2ème Bac Sciences Physiques · Semestre 1

Les nombres complexes (Partie 1)

Un nouvel ensemble de nombres pour résoudre toutes les équations : forme algébrique, conjugué, module, argument et forme trigonométrique — la base de tout le calcul complexe à venir.

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exercices corrigés

notions clés

100%

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\mathbb C

01 · Un nouvel ensemble de nombres

Forme algébrique, opérations et conjugué

L'équation x²+1=0 n'a pas de solution dans ℝ. On invente un nombre i tel que i²=−1, et un nouvel ensemble ℂ qui contient ℝ.

Forme algébrique d'un nombre complexe

Définition

Un nombre complexe est un nombre qui s'écrit sous la forme

z=a+bi

avec

a,b\in\mathbb R

i

un nombre tel que

i^2=-1

. Cette écriture est appelée la forme algébrique de

z

. L'ensemble des nombres complexes est noté

\mathbb C

, et

\mathbb R\subset\mathbb C

Vocabulaire

Le réel

a

est la partie réelle de

z

, notée

\operatorname{Re}(z)=a

. Le réel

b

est la partie imaginaire de

z

, notée

\operatorname{Im}(z)=b

z

est réel ssi

\operatorname{Im}(z)=0

;

z

est imaginaire pur ssi

\operatorname{Re}(z)=0

Opérations

Avec $z=a+bi$ et $z'=a'+b'i$ :

$z+z'=(a+a')+(b+b')i$

$z\times z'=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i$

Conjugué d'un nombre complexe

Définition

Le conjugué de

z=a+bi

est le nombre complexe

\bar z=a-bi

Propriétés à connaître par cœur

$z+\bar z=2\operatorname{Re}(z)$ et $z-\bar z=2i\operatorname{Im}(z)$ .
$\overline{\bar z}=z$ ; $\overline{z+z'}=\bar z+\bar z'$ ; $\overline{zz'}=\bar z\,\bar z'$ .
$z\in\mathbb R\iff z=\bar z$ ; $z$ imaginaire pur $\iff z=-\bar z$ .

02 · Un point pour chaque nombre

Représentation géométrique et module

Chaque nombre complexe devient un point du plan — et sa distance à l'origine devient son module.

III

Le plan complexe

Définition

Le plan est muni d'un repère orthonormé

(O,\vec u,\vec v)

. À tout

z=a+bi

on associe le point

M(a,b)

, appelé image de z ; on note

M(z)

. Réciproquement,

z

est l'affixe de

M

Affixes remarquables

Affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ : $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$ .
Affixe du milieu $I$ de $[AB]$ : $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$ .

Module d'un nombre complexe

Définition

Le module de

z=a+bi

est le réel positif

|z|=\sqrt{z\bar z}=\sqrt{a^2+b^2}

. Géométriquement,

|z|=OM

, et pour deux points

A(z_A)

B(z_B)

AB=|z_B-z_A|

Propriétés du module

$|z|=0\iff z=0$ ; $|\bar z|=|z|$ ; $|-z|=|z|$ .
$|zz'|=|z||z'|$ ; $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ ( $z'\neq0$ ) ; $|z^n|=|z|^n$ .

03 · L'angle d'un nombre complexe

Argument d'un nombre complexe non nul

Le module donne la distance à l'origine ; l'argument donne la direction.

Définition et propriétés

Définition

Pour

z\neq0

d'image

M

, tout argument de

z

est une mesure de l'angle orienté

(\vec u,\overrightarrow{OM})

. On note

\arg(z)\equiv\theta\ [2\pi]

. Le nombre

0

n'a pas d'argument.

Cas particuliers

$z\in\mathbb R_+^*\iff\arg(z)\equiv0\ [2\pi]$ ; $z\in\mathbb R_-^*\iff\arg(z)\equiv\pi\ [2\pi]$ .
$z\in i\mathbb R_+^*\iff\arg(z)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ ; $z\in i\mathbb R_-^*\iff\arg(z)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ .

Propriétés à connaître par cœur

$\arg(\bar z)\equiv-\arg(z)\ [2\pi]$ ; $\arg(-z)\equiv\arg(z)+\pi\ [2\pi]$ .
$\arg(zz')\equiv\arg(z)+\arg(z')\ [2\pi]$ ; $\arg(z^n)\equiv n\arg(z)\ [2\pi]$ .
$\arg\!\left(\dfrac1z\right)\equiv-\arg(z)\ [2\pi]$ ; $\arg\!\left(\dfrac{z}{z'}\right)\equiv\arg(z)-\arg(z')\ [2\pi]$ .

04 · Module + argument = tout savoir sur z

Forme trigonométrique et formule de Moivre

En combinant module et argument, on obtient une écriture où multiplier des complexes revient à additionner des angles.

Forme trigonométrique

Définition

Pour

z\neq0

, avec

r=|z|

\theta=\arg(z)

z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

Opérations sur les formes trigonométriques

Avec $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et $z'=r'(\cos\theta'+i\sin\theta')$ :

$zz'=rr'\big(\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')\big)$

$\dfrac{z}{z'}=\dfrac{r}{r'}\big(\cos(\theta-\theta')+i\sin(\theta-\theta')\big)$

Formule de Moivre

Pour tout

n\in\mathbb Z

(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)

, d'où

z^n=r^n\big(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\big)

05 · À toi de jouer

Exercices · Les nombres complexes (Partie 1)

10 exercices corrigés, au niveau Sciences Physiques : forme algébrique, alignement, parallélogramme, module, argument, forme trigonométrique, équation et ensembles de points.

0 / 10 vérifiés

Exercice 1 · Forme algébrique

2 calculs

Écrire sous forme algébrique $z_1=(2+3i)(1-2i)$ et $z_2=\dfrac{1+i}{2-i}$ , puis donner leurs parties réelle et imaginaire.

Exercice 2 · Points alignés

1 démonstration

Soient $A(z_A=2+i)$ , $B(z_B=4+5i)$ et $C(z_C=-1-5i)$ . Montrer que $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

Exercice 3 · Parallélogramme

1 démonstration

Soient $A(1+2i)$ , $B(4+3i)$ , $C(5+6i)$ et $D(2+5i)$ . Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.

Exercice 4 · Calcul de modules

2 calculs

Calculer le module de $z_1=3-4i$ et de $z_2=\dfrac{1+i}{1-i}$ .

Exercice 5 · Calcul d'arguments

2 calculs

Déterminer un argument de $z_1=\sqrt3+i$ et de $z_2=-1+i$ .

Exercice 6 · Forme trigonométrique et puissance

1 étude

Écrire $z=1+i$ sous forme trigonométrique, puis calculer $z^8$ .

Exercice 7 · Ensemble de points — cercle

1 étude

Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ du plan tels que $|z-2-i|=3$ .

Exercice 8 · Ensemble de points — médiatrice

1 étude

Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ du plan tels que $|z-4|=|z-2i|$ .

Exercice 9 · Résoudre dans ℂ

1 équation

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $z^2-2z+5=0$ .

Exercice 10 · Ensemble de points — nombre imaginaire pur

1 étude

Soit $z=x+iy$ ( $x,y\in\mathbb R$ , $z\neq-i$ ) et $Z=\dfrac{z-1}{z+i}$ . Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $Z$ soit un imaginaire pur non nul.

Les nombres complexes (Partie 1) · Mathématiques, 2ème année Baccalauréat Sciences Physiques, semestre 1.