Tronc Commun Sciences · Semestre 1

La droite dans le plan

Coordonnées, déterminant, norme et distance, puis vecteur directeur, représentation paramétrique et équation cartésienne d'une droite : le cours complet suivi de 9 exercices corrigés en détail.

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6

notions du cours

9

exercices corrigés

100%

corrigé

01 · Se repérer dans le plan

Repère du plan, coordonnées d'un point et d'un vecteur

Toute la géométrie analytique repose sur une seule idée : remplacer points et vecteurs par des couples de nombres.

Base et repère du plan

Soient ı⃗\vec\imath et ȷ⃗\vec\jmath deux vecteurs non colinéaires du plan P\mathcal P. Le couple (ı⃗,ȷ⃗)(\vec\imath,\vec\jmath) est une base de P\mathcal P. Si OO est un point quelconque, le triplet (O,ı⃗,ȷ⃗)(O,\vec\imath,\vec\jmath) est un repère de P\mathcal P.
Repère orthogonal — si (ı⃗,ȷ⃗)(\vec\imath,\vec\jmath) sont orthogonaux.
Repère normé — si ∥ı⃗∥=∥ȷ⃗∥=1\lVert\vec\imath\rVert=\lVert\vec\jmath\rVert=1.
Repère orthonormé — orthogonal et normé.

Coordonnées d'un point

Le plan P\mathcal P est rapporté au repère (O,ı⃗,ȷ⃗)(O,\vec\imath,\vec\jmath). Pour tout point MM de P\mathcal P, il existe un unique couple (x,y)(x,y) tel que :

OM→=x ı⃗+y ȷ⃗\overrightarrow{OM}=x\,\vec\imath+y\,\vec\jmath

On note M(x,y)M(x,y). Le nombre xx est l'abscisse, le nombre yy l'ordonnée de MM.

OM(3,2)

Coordonnées d'une somme, d'un produit par un réel

Si u⃗(x,y)\vec u(x,y) et v⃗(x′,y′)\vec v(x',y'), alors u⃗+v⃗\vec u+\vec v a pour coordonnées (x+x′ ; y+y′)(x+x'\,;\,y+y').
Pour k∈Rk\in\mathbb R, ku⃗k\vec u a pour coordonnées (kx ; ky)(kx\,;\,ky).

Coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et milieu d'un segment

AB→(xB−xA ; yB−yA)I(xA+xB2 ; yA+yB2)\overrightarrow{AB}\big(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\big) \qquad\qquad I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)
A(xA,yA) et B(xB,yB) — I est le milieu de [AB]

Exemple résolu

Soient A(3,4)A(3,4) et B(1,2)B(1,2). Donner les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB}, de 5AB→−3u⃗5\overrightarrow{AB}-3\vec u où u⃗(2,0)\vec u(2,0), et du milieu II de [AB][AB].

AB→(1−3 ; 2−4)\overrightarrow{AB}(1-3\,;\,2-4), donc AB→(−2 ; −2)\overrightarrow{AB}(-2\,;\,-2).

5AB→−3u⃗=(5(−2)−3(2) ; 5(−2)−3(0))=(−10−6 ; −10)5\overrightarrow{AB}-3\vec u = (5(-2)-3(2)\,;\,5(-2)-3(0)) = (-10-6\,;\,-10), donc 5AB→−3u⃗ (−16 ; −10)5\overrightarrow{AB}-3\vec u\,(-16\,;\,-10).

I(3+12 ; 4+22)I\left(\dfrac{3+1}{2}\,;\,\dfrac{4+2}{2}\right), donc I(2,3)I(2,3).

02 · Détecter l'alignement

Déterminant de deux vecteurs — colinéarité

Un unique nombre permet de savoir si deux vecteurs ont la même direction : c'est le déterminant.

