Tronc Commun Sciences · Semestre 1

Les ensembles de nombres

N, Z, D, Q, IR : cinq ensembles de nombres emboîtés les uns dans les autres, les règles de calcul qui vont avec, puis 8 exercices corrigés pas à pas.

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ensembles emboîtés

exercices corrigés

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corrigé

01 · Cinq ensembles emboîtés

Les ensembles N, Z, D, Q et IR

À chaque étape on construit un ensemble plus grand que le précédent, en y ajoutant des nombres qui n'existaient pas avant.

Les entiers naturels — N

Ensemble N

Les nombres entiers naturels forment un ensemble appelé ensemble des entiers naturels, noté

\mathbb{N}

. En extension :

\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}

L'ensemble $\{1,2,3,\ldots\}$ est noté $\mathbb{N}^{*}$ (les entiers naturels non nuls) : $\mathbb{N}^{*}\subset\mathbb{N}$ .

Les entiers relatifs — Z

Ensemble Z

Les nombres entiers relatifs forment un ensemble appelé ensemble des entiers relatifs, noté

\mathbb{Z}

. En extension :

\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}

$\mathbb{Z}^{*}=\{\ldots,-3,-2,-1,1,2,3,\ldots\}$ (les entiers relatifs non nuls), avec $\mathbb{Z}^{*}\subset\mathbb{Z}$ .
$\mathbb{Z}^{+}=\{0,1,2,3,\ldots\}=\mathbb{N}$ : l'ensemble des entiers positifs. On a donc $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$ .
$\mathbb{Z}^{+*}=\{1,2,3,\ldots\}=\mathbb{N}^{*}$ : les entiers strictement positifs.
$\mathbb{Z}^{-}=\{0,-1,-2,-3,\ldots\}$ : les entiers négatifs, avec $\mathbb{Z}^{-}\subset\mathbb{Z}$ .
$\mathbb{Z}^{-*}=\{-1,-2,-3,\ldots\}$ : les entiers strictement négatifs.

Remarque

Tout entier relatif est positif ou négatif :

\mathbb{Z}^{-}\cup\mathbb{Z}^{+}=\mathbb{Z}

Les nombres décimaux — D

Définition

Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Par exemple

-15{,}237

0{,}21

\dfrac{3}{4}=0{,}75

sont des nombres décimaux ; mais

\dfrac{2}{3}=0{,}6666\ldots

n'est pas décimal, car ses chiffres après la virgule ne s'arrêtent jamais.

\mathbb{D}=\left\{\dfrac{a}{10^{p}}\ \middle|\ a\in\mathbb{Z},\ p\in\mathbb{N}\right\}

l'ensemble des nombres décimaux

Par exemple : $15{,}237=\dfrac{15237}{1000}=\dfrac{15237}{10^{3}}$ et $0{,}21=\dfrac{21}{100}=\dfrac{21}{10^{2}}$ .

Remarque

Tout entier relatif est décimal :

17=\dfrac{17}{10^{0}}\in\mathbb{D}

-5=\dfrac{-5}{10^{0}}\in\mathbb{D}

, d'où

\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}

Les nombres rationnels — Q

Définition

On a

\dfrac{2}{3}=0{,}6666\ldots\notin\mathbb{D}

, mais

\dfrac{2}{3}

est un nombre rationnel (du latin ratio = fraction). Chaque nombre rationnel peut s'écrire sous la forme

\dfrac{a}{b}

avec

a

b

deux entiers (

b\neq0

, on préfère

b>0

). L'ensemble des nombres rationnels se note

\mathbb{Q}

On définit de même $\mathbb{Q}^{*}$ , $\mathbb{Q}^{+}$ et $\mathbb{Q}^{-}$ .
$\dfrac{2}{3}\in\mathbb{Q}$ mais $\dfrac{2}{3}\notin\mathbb{D}$ ; $\dfrac{3}{4}\in\mathbb{Q}$ et $\dfrac{3}{4}\in\mathbb{D}$ : tout nombre décimal est rationnel, donc $\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$ , mais la réciproque est fausse.
Tout nombre rationnel admet une infinité de représentants, par exemple : $\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{-3}{-4}$ . Le représentant privilégié est la fraction irréductible $\dfrac{3}{4}$ .
$\dfrac{3}{4}$ est une fraction, et $0{,}75$ en est le développement décimal.

