Tronc Commun Sciences · Semestre 1

Calcul vectoriel dans le plan

Vecteurs, relation de Chasles, multiplication par un réel, colinéarité et milieu d'un segment : le cours complet, illustré, puis 12 exercices intégralement corrigés.

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01 · Les bases

Vecteurs du plan et égalité de deux vecteurs

Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme. Deux vecteurs sont égaux s'ils partagent ces trois données.

Vecteurs du plan

Soient $A$ et $B$ deux points du plan $\mathcal P$ . Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est défini par trois données :

une direction : celle de la droite $(AB)$ ;
un sens de parcours (de $A$ vers $B$ ) ;
une norme (ou longueur), notée $\lVert\overrightarrow{AB}\rVert = AB$ .

Vecteur nul

Pour tout point

A

du plan, on note

\vec 0

le vecteur nul :

\overrightarrow{AA} = \vec 0

. Le vecteur

\overrightarrow{BA}

a la même direction que

\overrightarrow{AB}

mais un sens contraire : c'est son opposé, on écrit

\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}

L'égalité de deux vecteurs

Définition

Deux vecteurs

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{CD}

sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.

Remarque

Si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EF}=\dots$ , on note ce vecteur $\vec u$ ; $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{EF}$ sont des représentants du même vecteur $\vec u$ .
$\overrightarrow{AB}=\vec 0$ si et seulement si $A=B$ .

Propriété 1

Soient $A,B,C,D$ des points du plan avec $A\neq B$ et $C\neq D$ . Alors :

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\ \text{ ssi } ABDC \text{ est un parallélogramme}$

(attention à l'ordre des sommets : $ABDC$ , et non $ABCD$ )

Propriétés 2 et 3

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \iff \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$ . Étant donné un point $A$ et un vecteur $\vec u$ , il existe un unique point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=\vec u$ .

02 · Addition de vecteurs

Somme de deux vecteurs et relation de Chasles

La relation de Chasles définit la somme de deux vecteurs ; elle sert aussi à factoriser ou à faire apparaître de nouveaux points dans une démonstration.

III

Relation de Chasles et règle du parallélogramme

Propriété — relation de Chasles (admise)

Pour tous points $A,B,C$ du plan : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

Cette relation s'utilise de trois manières différentes :

c'est elle qui définit la somme de deux vecteurs ;
elle permet de réduire des sommes vectorielles (« factorisation ») ;
elle permet, dans les démonstrations, d'intercaler un point dans une écriture vectorielle (« développement »).

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\ \text{ tel que } ABDC \text{ est un parallélogramme}

règle du parallélogramme

Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs et $A$ un point du plan. Il existe un unique point $B$ tel que $\overrightarrow{AB}=\vec u$ et un unique point $C$ tel que $\overrightarrow{AC}=\vec v$ . La somme $\vec u+\vec v$ est alors le vecteur $\overrightarrow{AD}$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.

Remarque — différence de deux vecteurs

\vec u - \vec v = \vec u + (-\vec v)

Exemple résolu — parallélogramme

$ABC$ un triangle non aligné. $D$ et $E$ vérifient $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}=\vec 0$ . Quelle est la nature du quadrilatère $EACB$ ?

De $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}=\vec 0$ on tire $\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AD}$ . Or $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ , donc $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EA}$ . Ainsi $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EA}$ : le quadrilatère $EACB$ est un parallélogramme.

03 · Multiplication par un réel

Multiplier un vecteur par un nombre

Multiplier un vecteur par un réel k change (ou non) son sens et multiplie sa norme par |k|.

Définition et propriétés

Étant donné un vecteur $\vec u$ et un réel $k$ , on appelle $k\vec u$ le vecteur tel que :

si $k=0$ ou $\vec u=\vec 0$ , alors $k\vec u=\vec 0$ ;
si $k>0$ , alors $k\vec u$ a même direction et même sens que $\vec u$ , avec $\lVert k\vec u\rVert = k\lVert\vec u\rVert$ ;
si $k<0$ , alors $k\vec u$ a même direction et un sens contraire à $\vec u$ , avec $\lVert k\vec u\rVert = -k\lVert\vec u\rVert$ .

