Tronc Commun Sciences · Semestre 1

Arithmétique dans IN

Parité, divisibilité, nombres premiers, PGCD, PPCM et division euclidienne : le cours complet, puis 13 exercices corrigés pas à pas.

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\mathbb{N}

divisibilité · nombres premiers · pgcd · ppcm

01 · Le cours complet

Arithmétique dans IN

Sept notions à maîtriser, chacune avec sa définition, ses propriétés et un exemple entièrement résolu.

Nombres pairs, nombres impairs

Définition

Soit $n \in \mathbb{N}$ . Si $n$ est divisible par 2, c'est un nombre pair. Sinon, $n$ est impair.

n=2k \ \text{(pair)} \qquad \text{ou} \qquad n=2k+1 \ \text{(impair)}

avec k ∈ ℕ

Remarque

0 est pair (car 2 divise 0), et 1 est impair.

Exemple résolu · trois petites démonstrations

a) La somme de deux entiers pairs est un entier pair. Si $a=2k$ et $b=2k'$ (avec $k,k'\in\mathbb N$ ), alors $a+b=2k+2k'=2(k+k')$ , qui est bien de la forme $2\times\text{entier}$ : a + b est pair.

b) Le produit de deux entiers impairs est un entier impair. Si $a=2k+1$ et $b=2k'+1$ , alors $ab=(2k+1)(2k'+1)=4kk'+2k+2k'+1=2(2kk'+k+k')+1$ , qui est de la forme $2\times\text{entier}+1$ : ab est impair.

c) La différence de deux entiers impairs est un entier pair. Si $a=2k+1$ et $b=2k'+1$ , alors $a-b=2k+1-2k'-1=2(k-k')$ : a − b est pair.

Critères de divisibilité

Un nombre naturel est divisible par :

2 si le chiffre des unités est pair.
3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
5 si le chiffre des unités est 0 ou 5.
8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8.
9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
25 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 25.
11 : on note S₁ la somme des chiffres de rang impair (en partant des unités, de droite à gauche) et S₂ la somme des chiffres de rang pair, puis $d = S_1 - S_2$ . Le nombre est divisible par 11 si et seulement si d est un multiple de 11 (c'est-à-dire $d=0,\pm 11,\pm 22,\dots$ ).

Exemple résolu · 540 est-il divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ?

Chiffre des unités : 0, donc 540 est divisible par 2 et par 5.

Somme des chiffres : $5+4+0=9$ , divisible par 3 et par 9, donc 540 est divisible par 3 et par 9.

Deux derniers chiffres : 40, et $40 = 4\times 10$ est divisible par 4, donc 540 est divisible par 4.

Exemple résolu · le critère de 11 sur 9163

En partant des unités : rang 1 (unités) = 3, rang 2 (dizaines) = 6, rang 3 (centaines) = 1, rang 4 (milliers) = 9.

$S_1 = 3+1 = 4$ (rangs impairs), $S_2 = 6+9 = 15$ (rangs pairs), donc $d = S_1 - S_2 = 4-15=-11$ .

$d=-11$ est un multiple de 11, donc 9163 est divisible par 11 (en effet, $9163 = 11\times 833$ ).

III

Entiers premiers entre eux · nombres premiers

Définition · entiers premiers entre eux

Deux entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux (ou étrangers) si $\text{pgcd}(a,b)=1$ .

Exemple

\text{pgcd}(17,42)=1

, donc 17 et 42 sont premiers entre eux.

Définition · nombre premier

Un entier naturel $p \ge 2$ est dit premier si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et lui-même. Un entier naturel différent de 1 qui n'est pas premier est appelé nombre composé.

Théorèmes

Tout entier naturel admet au moins un diviseur premier.
Pour tout entier naturel différent de 1, son plus petit diviseur (après 1) est un nombre premier.
Un entier naturel $n \ne 1$ est composé si et seulement s'il admet un diviseur premier $p$ tel que $p \le \sqrt{n}$ .

Exemple résolu · 299 est-il premier ?

$\sqrt{299}\approx 17{,}29$ , donc $17^2 < 299 < 18^2$ : il suffit de tester les nombres premiers $\le 17$ , soit 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

2, 3, 5, 7 et 11 ne divisent pas 299. Mais $299 = 13\times 23$ : 13 divise 299.

Conclusion : 299 est un nombre composé (299 n'est pas premier).

Remarque

Il existe une infinité de nombres premiers.

Décomposition en facteurs premiers

Définition

Tout entier $a \in \mathbb{N}^{*}$ avec $a \ne 1$ s'écrit de façon unique comme un produit de nombres premiers : c'est la décomposition en facteurs premiers de $a$ .

a = p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times \cdots \times p_i^{\alpha_i}

p₁, …, pᵢ premiers distincts deux à deux

Exemples résolus

$30 = 2\times 3\times 5$ .