\dfrac13=0{,}3333\ldots=0{,}\overline{3}

\dfrac{1}{11}=0{,}090909\ldots=0{,}\overline{09}

\dfrac{47}{37}=1{,}270270270\ldots=1{,}\overline{270}

\dfrac{7}{101}=0{,}\overline{0693}

Théorème

Dans le développement décimal de tout nombre rationnel apparaît une suite de chiffres qui se répète indéfiniment, appelée la période de ce nombre.

Les nombres réels — IR

Exemples de nombres irrationnels

\sqrt2\approx1{,}41421356\ldots

\pi\approx3{,}14159265\ldots

: leur écriture décimale est infinie et non périodique. Ce ne sont ni des décimaux, ni des rationnels.

Les nombres rationnels et les nombres irrationnels forment ensemble l'ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}$ .

$\mathbb{R}^{*}$ est l'ensemble des réels non nuls.
$\mathbb{R}^{+}$ est l'ensemble des réels positifs, $\mathbb{R}^{+*}$ des réels strictement positifs.
$\mathbb{R}^{-}$ est l'ensemble des réels négatifs.
$\mathbb{R}^{+}\cup\mathbb{R}^{-}=\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^{+}\cap\mathbb{R}^{-}=\{0\}$ .

À retenir · le résultat de toute la section

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

Chaque ensemble contient tous ceux qui le précèdent dans la chaîne.

Exemple résolu · classer un nombre

Énoncé : quelle est la nature de $x=-\dfrac{9}{4}$ ?

$x=-\dfrac94=-2{,}25$ : la division s'arrête (2 chiffres après la virgule), donc $x$ est un nombre décimal : $x\in\mathbb{D}$ . Par conséquent $x\in\mathbb{Q}$ et $x\in\mathbb{R}$ . En revanche $x$ n'est pas un entier, donc $x\notin\mathbb{Z}$ et $x\notin\mathbb{N}$ .

02 · Les outils de calcul

Fractions, racine carrée, identités remarquables, puissances de 10

Les règles à connaître par cœur pour mener n'importe quel calcul dans IR.

a. Opérations sur les fractions

Soient $a,b,c,d$ des réels, avec $b\neq0$ et $d\neq0$ .

Addition

\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}

\dfrac23+\dfrac14=\dfrac{2\times4+3\times1}{3\times4}=\dfrac{11}{12}

−

Soustraction

\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad-bc}{bd}

\dfrac56-\dfrac14=\dfrac{5\times4-6\times1}{6\times4}=\dfrac{14}{24}=\dfrac{7}{12}

Multiplication

\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}

\dfrac23\times\dfrac57=\dfrac{10}{21}

Division

\dfrac{\ \dfrac{a}{b}\ }{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc}

\dfrac23\div\dfrac57=\dfrac23\times\dfrac75=\dfrac{14}{15}

b. Racine carrée

Définition

La racine carrée d'un nombre positif

x

est le nombre positif

a

tel que

a^{2}=x

. On le note

a=\sqrt{x}

(c'est-à-dire

\left(\sqrt{x}\right)^{2}=x

Attention

\sqrt{x}

n'est défini que pour

x\geqslant0

, et

\sqrt{x}\geqslant0

toujours.

c. Identités remarquables

Pour tous réels $a$ et $b$ :

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})

a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})

d. Puissances de 10

10^{n}=\underbrace{10\times10\times\cdots\times10}_{n\ \text{facteurs}}

= 1 suivi de n zéros

10^{3}=1\,000

(1 suivi de 3 zéros)

10^{6}=1\,000\,000

10^{-n}=\dfrac{1}{10^{n}}

nombre décimal avec n chiffres après la virgule

10^{-1}=0{,}1\ ;\quad 10^{-2}=0{,}01\ ;\quad 10^{-3}=0{,}001

e. Écriture scientifique

Définition

Écrire un nombre non nul

b

en écriture scientifique, c'est l'écrire sous la forme

b=a\times10^{n}

avec

1\leqslant|a|<10

n\in\mathbb{Z}

|b|\geqslant1

n est positif ou nul

n\geqslant0

5{,}4=5{,}4\times10^{0}

47{,}3=4{,}73\times10^{1}

-5110=-5{,}11\times10^{3}

59{,}4=5{,}94\times10^{1}

\dfrac74=1{,}75=1{,}75\times10^{0}

|b|<1

n est strictement négatif

n<0

-0{,}4=-4\times10^{-1}

0{,}043=4{,}3\times10^{-2}

-0{,}00757=-7{,}57\times10^{-3}

-\dfrac25=-0{,}4=-4\times10^{-1}

-0{,}00009999=-9{,}999\times10^{-5}

À toi de jouer

8 exercices corrigés

Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier la correction détaillée.

