Dénombrement et probabilités · Cours et exercices | 2ème Bac Sciences Physiques

01 · Compter sans tout lister

Cardinal et principe fondamental de dénombrement

Avant de dénombrer des choix compliqués, il faut savoir combiner des choix simples : c'est le principe multiplicatif.

I

Cardinal d'un ensemble fini

Définition

Un ensemble

E

est fini s'il contient un nombre fini

n\in\mathbb N

d'éléments ; ce nombre s'appelle le cardinal de

E

, noté

\operatorname{card}(E)

, avec

\operatorname{card}(\varnothing)=0

.

Propriétés du cardinal

Si $E\cap F=\varnothing$ : $\operatorname{card}(E\cup F)=\operatorname{card}(E)+\operatorname{card}(F)$ .
En général : $\operatorname{card}(E\cup F)=\operatorname{card}(E)+\operatorname{card}(F)-\operatorname{card}(E\cap F)$ (formule de Poincaré).
$\operatorname{card}(E\times F)=\operatorname{card}(E)\times\operatorname{card}(F)$ .
Si $A\subset E$ , le complémentaire $\overline A=E\setminus A$ vérifie $\operatorname{card}(\overline A)=\operatorname{card}(E)-\operatorname{card}(A)$ .

II

Principe fondamental de dénombrement (principe multiplicatif)

Propriété

Si une expérience se décompose en

p

choix successifs, le choix n°

i

pouvant se faire de

n_i

manières différentes (indépendamment des choix précédents), alors le nombre total de résultats possibles est :

n_1\times n_2\times\cdots\times n_p

Exemple

On lance un dé (6 faces) puis une pièce de monnaie (2 faces). Le nombre de résultats possibles est

6\times2=12

. On représente souvent ces choix successifs par un arbre des choix.

02 · L'ordre compte

Arrangements avec et sans répétition, permutations

Tirer des éléments un par un, en tenant compte de l'ordre d'obtention, avec ou sans remise : trois formules à distinguer.

III

Arrangement avec répétition

Définition

Choisir, dans l'ordre,

p

éléments parmi

n

éléments, en autorisant les répétitions (modèle : tirages successifs avec remise), s'appelle un arrangement avec répétition de

p

éléments parmi

n

.

Propriété

Le nombre d'arrangements avec répétition de

p

éléments parmi

n

est :

n^p

IV

Arrangement sans répétition et permutation

Définition

Choisir, dans l'ordre,

p

éléments distincts parmi

n

éléments (modèle : tirages successifs sans remise) s'appelle un arrangement sans répétition de

p

éléments parmi

n

, noté

A_n^p

. Lorsque

p=n

, on parle de permutation des

n

éléments.

Propriétés — factorielle

$n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$ (« factorielle $n$ »), avec $0!=1$ .
$A_n^p=n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}$ avec $0\le p\le n$ .
Le nombre de permutations de $n$ éléments est $A_n^n=n!$ .

03 · Choisir sans ordonner

Combinaisons et formule du binôme de Newton

Quand l'ordre n'a plus d'importance — un tirage simultané, une équipe, un sous-ensemble — c'est la combinaison qui compte.

V

Combinaison de p éléments parmi n

Définition

Si

E

est un ensemble fini avec

\operatorname{card}(E)=n

, toute partie de

E

à

p

éléments (

0\le p\le n

) s'appelle une combinaison de

p

éléments parmi

n

(modèle : tirage simultané). Leur nombre se note

\binom{n}{p}

(ou

C_n^p

).

\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}

Propriétés à connaître par cœur

$\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ ; $\binom{n}{1}=n$ .
Symétrie : $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$ .
Relation de Pascal : $\binom{n+1}{p}=\binom{n}{p}+\binom{n}{p-1}$ pour $1\le p\le n$ (base du triangle de Pascal).

VI

Formule du binôme de Newton

Théorème

Pour tous réels

a,b

et tout

n\in\mathbb N^*

:

(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^{n-i}b^{i}

À retenir

Les coefficients

\binom{n}{i}

sont exactement les nombres de la

n

-ième ligne du triangle de Pascal. Substituer

a=b=1

donne

\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}=2^n

, une façon rapide de vérifier un développement.

04 · Mesurer la chance

Vocabulaire probabiliste et probabilité sur un univers fini

Une expérience aléatoire, un univers, un événement — puis une règle qui associe un nombre entre 0 et 1 à chaque événement.

