2ème Bac Sciences Physiques · Semestre 2

Équations différentielles

Trouver toutes les fonctions qui vérifient une relation entre elles-mêmes et leurs dérivées — premier ordre puis second ordre à coefficients constants.

Commencer le cours Aller aux exercices

exercices corrigés

types d'équations

100%

corrigé

y''+ay'+by=0

01 · Une équation, une famille de fonctions

Équations différentielles du premier ordre : y'=ay+b

Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions qui la vérifient — pas une seule.

Vocabulaire

Définition

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction

y

, reliant

y

à ses dérivées. L'écriture

y'=ay+b

(

a,b\in\mathbb R

) est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. Une fonction dérivable

g

qui vérifie

g'(x)=ag(x)+b

pour tout

x

est appelée solution de l'équation. Résoudre l'équation, c'est déterminer l'ensemble de toutes ses solutions.

Solution générale

Théorème

Si $a\neq0$ : les solutions de $(E):y'=ay+b$ sont exactement les fonctions $f(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}$ , $C\in\mathbb R$ .
Si $a=0$ et $b\neq0$ (l'équation est $y'=b$ ) : les solutions sont $f(x)=bx+C$ , $C\in\mathbb R$ .
Si $a=0$ et $b=0$ (l'équation est $y'=0$ ) : les solutions sont les fonctions constantes $f(x)=C$ , $C\in\mathbb R$ .

Exemple

Résoudre

y'=3y-6

: ici

a=3

b=-6

, donc

f(x)=Ce^{3x}-\dfrac{-6}3=Ce^{3x}+2

C\in\mathbb R

III

Solution avec condition initiale

Propriété

Pour

(E):y'=ay+b

(

a\neq0

) et un couple

(x_0,y_0)

donné, il existe une unique solution

f

(E)

telle que

f(x_0)=y_0

: on détermine la constante

C

grâce à cette condition.

Exemple

Déterminer la solution de

y'=3y-6

telle que

f(0)=5

: on a

f(x)=Ce^{3x}+2

, donc

f(0)=C+2=5\Rightarrow C=3

. D'où

f(x)=3e^{3x}+2

02 · Une dérivée seconde entre en jeu

Équations différentielles du second ordre : y''+ay'+by=0

La nature des solutions dépend entièrement du signe du discriminant de l'équation caractéristique.

Équation caractéristique

Définition

L'équation

(E):y''+ay'+by=0

(

a,b\in\mathbb R

) est appelée équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, sans second membre. On lui associe l'équation caractéristique

(E_c):r^2+ar+b=0

, d'inconnue

r\in\mathbb C

, de discriminant

\Delta=a^2-4b

Solution générale selon le signe de Δ

Théorème

Si $\Delta>0$ : $(E_c)$ a deux racines réelles distinctes $r_1,r_2$ . Les solutions de $(E)$ sont $f(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$ , $C_1,C_2\in\mathbb R$ .
Si $\Delta=0$ : $(E_c)$ a une racine double $r_0=-\dfrac{a}2$ . Les solutions de $(E)$ sont $f(x)=(C_1x+C_2)e^{r_0x}$ , $C_1,C_2\in\mathbb R$ .
Si $\Delta<0$ : $(E_c)$ a deux racines complexes conjuguées $r=p\pm iq$ (avec $p=-\dfrac a2$ , $q=\dfrac{\sqrt{-\Delta}}2$ ). Les solutions de $(E)$ sont $f(x)=\big(C_1\cos(qx)+C_2\sin(qx)\big)e^{px}$ , $C_1,C_2\in\mathbb R$ .

Exemple

Résoudre

y''-5y'+6y=0

: équation caractéristique

r^2-5r+6=0

\Delta=25-24=1>0

, racines

r_1=2

r_2=3

. Solutions :

f(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}

Condition initiale à deux données

Une solution particulière de

(E)

vérifiant

f(x_0)=y_0

f'(x_0)=y_0'

est unique : on forme un système de deux équations à deux inconnues

(C_1,C_2)

en évaluant

f

f'

x_0

03 · À toi de jouer

Exercices · Équations différentielles

12 exercices corrigés : équations du premier ordre, second ordre dans les trois cas du discriminant, avec ou sans conditions initiales.

0 / 12 vérifiés

Exercice 1 · Premier ordre, cas général

1 équation

Résoudre l'équation différentielle $(E):y'=-2y+4$ .

Exercice 2 · Premier ordre avec condition initiale

1 équation

Déterminer la solution $\varphi$ de $(E):y'=-2y+4$ telle que $\varphi(0)=-1$ .

Exercice 3 · Cas particulier a=0

1 équation

Résoudre $(E):y'=7$ , puis déterminer la solution $g$ telle que $g(1)=2$ .

Exercice 4 · Équation à réécrire sous forme y'=ay+b

1 équation

Résoudre $(E):2y'+4y=3$ , puis déterminer la solution $\varphi$ telle que $\varphi(0)=2$ .

Exercice 5 · Second ordre, Δ>0

1 équation

Résoudre $(E):y''-7y'+12y=0$ , puis déterminer la solution $f$ telle que $f(0)=0$ et $f'(0)=1$ .

Exercice 6 · Second ordre, Δ=0

1 équation

Résoudre $(E):y''+2y'+y=0$ , puis déterminer la solution $f$ telle que $f(0)=0$ et $f'(0)=1$ .

Exercice 7 · Second ordre, Δ<0

1 équation

Résoudre $(E):y''-4y'+13y=0$ , puis déterminer la solution $f$ telle que $f(0)=0$ et $f'(0)=1$ .

Exercice 8 · Δ<0 avec p=0

1 équation

Résoudre $(E):y''+2y=0$ , puis déterminer la solution $f$ telle que $f(0)=1$ et $f'(0)=0$ .

Exercice 9 · Second ordre, deux racines réelles

1 équation

Résoudre $(E):y''+y'-6y=0$ , puis déterminer la solution $f$ telle que $f(0)=5$ et $f'(0)=0$ .

Exercice 10 · Vérifier une solution puis conclure

1 étude

Vérifier que $g(x)=xe^{2x}$ est solution de $(E):y''-4y'+4y=0$ , puis donner l'ensemble de toutes les solutions de $(E)$ .

Exercice 11 · Premier ordre, modèle de refroidissement

1 équation

Résoudre $(E):y'+y=2$ , puis déterminer la solution $f$ telle que $f(0)=0$ .

Exercice 12 · Reconnaître le bon cas à partir du discriminant

1 étude comparée

Sans chercher les racines explicitement, déterminer dans chaque cas le signe de $\Delta$ puis la forme de la solution générale de : 1) $y''+2y'+2y=0$ ; 2) $y''+4y'+4y=0$ ; 3) $y''-y'-2y=0$ .

Équations différentielles · Mathématiques, 2ème année Baccalauréat Sciences Physiques, semestre 2.