0 / 8 vérifiés

Appartenance aux ensembles N, Z, D, Q, IR

9 nombres à classer

Indiquer, dans chacun des cas, si le nombre appartient ou non à chacun des ensembles proposés.

	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{D}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$
$3$
$\dfrac{18}{3}$
$2\times10^{-2}$
$\dfrac{22}{5}$
$-\dfrac{28}{4}$
$\dfrac{5}{6}$
$\dfrac{\pi}{5}$
$\sqrt{1{,}44}$
$-\sqrt{64}$

∈, ∉, ⊂ ou ⊄ ? Et quelle est la nature de...

6 symboles + 5 natures

1) Compléter par $\in$ , $\notin$ , $\subset$ ou $\not\subset$ :

3\ \ldots\ \mathbb{Z}

\dfrac54\ \ldots\ \mathbb{D}

\sqrt2\ \ldots\ \mathbb{Q}

\dfrac13\ \ldots\ \mathbb{D}

\mathbb{Q}\ \ldots\ \mathbb{D}

\mathbb{N}\ \ldots\ \mathbb{Q}

2) Sans calculatrice, donner la nature des nombres suivants :

-5{,}6

\dfrac34

\dfrac45

\dfrac25

\sqrt{6{,}25}

Calculer et simplifier

5 expressions

A=\left((-3+5)\times\dfrac27\right)\div\dfrac{5}{21}

B=\dfrac{2+\dfrac34}{5}\times\dfrac{40}{3}-\dfrac76

C=\dfrac{2+\dfrac34-\dfrac13}{3+\dfrac32-\dfrac16}

D=\dfrac{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}{(2-\sqrt7)(2+\sqrt7)}

E=\dfrac{(\sqrt7+\sqrt2)^{2}+(\sqrt7-\sqrt2)^{2}}{(\sqrt5+\sqrt2)(\sqrt5-\sqrt2)}

Développer puis simplifier

6 expressions

A=\left(\dfrac{x^{3}}{2}-\dfrac{5x^{2}}{4}-1\right)(4x^{2}-2)

B=(x^{2}+2)^{2}-(2x^{2}-1)^{2}

C=(x-2)^{3}-(x+2)^{3}

D=\left(\dfrac{a}{3}-ab^{2}\right)^{3}

E=(x+y+z)^{2}

F=\left(\dfrac45ac+\dfrac13bd\right)\left(\dfrac34ab-\dfrac23cd\right)

Factoriser

4 expressions

A=(a+b)^{2}(a^{2}b-4b)-(a^{2}-b^{2})(a+b)

B=x(a-b)+3(b-a)+(a-b)^{2}

C=1+9x+27x^{2}+27x^{3}

D=(x^{2}+2)^{2}-(2x^{2}-1)^{2}

Factoriser et simplifier

5 expressions

A=\dfrac{4(2x-3y)^{2}}{9y^{2}-4x^{2}}

B=\dfrac{a^{6}-b^{6}}{(a+b)^{3}(a^{3}-b^{3})}

C=\dfrac{2x^{3}-4x^{2}+2x}{6x^{2}-6}

D=\dfrac{x^{8}-1}{(x^{4}+1)(x^{2}-1)}

E=\dfrac{9x^{2}-12x+4}{4-9x^{2}}

Puissances : simplifier, calculer, écriture scientifique

a, b réels non nuls

On considère l'expression $H$ telle que :

H=\dfrac{b\,a^{-4}\times(a^{-3}\times b)^{-5}}{a^{11}\times(a\times b^{2})^{4}\times(b)^{2}}

Montrer que $H=a^{-4}\times b^{-14}$ .
Calculer la valeur de $H$ pour $a=2$ et $b=10^{-2}$ .
Écrire le résultat trouvé sous forme d'écriture scientifique.

Donner l'écriture scientifique

3 expressions

A=16\times10^{-19}+840\times10^{-10}

B=\dfrac{50\times10^{-7}+1{,}5\times10^{-6}+800\times10^{-8}}{0{,}25\times10^{12}+85\times10^{10}}

C=\dfrac{5\times10^{-17}+1{,}5\times10^{-16}+800\times10^{-18}}{0{,}25\times10^{12}+85\times10^{10}}

Les ensembles de nombres · Mathématiques, Tronc Commun Sciences et Technologies, semestre 1.