VII

Vocabulaire : expérience aléatoire, univers, événement

Définitions

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, sans pouvoir prédire lequel se réalisera. L'ensemble de tous ces résultats (ou éventualités) est l'univers, noté

\Omega=\{\omega_1,\dots,\omega_n\}

. Toute partie

A\subset\Omega

est un événement.

Vocabulaire des événements

$\Omega$ est l'événement certain, $\varnothing$ l'événement impossible, et $\{\omega_i\}$ un événement élémentaire.
$\overline A=\Omega\setminus A$ est l'événement contraire de $A$ .
$A\cap B=\varnothing$ : $A$ et $B$ sont incompatibles.
$A_1,\dots,A_p$ forment une partition de $\Omega$ s'ils sont deux à deux disjoints et $A_1\cup\cdots\cup A_p=\Omega$ .

VIII

Probabilité sur un univers fini, équiprobabilité

Définition

Une probabilité sur

\Omega

associe à chaque événement élémentaire

\{\omega_i\}

un nombre

p_i\in[0,1]

avec

p_1+p_2+\cdots+p_n=1

, et la probabilité d'un événement

A

est la somme des

p_i

des éventualités qui le composent.

Propriétés à connaître par cœur

$0\le p(A)\le1$ , $p(\Omega)=1$ , $p(\varnothing)=0$ .
$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$ ; $p(\overline A)=1-p(A)$ .

Équiprobabilité

Si toutes les éventualités ont la même probabilité, on dit qu'il y a équiprobabilité (« au hasard », « boules indiscernables au toucher »), et pour tout événement

A

:

p(A)=\dfrac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}

05 · Une information change la donne

Probabilité conditionnelle, indépendance, probabilités totales

Que devient une probabilité lorsqu'on apprend qu'un autre événement s'est déjà réalisé ?

IX

Probabilité conditionnelle et indépendance

Définition

Pour

A,B\subset\Omega

avec

p(A)\neq0

, la probabilité de $B$ sachant $A$ est :

p_A(B)=p(B\mid A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}

Indépendance et probabilité composée

$A$ et $B$ sont indépendants si $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ , ce qui équivaut (si $p(A)\neq0$ ) à $p_A(B)=p(B)$ .
Probabilité composée : $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)=p(B)\times p_B(A)$ .

X

Formule des probabilités totales

Théorème

Si

A_1,A_2,\dots,A_n

forment une partition de

\Omega

(avec

p(A_i)\neq0

), alors pour tout événement

B

:

p(B)=\sum_{i=1}^{n}p(A_i)\times p_{A_i}(B)

Méthode — l'arbre pondéré

Cette formule se lit directement sur un arbre de probabilités : on multiplie le long de chaque branche puis on additionne les chemins menant à

B

. Elle permet aussi, via

p(A_i\cap B)=p(A_i)p_{A_i}(B)

, de « retourner » une probabilité conditionnelle :

p_B(A_i)=\dfrac{p(A_i)\,p_{A_i}(B)}{p(B)}

.

06 · Répéter, compter, résumer

Épreuves répétées, loi binomiale, variable aléatoire

Répéter une expérience plusieurs fois dans les mêmes conditions fait apparaître la loi binomiale, une des lois les plus utiles du programme.

XI

Épreuve de Bernoulli répétée et loi binomiale

Définition

On répète

n

fois, de façon indépendante, une expérience où un événement

A

a la probabilité

p

de se réaliser (et

\overline A

la probabilité

1-p

). Soit

X

le nombre de fois où

A

est réalisé. On dit que

X

suit la loi binomiale de paramètres

n

et

p

, notée

X\sim\mathcal B(n,p)

.

Formule à connaître par cœur

Pour

k\in\{0,1,\dots,n\}

:

p(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

XII

Variable aléatoire : loi de probabilité, espérance, variance, écart-type

Définitions

Une variable aléatoire

X

associe un nombre réel à chaque éventualité de

\Omega

. Ses valeurs sont

x_1,\dots,x_n

, et sa loi de probabilité donne les

p(X=x_i)

(avec

\sum_i p(X=x_i)=1

).

Espérance, variance, écart-type

Espérance mathématique : $E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_i\,p(X=x_i)$ .

