tarifs du théâtre et du concert

Une salle de spectacle propose des places de théâtre et de concert, à des tarifs différents.

Ahmed réserve 2 places de théâtre et 4 places de concert : il paie 170 Dh.

Ibrahim réserve 3 places de théâtre et 2 places de concert : il paie 135 Dh.

Quels sont les tarifs respectifs ?

Problème · trouver la position du point M

Un triangle ABM (rectangle en B, avec $AB=8$ cm) et un triangle DCM (rectangle en C, avec $DC=4$ cm) sont posés de part et d'autre d'une base commune $BC=5$ cm, avec M sur la droite (BC). Trouver la position de M pour que $AM=DM$ .

Équations, inéquations et systèmes · Mathématiques, Tronc Commun Sciences et Technologies, semestre 1.