Définition

Soient u⃗(x,y)\vec u(x,y) et v⃗(x′,y′)\vec v(x',y') deux vecteurs du plan rapporté au repère (O,ı⃗,ȷ⃗)(O,\vec\imath,\vec\jmath). Le nombre xy′−x′yxy'-x'y est appelé déterminant de u⃗\vec u et v⃗\vec v, noté det⁡(u⃗,v⃗)\det(\vec u,\vec v).
det⁡(u⃗,v⃗)=∣xx′yy′∣=xy′−x′y\det(\vec u,\vec v)=\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}=xy'-x'y

Propriété · condition de colinéarité

u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires   ⟺  \iff det⁡(u⃗,v⃗)=0\det(\vec u,\vec v)=0   ⟺  \iff xy′−x′y=0xy'-x'y=0.

Application · alignement de trois points

A,B,CA,B,C sont alignés   ⟺  \iff AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires   ⟺  \iff det⁡(AB→,AC→)=0\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0.

Exemple résolu

Étudier la colinéarité de u⃗(2,3)\vec u(2,3) et v⃗(−4,−9)\vec v(-4,-9), puis de w⃗=ı⃗+2ȷ⃗\vec w=\vec\imath+2\vec\jmath et t⃗=−5ı⃗+4ȷ⃗\vec t=-5\vec\imath+4\vec\jmath.

det⁡(u⃗,v⃗)=2×(−9)−(−4)×3=−18+12=−6≠0\det(\vec u,\vec v)=2\times(-9)-(-4)\times3=-18+12=-6\neq0 : u⃗\vec u et v⃗\vec v ne sont pas colinéaires.

w⃗(1,2)\vec w(1,2) et t⃗(−5,4)\vec t(-5,4) : det⁡(w⃗,t⃗)=1×4−(−5)×2=4+10=14≠0\det(\vec w,\vec t)=1\times4-(-5)\times2=4+10=14\neq0 : w⃗\vec w et t⃗\vec t ne sont pas colinéaires.

03 · Mesurer des longueurs

Norme d'un vecteur, distance entre deux points

Ces formules ne sont valables que dans un repère orthonormé.

Attention

Les formules ci-dessous supposent le plan rapporté à un repère orthonormé (O,ı⃗,ȷ⃗)(O,\vec\imath,\vec\jmath).

Norme d'un vecteur

Si u⃗(x,y)\vec u(x,y), alors ∥u⃗∥=x2+y2\lVert\vec u\rVert=\sqrt{x^2+y^2}.

Distance entre deux points

Si A(xA,yA)A(x_A,y_A) et B(xB,yB)B(x_B,y_B), alors AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.

Exemple résolu

Calculer la distance ABAB sachant que A(1,4)A(1,4) et B(−1,2)B(-1,2).

AB=(−1−1)2+(2−4)2=(−2)2+(−2)2=4+4=8=22AB=\sqrt{(-1-1)^2+(2-4)^2}=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt8=2\sqrt2. AB=22AB=2\sqrt2.

04 · Décrire une droite

Vecteur directeur, représentation paramétrique, équation cartésienne

Trois façons complémentaires de caractériser une droite du plan par des nombres.

Vecteur directeur

Soit D\mathcal D une droite et A,B∈DA,B\in\mathcal D. Tout vecteur u⃗≠0⃗\vec u\neq\vec 0 colinéaire à AB→\overrightarrow{AB} est appelé vecteur directeur de D\mathcal D. On note D=D(A,u⃗)\mathcal D=\mathcal D(A,\vec u), la droite passant par AA et dirigée par u⃗\vec u.

Représentation paramétrique

Soit D(A,u⃗)\mathcal D(A,\vec u) avec A(xA,yA)A(x_A,y_A) et u⃗(a,b)\vec u(a,b). Un point M(x,y)M(x,y) appartient à D\mathcal D si et seulement si AM→\overrightarrow{AM} et u⃗\vec u sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe t∈Rt\in\mathbb R tel que AM→=tu⃗\overrightarrow{AM}=t\vec u.