Variance : $V(X)=\sum_{i=1}^{n}x_i^{\,2}\,p(X=x_i)-\big(E(X)\big)^2$ (toujours $V(X)\ge0$ ).

Écart-type : $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ .

Cas particulier — loi binomiale

Si

X\sim\mathcal B(n,p)

:

E(X)=np

et

V(X)=np(1-p)

.

07 · À toi de jouer

Exercices · Dénombrement et probabilités

12 exercices corrigés, au niveau Sciences Physiques : 6 sur le dénombrement (principe multiplicatif, arrangements, combinaisons, binôme), 6 sur les probabilités (équiprobabilité, conditionnelle, indépendance, probabilités totales, loi binomiale).

0 / 12 vérifiés

1

Exercice 1 · Principe multiplicatif — digicode

2 calculs

Un digicode comporte 4 caractères, chacun choisi parmi les 10 chiffres $0$ à $9$ et les 26 lettres de l'alphabet.
1) Combien de codes peut-on former si les caractères peuvent se répéter ?
2) Combien de codes peut-on former si les 4 caractères doivent être deux à deux distincts ?

2

Exercice 2 · Arrangements et permutations — course

2 calculs

Une course oppose 12 chevaux.
1) Combien de podiums (1ᵉʳ, 2ᵉ, 3ᵉ) différents peut-on obtenir ?
2) Combien de classements complets des 12 chevaux peut-on obtenir ?

3

Exercice 3 · Combinaisons — urne de boules colorées

3 calculs

Une urne contient 12 boules indiscernables au toucher : 7 rouges et 5 vertes. On tire simultanément 4 boules.
1) Combien de tirages possibles ?
2) Combien de tirages contiennent exactement 2 boules rouges ?
3) Combien de tirages contiennent au moins 3 boules rouges ?

4

Exercice 4 · Combinaisons — comité mixte

1 calcul

Un comité de 4 personnes est formé au hasard parmi 6 hommes et 4 femmes. Calculer le nombre de comités comportant au moins 2 femmes.

5

Exercice 5 · Arrangements avec répétition — anagrammes

1 calcul

Combien d'anagrammes (avec ou sans sens) peut-on former avec toutes les lettres du mot $\text{ANANAS}$ ?

6

Exercice 6 · Binôme de Newton

1 développement

1) Développer $(2x-1)^4$ à l'aide de la formule du binôme de Newton.
2) En déduire la somme des coefficients du polynôme obtenu.

7

Exercice 7 · Équiprobabilité — somme de deux dés

2 calculs

On lance deux dés équilibrés à 6 faces et on note la somme des points obtenus.
1) Calculer la probabilité que la somme soit égale à 8.
2) Calculer la probabilité que la somme soit paire.

8

Exercice 8 · Équiprobabilité et combinaisons — tirage de jetons

3 calculs

Une urne contient 10 jetons indiscernables au toucher : 6 blancs et 4 noirs. On tire simultanément 3 jetons. On considère : $A$ « les 3 jetons sont blancs », $B$ « exactement 2 jetons sont noirs », $C$ « au moins un jeton est blanc ». Calculer $p(A)$ , $p(B)$ et $p(C)$ .

9

Exercice 9 · Tirages successifs sans remise

1 calcul

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire successivement et sans remise 2 boules. Calculer la probabilité que les deux boules tirées soient de couleurs différentes.

10

Exercice 10 · Indépendance — jeu de cartes

3 calculs

On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes (4 couleurs, 8 valeurs). Soit $A$ « la carte est un roi » et $B$ « la carte est un cœur ».
1) Calculer $p(A)$ , $p(B)$ et $p(A\cap B)$ .
2) Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

11

Exercice 11 · Probabilités totales — deux urnes

2 calculs

Une urne $U_1$ contient 3 boules rouges et 2 vertes ; une urne $U_2$ contient 2 boules rouges et 4 vertes. On choisit au hasard une urne (équiprobabilité), puis on y tire une boule.
1) Calculer la probabilité de tirer une boule rouge.
2) Sachant que la boule tirée est rouge, calculer la probabilité qu'elle provienne de $U_1$ .

12

Exercice 12 · Loi binomiale — répétition d'épreuves

3 calculs

On lance un dé équilibré 4 fois de suite, de façon indépendante. Soit $X$ le nombre de fois où l'on obtient la face 6.
1) Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
2) Calculer $p(X=2)$ .
3) Calculer l'espérance $E(X)$ .