2ème Bac Sciences Physiques · Semestre 2

Géométrie dans l'espace

Le produit scalaire quitte le plan et entre dans l'espace : vecteur normal, équation de plan, distance point-plan et équation de sphère — tout l'outillage analytique de l'espace en un seul chapitre.

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exercices corrigés

notions clés

100%

corrigé

\mathcal E

01 · Le produit scalaire quitte le plan

Produit scalaire dans l'espace

La définition et les propriétés du produit scalaire du plan restent valables dans l'espace : rien à réapprendre, tout à réutiliser.

Définition et propriétés

Définition

Soient

\vec u

\vec v

deux vecteurs de l'espace

\mathcal E

, et

A

B

C

trois points tels que

\vec u=\overrightarrow{AB}

\vec v=\overrightarrow{AC}

. Si

H

est le projeté orthogonal de

C

sur la droite

(AB)

, le produit scalaire de

\vec u

\vec v

est le nombre réel :

\vec u\cdot\vec v=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\begin{cases}+\,AB\times AH &\text{si }\overrightarrow{AB}\text{ et }\overrightarrow{AH}\text{ ont même sens}\\[2pt] -\,AB\times AH &\text{sinon}\end{cases}

Autres écritures

On a aussi

\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)

, et par convention

\vec u\cdot\vec v=0

dès que

\vec u=\vec 0

\vec v=\vec 0

. Le carré scalaire

\vec u\cdot\vec u=\vec u^{\,2}

est toujours positif, et

\|\vec u\|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}

Propriétés à connaître par cœur

Symétrie : $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$ .
Bilinéarité : $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$ et $(\lambda\vec u)\cdot\vec v=\lambda(\vec u\cdot\vec v)$ pour tout $\lambda\in\mathbb R$ .
Positivité, non-dégénérescence : $\vec u\cdot\vec u\ge0$ et $\vec u\cdot\vec u=0\iff\vec u=\vec 0$ .
Orthogonalité : $\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0$ .
Identités remarquables : $(\vec u+\vec v)^2=\vec u^{\,2}+2\vec u\cdot\vec v+\vec v^{\,2}$ ; $(\vec u-\vec v)^2=\vec u^{\,2}-2\vec u\cdot\vec v+\vec v^{\,2}$ ; $(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\vec u^{\,2}-\vec v^{\,2}$ .

02 · Passer aux coordonnées

Repère orthonormé, norme et distance

Une base orthonormée transforme le produit scalaire en une simple somme de produits de coordonnées.

Base et repère orthonormés de l'espace

Définitions

Trois vecteurs

\vec\imath,\vec\jmath,\vec k

non coplanaires forment une base de

\mathcal E

: tout vecteur

\vec u

s'écrit de façon unique

\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k

, noté

\vec u(x\,;y\,;z)

. Muni d'une origine

O

, le quadruplet

(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)

est un repère de

\mathcal E

. La base est dite orthonormée si

\vec\imath\cdot\vec\jmath=\vec\jmath\cdot\vec k=\vec k\cdot\vec\imath=0

\|\vec\imath\|=\|\vec\jmath\|=\|\vec k\|=1

; le repère associé est alors orthonormé. Tout le reste du chapitre suppose l'espace muni d'un tel repère

(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)

III

Expression analytique du produit scalaire

Propriété

Pour

\vec u(x\,;y\,;z)

\vec v(x'\,;y'\,;z')

\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'

Conséquences immédiates

Norme d'un vecteur : $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .
Distance entre deux points $A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$ : $AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$ .
Angle géométrique $\widehat{BAC}$ : $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}$ .

03 · Décrire un plan par une équation

Vecteur normal, équation d'un plan, distances

Un vecteur normal remplace la donnée de deux directions du plan : c'est lui qui donne directement l'équation cartésienne.

Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan

Définition

Un vecteur

\vec n\neq\vec 0

est normal à un plan

P

s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de

P

. Le plan passant par

A

et de vecteur normal

\vec n

se note

P(A,\vec n)

, et :

M\in P(A,\vec n)\iff \overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0

Théorème — équation cartésienne d'un plan

Avec $\vec n(a\,;b\,;c)$ , l'ensemble $P(A,\vec n)$ a pour équation cartésienne :

ax+by+cz+d=0\qquad (a,b,c)\neq(0,0,0)

Réciproquement, toute équation $ax+by+cz+d=0$ avec $(a,b,c)\neq(0,0,0)$ est celle d'un plan de vecteur normal $\vec n(a\,;b\,;c)$ .

Méthode — plan donné par un point et deux vecteurs directeurs

P

passe par

A

et est dirigé par

\vec u,\vec v

non colinéaires, on cherche

\vec n(a,b,c)

tel que

\vec n\cdot\vec u=0

\vec n\cdot\vec v=0

( deux équations, trois inconnues : on en fixe une), puis on écrit

\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0

Positions relatives, distance d'un point à un plan

Deux plans, une droite et un plan

Soient $P(a,b,c)$ et $P'(a',b',c')$ de vecteurs normaux $\vec n,\vec n'$ , et $D(A,\vec u)$ une droite.

$P\parallel P'\iff \vec n\text{ et }\vec n'\text{ colinéaires}$ ; en particulier $P\perp P'\iff \vec n\cdot\vec n'=0$ .
$D\parallel P\iff \vec u\cdot\vec n=0$ ; $D\perp P\iff \vec u\text{ et }\vec n\text{ colinéaires}$ .

Distance d'un point à un plan

Pour

A(x_A,y_A,z_A)

P:ax+by+cz+d=0

d(A,P)=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

04 · L'équivalent spatial du cercle

Sphères et positions relatives

La sphère est à l'espace ce que le cercle est au plan : même logique, une coordonnée de plus.