D(A,u⃗):{x=xA+aty=yA+bt , t∈R\mathcal D(A,\vec u):\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\end{cases}\ ,\ t\in\mathbb R

Équation cartésienne

En éliminant tt entre les deux équations paramétriques (ou directement via det⁡(AM→,u⃗)=0\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0), toute droite D(A,u⃗)\mathcal D(A,\vec u) admet une équation de la forme :

ax+by+c=0(a,b)≠(0,0)ax+by+c=0\qquad(a,b)\neq(0,0)

avec u⃗(−b,a)\vec u(-b,a) vecteur directeur de D\mathcal D, et c=yAxu−xAyuc=y_Ax_u-x_Ay_u. Réciproquement, l'ensemble des points M(x,y)M(x,y) vérifiant une équation ax+by+c=0ax+by+c=0 avec (a,b)≠(0,0)(a,b)\neq(0,0) est toujours une droite, de vecteur directeur u⃗(−b,a)\vec u(-b,a).

O(-4,-2)(1,1)

Figure : la droite 3x−5y+2=03x-5y+2=0 (voir exercice 7), tracée à partir des deux points entiers (−4,−2)(-4,-2) et (1,1)(1,1) qui vérifient l'équation.

Coefficient directeur et équation réduite

Lorsque b≠0b\neq0 (la droite n'est pas verticale), on peut isoler yy dans ax+by+c=0ax+by+c=0 pour obtenir l'équation réduite :

y=mx+pavec m=−ab et p=−cb\begin{gathered} y=mx+p \\ \text{avec } m=-\dfrac{a}{b}\ \text{et}\ p=-\dfrac{c}{b} \end{gathered}
Coefficient directeur (pente) — mm. Si A(xA,yA)A(x_A,y_A) et B(xB,yB)B(x_B,y_B) sont deux points distincts de la droite (avec xA≠xBx_A\neq x_B), m=yB−yAxB−xAm=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.
Ordonnée à l'origine — pp : l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe (Oy)(Oy).

Exemple résolu

Soit D(A,u⃗)\mathcal D(A,\vec u) avec A(4,5)A(4,5) et u⃗(2,3)\vec u(2,3). Donner une représentation paramétrique puis l'équation cartésienne de D\mathcal D.

Représentation paramétrique : {x=4+2ty=5+3t , t∈R\begin{cases}x=4+2t\\y=5+3t\end{cases}\ ,\ t\in\mathbb R.

Vecteur directeur u⃗(2,3)\vec u(2,3) donc l'équation est de la forme 3x−2y+c=03x-2y+c=0 (car (a,b)=(3,−2)(a,b)=(3,-2) vérifie u⃗(−b,a)=(2,3)\vec u(-b,a)=(2,3)). En remplaçant par A(4,5)A(4,5) : 3(4)−2(5)+c=0⇒12−10+c=0⇒c=−23(4)-2(5)+c=0\Rightarrow12-10+c=0\Rightarrow c=-2. D:3x−2y−2=0\mathcal D:3x-2y-2=0.

05 · Comparer deux droites

Droites parallèles, droites perpendiculaires

Deux critères simples, purement calculatoires, pour comparer les directions de deux droites.

Droites parallèles

Soient D:ax+by+c=0\mathcal D:ax+by+c=0 et D′:a′x+b′y+c′=0\mathcal D':a'x+b'y+c'=0.

D∥D′  ⟺  ab′−a′b=0\mathcal D \parallel \mathcal D' \iff ab'-a'b=0

(les vecteurs directeurs (−b,a)(-b,a) et (−b′,a′)(-b',a') sont colinéaires). Avec les équations réduites y=mx+py=mx+p et y=m′x+p′y=m'x+p' : D∥D′  ⟺  m=m′\mathcal D\parallel\mathcal D'\iff m=m'.

Droites perpendiculaires

Les vecteurs directeurs (−b,a)(-b,a) et (−b′,a′)(-b',a') sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul :

D⊥D′  ⟺  aa′+bb′=0\mathcal D \perp \mathcal D' \iff aa'+bb'=0

Avec les équations réduites : D⊥D′  ⟺  m×m′=−1\mathcal D\perp\mathcal D'\iff m\times m'=-1.