Cas particuliers et remarques

1\cdot\vec u=\vec u

(-1)\cdot\vec u=-\vec u

. Si

k\vec u=\vec 0

alors

k=0

\vec u=\vec 0

\begin{gathered} a(\vec u+\vec v)=a\vec u+a\vec v \\ (a+b)\vec u=a\vec u+b\vec u \\ a(b\vec u)=(ab)\vec u \end{gathered}

Conséquences : $a(\vec u-\vec v)=a\vec u-a\vec v$ et $(a-b)\vec u=a\vec u-b\vec u$ , pour tous vecteurs $\vec u,\vec v$ et tous réels $a,b$ .

Exemple résolu — simplifier une écriture

Simplifier $\overrightarrow{W_1}=2(\vec u+\vec v)-4\!\left(\tfrac12\vec u-\vec v\right)$ .

$\overrightarrow{W_1}=2\vec u+2\vec v-4\times\tfrac12\vec u+4\vec v = 2\vec u+2\vec v-2\vec u+4\vec v = 6\vec v$ . Donc $\overrightarrow{W_1}=6\vec v$ .

04 · Colinéarité et milieu

Colinéarité de deux vecteurs, milieu d'un segment

La colinéarité est l'outil de base pour prouver un alignement ou un parallélisme. Le milieu d'un segment se caractérise de plusieurs façons équivalentes.

La colinéarité de deux vecteurs

Définition

Deux vecteurs

\vec u

\vec v

sont colinéaires s'il existe un réel

k

tel que

\vec u=k\vec v

. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan ; deux vecteurs non nuls sont colinéaires ssi ils ont la même direction.

Propriété (admise)

$A,B,C$ alignés ssi il existe $k\in\mathbb R$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ .
Pour $(AB)$ une droite : $M\in(AB)$ ssi $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
$(AB)\parallel(CD)$ ssi $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Exemple résolu. $ABC$ un triangle, $E,F$ tels que $\overrightarrow{AF}=\tfrac43\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{CE}=\tfrac14\overrightarrow{AB}$ . Montrer que $E,F,B$ sont alignés.

De $\overrightarrow{CE}=\tfrac14\overrightarrow{AB}$ on tire $\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{EC}$ , donc $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{EC}+\tfrac43\overrightarrow{AC}$ . Comme $\overrightarrow{CF}=\tfrac13\overrightarrow{AC}$ , on a $\overrightarrow{BF}=4(\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CF})=4\overrightarrow{EF}$ .

Donc $\overrightarrow{BF}$ et $\overrightarrow{EF}$ sont colinéaires : $E,F,B$ sont alignés.

Milieu d'un segment

Propriété 1 — caractérisations équivalentes

Pour $A,B,I$ points du plan, les assertions suivantes sont équivalentes :

$I$ est le milieu du segment $[AB]$ .
$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$
$\overrightarrow{AI}=\tfrac12\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec 0$

Propriété 2 — caractérisation du milieu par un point quelconque

$I$ est le milieu de $[AB]$ ssi, pour tout point $M$ :

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

Exemple résolu. $ABC$ un triangle, $E,F$ tels que $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ . Montrer que $C$ est le milieu de $[EF]$ .

De $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ et Chasles (via $C$ ) : $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ , donc $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BA}$ . De même, $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ , donc $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}$ .

Donc $\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\vec 0$ . D'où $C$ est le milieu de $[EF]$ .

À toi de jouer

Exercices · Calcul vectoriel dans le plan

12 exercices corrigés. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier ta réponse.

0 / 12 vérifiés

Exprimer trois vecteurs en fonction de AB et AC

$A,B,C$ sont trois points non alignés. Exprimer, en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ seulement, les vecteurs :

$\vec u = 2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}$
$\vec v = \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$
$\vec w = -2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$

Deux identités vectorielles générales

$A,B,C,D$ sont quatre points du plan. Montrer que : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$ et $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$ .