Équation cartésienne d'une sphère

Définition

Soit

\Omega

un point et

R>0

. La sphère de centre

\Omega

et de rayon

R

, notée

S(\Omega,R)

, est l'ensemble des points

M

tels que

\Omega M=R

Trois formes à connaître

Forme centre-rayon : avec $\Omega(a,b,c)$ , $M(x,y,z)\in S(\Omega,R)\iff (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ .
Sphère de diamètre $[AB]$ : $M\in S_{[AB]}\iff \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ (centre = milieu de $[AB]$ , rayon $=\dfrac{AB}{2}$ ).
Forme développée : une équation $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ se ramène, en complétant le carré, à $\left(x+\dfrac a2\right)^2+\left(y+\dfrac b2\right)^2+\left(z+\dfrac c2\right)^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2-4d}{4}$ . En posant $\Delta=a^2+b^2+c^2-4d$ , c'est une sphère si $\Delta>0$ , réduite au point $\left(-\dfrac a2,-\dfrac b2,-\dfrac c2\right)$ si $\Delta=0$ , et l'ensemble vide si $\Delta<0$ .

VII

Positions relatives sphère–plan et sphère–droite

Sphère et plan

Soit

S(\Omega,R)

et un plan

P

, et

d=d(\Omega,P)

d>R\Rightarrow P\cap S=\varnothing\qquad d=R\Rightarrow P\text{ tangent à }S\qquad d<R\Rightarrow P\cap S\text{ est un cercle de rayon }\sqrt{R^2-d^2}

Trouver le point de tangence ou le centre du cercle

Dans les deux derniers cas, le point de tangence (ou le centre du cercle d'intersection) est le projeté orthogonal

H

\Omega

sur

P

: c'est le point d'intersection de

P

avec la droite passant par

\Omega

et normale à

P

Sphère et droite

On remplace dans l'équation de

S

la représentation paramétrique de la droite

D

; on obtient une équation du second degré en

t

de discriminant

\delta

\delta<0\Rightarrow D\cap S=\varnothing\qquad \delta=0\Rightarrow D\text{ tangente à }S\qquad \delta>0\Rightarrow D\text{ coupe }S\text{ en deux points}

05 · À toi de jouer

Exercices · Géométrie dans l'espace

10 exercices corrigés, au niveau Sciences Physiques : produit scalaire, plans, distances, sphères et positions relatives.

0 / 10 vérifiés

Exercice 1 · Produit scalaire dans un cube

1 démonstration

Soit $ABCDEFGH$ un cube d'arête $a$ (base $ABCD$ , face supérieure $EFGH$ , avec $(AE),(BF),(CG),(DH)$ arêtes verticales).
1) Montrer, sans utiliser de repère, que $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BD}=0$ .
2) Montrer de même que $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE}=0$ .
3) En déduire que la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$ .

Exercice 2 · Norme, distance et angle

3 calculs

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ . On donne $A(1,2,-1)$ , $B(3,0,1)$ et $C(2,-1,3)$ .
1) Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ .
2) Calculer $AB$ et $AC$ .
3) En déduire $\cos\widehat{BAC}$ .

Exercice 3 · Équation d'un plan (point + normal)

1 équation

Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ passant par $A(1,-2,3)$ et de vecteur normal $\vec n(2\,;-1\,;4)$ .

Exercice 4 · Plan donné par un point et deux vecteurs directeurs

1 équation

Soit $P$ le plan passant par $A(1,1,0)$ et dirigé par $\vec u(1\,;2\,;-1)$ et $\vec v(0\,;1\,;1)$ . Déterminer une équation cartésienne de $P$ .

Exercice 5 · Positions relatives de deux plans

2 questions

1) Montrer que les plans $P_1:x+y+z-1=0$ et $P_2:x-2y+z+2=0$ sont perpendiculaires.
2) Déterminer l'équation cartésienne du plan $Q$ , parallèle au plan $P:2x-y+3z-1=0$ , passant par le point $A(1,0,-1)$ .

Exercice 6 · Distance d'un point à un plan

2 questions

Soit le plan $P:x+2y-2z+9=0$ , $A(2,-1,1)$ et $B(-9,0,0)$ .
1) Calculer $d(A,P)$ . $A$ appartient-il à $P$ ?
2) Vérifier que $B\in P$ .

Exercice 7 · Équations de sphères

2 équations

1) Donner l'équation cartésienne de la sphère de centre $\Omega(2,-1,3)$ et de rayon $R=4$ .
2) Soient $A(1,2,-3)$ et $B(-3,0,1)$ . Déterminer l'équation cartésienne de la sphère de diamètre $[AB]$ .

Exercice 8 · Sphère sous forme développée, avec paramètre

1 étude

Soit $m\in\mathbb R$ et $S_m:x^2+y^2+z^2-4x+2my-2z+m^2+3=0$ .
1) Montrer que $S_m$ est une sphère dont le rayon ne dépend pas de $m$ .
2) Déterminer l'ensemble décrit par le centre de $S_m$ lorsque $m$ décrit $\mathbb R$ .

Exercice 9 · Position relative d'une droite et d'une sphère

1 étude

Soit $S:(x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=6$ et $D$ la droite de représentation paramétrique $x=4+t,\ y=1+t,\ z=t\ (t\in\mathbb R)$ . Étudier la position relative de $D$ et $S$ .

Exercice 10 · Position relative d'un plan et d'une sphère, plan tangent

1 étude

Soit $S:x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0$ et $P:2x-y+2z-1=0$ .
1) Déterminer le centre $\Omega$ et le rayon $R$ de $S$ .
2) Montrer que $P$ est tangent à $S$ , et déterminer le point de tangence $H$ .

Géométrie dans l'espace · Mathématiques, 2ème année Baccalauréat Sciences Physiques, semestre 2.