Méthode pratique

Pour une droite D:ax+by+c=0\mathcal D:ax+by+c=0, un vecteur directeur est (−b,a)(-b,a) et un vecteur normal (orthogonal à D\mathcal D) est (a,b)(a,b). Toute droite parallèle à D\mathcal D s'écrit ax+by+c′=0ax+by+c'=0 (même couple (a,b)(a,b)) ; toute droite perpendiculaire à D\mathcal D s'écrit bx−ay+c′′=0bx-ay+c''=0 (coefficients échangés, l'un changé de signe).

Exemple résolu

1) Donner l'équation de la droite passant par B(2,−1)B(2,-1) et parallèle à D:3x−5y+7=0\mathcal D:3x-5y+7=0. 2) Donner l'équation de la droite passant par BB et perpendiculaire à D\mathcal D.

1) Droite parallèle : même couple (a,b)=(3,−5)(a,b)=(3,-5), donc 3x−5y+c=03x-5y+c=0. En B(2,−1)B(2,-1) : 3(2)−5(−1)+c=0⇒6+5+c=0⇒c=−113(2)-5(-1)+c=0\Rightarrow6+5+c=0\Rightarrow c=-11. 3x−5y−11=03x-5y-11=0.

2) Droite perpendiculaire : coefficients échangés (5,3)(5,3), donc 5x+3y+c=05x+3y+c=0. En B(2,−1)B(2,-1) : 5(2)+3(−1)+c=0⇒10−3+c=0⇒c=−75(2)+3(-1)+c=0\Rightarrow10-3+c=0\Rightarrow c=-7. 5x+3y−7=05x+3y-7=0.

Entraînement

9 exercices corrigés

Dans les exercices 1 à 8, le plan est rapporté au repère (O, i, j). Cherchez au brouillon puis vérifiez.

0 / 9 vérifiés

1
Coordonnées de vecteurs et milieu

On considère les points A(0,2)A(0,2), B(1,−2)B(1,-2) et C(1,1)C(1,1).

  1. Donner les coordonnées des vecteurs AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} et BC→\overrightarrow{BC}.
  2. Écrire ces vecteurs dans la base (ı⃗,ȷ⃗)(\vec\imath,\vec\jmath).
  3. Donner les coordonnées de u⃗=3AC→\vec u=3\overrightarrow{AC} et v⃗=AC→−2BC→+3AB→\vec v=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{AB}.
  4. Donner les coordonnées de II, milieu de [AC][AC].
2
Colinéarité avec paramètre, point sur une droite

Soit mm un paramètre réel et u1⃗=−ı⃗+2ȷ⃗\vec{u_1}=-\vec\imath+2\vec\jmath, u2⃗=−4ı⃗+ȷ⃗\vec{u_2}=-4\vec\imath+\vec\jmath, u3⃗=(2m−3)ı⃗+2ȷ⃗\vec{u_3}=(2m-3)\vec\imath+2\vec\jmath.

  1. Étudier la colinéarité de u1⃗\vec{u_1} et u2⃗\vec{u_2}.
  2. Déterminer mm pour que u1⃗\vec{u_1} et u3⃗\vec{u_3} soient colinéaires.
  3. Déterminer mm pour que u2⃗\vec{u_2} et u3⃗\vec{u_3} soient colinéaires.

Puis, avec A(2,3)A(2,3), B(3,5)B(3,5) et C(m−1,3m−2)C(m-1,3m-2), déterminer mm pour que C∈(AB)C\in(AB).

3
Parallélisme, alignement, symétrique

On considère A(−1,2)A(-1,2), B(2,−1)B(2,-1), C(1,3)C(1,3) et D(−2,−3)D(-2,-3).