31 est déjà un nombre premier : il n'a pas d'autre décomposition.

$1980 = 2^2\times 3^2\times 5\times 11$ et $45=3^2\times 5$ .

Diviseurs communs · PGCD

Définition

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls. Le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$ se note $\text{pgcd}(a,b)$ ou $a\wedge b$ .

Exemple résolu · pgcd(42, 18)

$42=2\times 3\times 7$ et $18=2\times 3^2$ .

$D_{42}=\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$ et $D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}$ , d'où $D_{42}\cap D_{18}=\{1,2,3,6\}$ .

$\text{pgcd}(42,18)=6$ .

Théorème (admis)

Pour

a,b\ge 2

\text{pgcd}(a,b)

est le produit des facteurs premiers communs à

a

b

, chacun affecté du plus petit des deux exposants trouvés dans leurs décompositions.

Exemple résolu · avec la décomposition

Si $a=2\times 3^4\times 7$ et $b=2^5\times 3^2\times 5\times 11^2$ , les facteurs communs sont 2 (exposants 1 et 5, on garde 1) et 3 (exposants 4 et 2, on garde 2).

$\text{pgcd}(a,b)=2\times 3^2 = 18$ .

Multiples communs · PPCM

Définition

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls. Le plus petit commun multiple de $a$ et $b$ se note $\text{ppcm}(a,b)$ ou $a\vee b$ .

Exemple résolu · ppcm(42, 18)

Multiples de 42 : $\{0,42,84,126,168,210,\dots\}$ . Multiples de 18 : $\{0,18,36,54,72,90,108,126,144,\dots\}$ .

Le plus petit multiple commun non nul est 126.

$\text{ppcm}(42,18)=126$ .

Théorème (admis)

Pour

a,b\ge 2

\text{ppcm}(a,b)

est le produit de tous les facteurs premiers, communs ou non, de

a

b

, chacun affecté du plus grand des exposants trouvés.

Exemples résolus

Avec $a=2\times 3^4\times 7$ et $b=2^5\times 3^2\times 5\times 11^2$ : $\text{ppcm}(a,b)=2^5\times 3^4\times 5\times 7\times 11^2$ .

Avec $a=2^3\times 3^4\times 5^7\times 11^2$ et $b=2^2\times 3^8\times 7^4\times 13^3$ : $\text{ppcm}(a,b)=2^3\times 3^8\times 5^7\times 7^4\times 11^2\times 13^3$ et $\text{pgcd}(a,b)=2^2\times 3^4$ .

Propriétés à retenir

$\text{pgcd}(a,b)=\text{pgcd}(b,a)$ , $\text{pgcd}(1,a)=1$ , $\text{pgcd}(a,a)=a$ .
$\text{ppcm}(a,b)=\text{ppcm}(b,a)$ , $\text{ppcm}(1,a)=a$ , $\text{ppcm}(a,a)=a$ .

\text{pgcd}(a,b)\times \text{ppcm}(a,b) = a\times b

VII

Division euclidienne dans IN

Définition

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels avec $b>0$ . Il existe un unique couple d'entiers naturels $(q,r)$ tels que :

\begin{gathered} a = bq+r \\ \text{avec}\ 0\le r < b \end{gathered}

$q$ est le quotient, $r$ le reste, $a$ le dividende et $b$ le diviseur.

Exemple résolu · division euclidienne de 17 par 5

$17 = 5\times 3 + 2$ , avec $0\le 2 < 5$ .

Quotient : 3. Reste : 2. Dividende : 17. Diviseur : 5.

02 · Teste-toi

Formulaire express

Essaie de répondre dans ta tête avant de cliquer pour vérifier.

n=2k

(pair) ou

n=2k+1

(impair), avec

k\in\mathbb N

La somme de ses chiffres est divisible par 9 (respectivement par 3).

Un entier

p\ge 2

dont les seuls diviseurs positifs sont 1 et

p

Produit des facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit exposant.

Produit de tous les facteurs premiers, chacun avec le plus grand exposant.

\text{pgcd}(a,b)\times\text{ppcm}(a,b)=a\times b

a=bq+r

avec

0\le r < b

q

quotient,

r

reste.

n et n+1 sont deux entiers consécutifs : l'un des deux est nécessairement pair, donc leur produit aussi.

À toi de jouer

Série d'exercices · Arithmétique dans IN

13 exercices corrigés en détail. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 13 vérifiés

Étudier la parité

Soit $n\in\mathbb N$ . Étudier la parité des nombres suivants :

$4n+300$ ; $14n+111$ ; $731\times 432$ ; $2^{n+1}+15$ ; $4n^2+8n+13$ ; $n(n+1)$ ; $n^2+5n+3$ ; $n(n+1)(n^2+5n+3)$ .