Parallélogramme de centre O : trois vecteurs nuls

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$ . Montrer que $\vec u = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$ , $\vec v=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{DO}$ et $\vec w = \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$ sont tous nuls.

Réduire un vecteur, prouver une colinéarité

$A,B,C,M$ quatre points du plan, $\vec u = \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}$ .

1) Montrer que $\vec u = 2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$ .

2) Soit $\vec v = 2\overrightarrow{BA}-6\overrightarrow{BC}$ . Montrer que $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

Alignement et milieu dans un parallélogramme

$ABCD$ est un parallélogramme, $M$ le point du plan tel que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$ .

1) Montrer que $B,C,M$ sont alignés.

2) En déduire que $C$ est le milieu de $[BM]$ .

Théorème de la droite des milieux (par les vecteurs)

$ABC$ un triangle, $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$ . Montrer que $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{IJ}$ .

Centre de gravité et milieu d'un côté

$ABC$ un triangle et $G$ son centre de gravité ( $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec 0$ ), $O$ le milieu de $[BC]$ . Montrer que $\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OG}$ et $-2\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec 0$ .

Construction et parallélisme dans un parallélogramme

$ABCD$ un parallélogramme. $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=\tfrac32\overrightarrow{AB}$ , $N$ tel que $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AD}$ .

1) et 2) Placer $M$ et $N$ .

3) Montrer que $\overrightarrow{CM}=\tfrac32\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{NM}=\tfrac92\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$ .

4) En déduire que $(MN)\parallel(CM)$ .

Combinaison vectorielle nulle dans un parallélogramme

$ABCD$ un parallélogramme, $M,N$ tels que $\overrightarrow{DM}=\tfrac52\overrightarrow{DA}$ et $\overrightarrow{CN}=\tfrac23\overrightarrow{DC}$ .

1) Montrer que $\overrightarrow{BM}=\tfrac32\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BN}=\tfrac23\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}$ .

2) Calculer $\overrightarrow{BM}$ et $\overrightarrow{BN}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ .

3) Montrer que $2\overrightarrow{BM}+3\overrightarrow{BN}=\vec 0$ .

Nature de deux quadrilatères, alignement

$ABC$ un triangle, $I,J$ les milieux de $[AB]$ et $[AC]$ .

1) Montrer que $\overrightarrow{BJ}=-\overrightarrow{AB}+\tfrac12\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{CI}=-\overrightarrow{AC}+\tfrac12\overrightarrow{AB}$ .

2) $M,N$ tels que $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BJ}$ et $\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{CI}$ .

a. Quelle est la nature des quadrilatères $ACBN$ et $ABCM$ ?
b. Montrer que $A,M,N$ sont alignés.

Alignement et parallélisme, milieu d'un segment

$ABCD$ un parallélogramme, $M,N$ tels que $\overrightarrow{BM}=\tfrac12\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AD}$ .

2) Montrer que $\overrightarrow{CM}=\tfrac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}$ .

3) Montrer que $C,M,N$ sont alignés.

4) $E$ milieu de $[DN]$ , $F$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BF}$ . Montrer que $C$ est le milieu de $[EF]$ .

5) Montrer que $(BD)\parallel(EF)$ .

Un quadrilatère, un paramètre x, et le cas M = N

$ABCD$ un quadrilatère, $x\in\mathbb R$ , $M,N$ tels que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DN}=x\overrightarrow{DC}$ .

1) Montrer que $\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{BC}+(1-x)\overrightarrow{AD}$ .

2) On suppose $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{BC}$ .

a. Quelle est la nature de $ABCD$ ?
b. Calculer $\overrightarrow{MN}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$ .
c. Déterminer $x$ pour que $M=N$ .

Calcul vectoriel dans le plan · Mathématiques, Tronc Commun Sciences et Technologies, semestre 1.