  1. Montrer que (BD)∥(AC)(BD)\parallel(AC).
  2. Soient I,JI,J les milieux de [AC][AC] et [BD][BD], et E(0,1)E(0,1). Montrer que I,J,EI,J,E sont alignés.
  3. Déterminer les coordonnées de KK, symétrique de DD par rapport à AA.
4
Équation cartésienne et paramétrique d'une droite
  1. Donner l'équation cartésienne et une représentation paramétrique de D(A,u⃗)\mathcal D(A,\vec u) :
    a) A(1,4)A(1,4), u⃗(−1,4)\vec u(-1,4)b) A(−2,0)A(-2,0), u⃗(0,1)\vec u(0,1)
  2. Même question pour la droite (AB)(AB) :
    a) A(−3,1)A(-3,1), B(−3,4)B(-3,4)b) A(−2,0)A(-2,0), B(−2,−1)B(-2,-1)
5
Passer d'une forme à l'autre, droites sécantes
  1. Donner l'équation cartésienne de D:{x=3−2ty=5+3t\mathcal D:\begin{cases}x=3-2t\\y=5+3t\end{cases}.
  2. Donner une représentation paramétrique de D′:x−5y+3=0\mathcal D':x-5y+3=0.
  3. Montrer que D\mathcal D et D′\mathcal D' sont sécantes, en déterminant leur point d'intersection.
6
Parallélisme, droite orthogonale, parallélogramme

On considère A(3,2)A(3,2), B(2,−1)B(2,-1) et D:3x−y+6=0\mathcal D:3x-y+6=0.

  1. Montrer que (AB)∥D(AB)\parallel\mathcal D.
  2. Soit D′\mathcal D' la droite passant par AA de vecteur directeur u⃗=4ı⃗−ȷ⃗\vec u=4\vec\imath-\vec\jmath. Donner l'équation cartésienne de D′\mathcal D'.
  3. Montrer que D\mathcal D et D′\mathcal D' sont sécantes en E(−1,3)E(-1,3).
  4. Soit F(a,0)F(a,0). a) Déterminer aa pour que ABFEABFE soit un parallélogramme. b) Vérifier que F∈DF\in\mathcal D.
7
Construction, appartenance, parallèle et orthogonale
  1. Construire D:3x−5y+2=0\mathcal D:3x-5y+2=0.
  2. Déterminer mm pour que A(m2,m2)∈DA(m^2,m^2)\in\mathcal D.
  3. Équation de D′\mathcal D' passant par B(−2,2)B(-2,2), parallèle à D\mathcal D.
  4. Équation de D′′\mathcal D'' passant par BB, orthogonale à D\mathcal D.
  5. Montrer que D\mathcal D et D′′\mathcal D'' sont sécantes, et déterminer leur point d'intersection.
8
Famille de droites paramétrées par m

On considère A(−2,1)A(-2,1) et B(2,4)B(2,4).

  1. Équation de D\mathcal D passant par AA, de vecteur directeur v⃗=5ı⃗+2ȷ⃗\vec v=5\vec\imath+2\vec\jmath.
  2. Soit D′:y=23x+13\mathcal D':y=\tfrac23x+\tfrac13. Vérifier que D,D′\mathcal D,\mathcal D' sont sécantes et déterminer leur point d'intersection.
  3. On pose Dm:(m−1)x−2my+3=0\mathcal D_m:(m-1)x-2my+3=0. a) Valeur de mm pour que Dm∥D′\mathcal D_m\parallel\mathcal D'. b) Valeur de mm pour que B∈DmB\in\mathcal D_m. c) Vérifier que C(3,32)∈DmC\left(3,\tfrac32\right)\in\mathcal D_m pour tout mm.
9
Repère (A, AB, AD) dans un rectangle

ABCDABCD est un rectangle, I,JI,J les milieux de [AB][AB] et [AD][AD]. On considère M,NM,N tels que JM→=13AB→\overrightarrow{JM}=\tfrac13\overrightarrow{AB} et IN→=34AD→\overrightarrow{IN}=\tfrac34\overrightarrow{AD}. On munit le plan du repère (A,AB→,AD→)(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}).

  1. Donner les coordonnées de I,J,M,NI,J,M,N.
  2. Montrer que A,M,NA,M,N sont alignés.
  3. a) Équations cartésiennes de (DM)(DM) et (BN)(BN). b) Étudier leur position relative.

La droite dans le plan · Mathématiques, Tronc Commun Sciences et Technologies, semestre 1.