Parité, simplification et multiple de 20

Soit $n\in\mathbb N$ . On pose $a=2n+4$ et $b=6n+11$ .

Étudier la parité de a et de b.
Simplifier le nombre $(6n+11)(-1)^{2n+4}-(2n+4)(-1)^{6n+11}$ .
Montrer que $a^2+(b+1)^2$ est un multiple de 20.

Divisibilité par 3 et par 56

Soit $n\in\mathbb N$ . On pose $a=2^{n+3}-5\times 2^n$ et $b=7^{n+1}\times 2^{n+3}$ .

Montrer que a est multiple de 3 et que 56 divise b.

Chiffres inconnus et divisibilité

Déterminer le chiffre a tel que le nombre $\overline{5a74}$ soit divisible par 3.
Déterminer le chiffre b tel que le nombre $\overline{815b}$ soit divisible à la fois par 2 et par 9.
Déterminer le chiffre c tel que le nombre $\overline{921c}$ soit divisible par 3 et non pas par 9.

Reconnaître les nombres premiers

Parmi la liste de nombres ci-dessous, indiquer ceux qui sont premiers : $25422$ ; $101$ ; $70107$ ; $137$ ; $15631$ .

Un entier impair : n²−1 et n⁴−1

Soit n un entier naturel impair.

Étudier la parité de $n^2-1$ et $n^2+1$ .
Montrer que 8 divise $n^2-1$ .
En déduire que 16 divise $n^4-1$ .

Une identité et un diviseur variable

Vérifier que pour tout entier naturel n : $n^2+4n+9=(n+3)(n+1)+6$ .
Déterminer toutes les valeurs de l'entier naturel n pour que le nombre n+3 divise $n^2+4n+9$ .

Même parité et différence de carrés

Soient n et m deux entiers naturels.

Montrer que $m+n$ et $m-n$ ont la même parité.
Déterminer tous les nombres entiers m et n qui vérifient $m^2-n^2=12$ .

Diviseurs de 22 et équation produit

Déterminer les diviseurs du nombre 22.
En déduire tous les entiers naturels x et y qui vérifient $(x+2)(y+1)=22$ .

Décompositions, simplifications, pgcd et ppcm

Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres : $495$ ; $156$ ; $1404$ ; $4056$ .
Simplifier l'écriture des nombres suivants : $\dfrac{1404}{4056}$ ; $\sqrt{1404\times 4056}$ ; $\dfrac{495}{1404}+\dfrac{156}{4056}$ .
Déterminer $\text{pgcd}(495,156)$ ; $\text{pgcd}(495,1404)$ ; $\text{pgcd}(1404,4056)$ ; $\text{ppcm}(495,156)$ ; $\text{ppcm}(495,1404)$ ; $\text{ppcm}(1404,4056)$ .

Étude complète de a = 4680 et b = 5940

Soient a et b deux entiers naturels tels que $a=4680$ et $b=5940$ .

Décomposer a et b en produit de facteurs premiers.
En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de $a^2\times b^3$ .
Déterminer $\text{pgcd}(a,b)$ et $\text{ppcm}(a,b)$ , puis vérifier que $\text{pgcd}(a,b)\times\text{ppcm}(a,b)=ab$ .
Déterminer le plus petit entier naturel m tel que ma soit un carré parfait.
Déterminer le plus petit entier naturel n tel que nb soit le cube d'un entier naturel.
Simplifier $\dfrac{a}{b}$ et $\sqrt{ab}$ .

x et y en fonction de n

Pour tout $n\in\mathbb N$ , on pose $x=7^{n+2}-7^n$ et $y=3\times 7^{n+1}+5\times 7^n$ .

Montrer que x est divisible par 3 et que y est un multiple de 13.
Décomposer, en fonction de n, les nombres x et y en produit de facteurs premiers.
Déterminer $\text{pgcd}(x,y)$ et $\text{ppcm}(x,y)$ en fonction de n.

Différence de carrés d'entiers consécutifs

Soit $n\in\mathbb N$ .

Développer $(n+1)^2-n^2$ .
En déduire que tout nombre impair peut s'écrire comme la différence des carrés de deux entiers consécutifs.
Application : montrer que 2017 est la différence de deux carrés d'entiers consécutifs.
Soit $a=n^2+n+7$ .
a) Montrer que a est impair.
b) En déduire que a est la différence de deux carrés d'entiers consécutifs.

Arithmétique dans IN · Mathématiques, Tronc Commun Sciences et Technologies, semestre 1.