Calcul intégral · Cours et exercices | 2ème Bac Sciences Physiques

01 · De la primitive à l'aire

Intégrale d'une fonction continue sur un segment

On définit l'intégrale à partir d'une primitive : un nombre unique, indépendant de la primitive choisie.

I

Définition

Soit

f

une fonction continue sur un segment

[a,b]

et

F

une primitive de

f

sur

[a,b]

. Le nombre

F(b)-F(a)

est appelé intégrale de $f$ de $a$ à $b$ , noté :

\int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)

Remarques essentielles

Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie (deux primitives diffèrent d'une constante qui disparaît dans la différence), ni du nom de la variable : $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(t)\,dt$ .
Si $f$ est dérivable sur $[a,b]$ avec $f'$ continue : $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$ .

Exemple

\displaystyle\int_0^1\left(x^2+2x\right)dx=\left[\dfrac{x^3}3+x^2\right]_0^1=\dfrac13+1=\dfrac43

.

02 · Ce que l'on peut faire avec une intégrale

Relation de Chasles, linéarité, ordre et valeur moyenne

Ces propriétés permettent de découper, combiner et encadrer les intégrales sans jamais recalculer de primitive.

II

Relation de Chasles

Propriétés

$\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx=0$ et $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$ .
Pour $a,b,c$ dans un intervalle où $f$ est continue (relation de Chasles) : $\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx$ .

III

Linéarité, ordre et valeur moyenne

Linéarité

Pour

f,g

continues sur

[a,b]

et

\lambda\in\mathbb R

:

\displaystyle\int_a^b\big(f(x)+g(x)\big)dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx

et

\displaystyle\int_a^b \lambda f(x)\,dx=\lambda\int_a^b f(x)\,dx

.

Positivité et ordre

Pour

a\leqslant b

: si

f\geqslant0

sur

[a,b]

alors

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\geqslant0

; si

f\leqslant g

sur

[a,b]

alors

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\leqslant\int_a^b g(x)\,dx

.

Valeur moyenne

Pour

f

continue sur

[a,b]

,

a<b

: il existe

c\in[a,b]

tel que

\displaystyle f(c)=\dfrac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

. Ce nombre est appelé valeur moyenne de

f

sur

[a,b]

.

03 · Défaire un produit

Intégration par parties

Quand une primitive directe est hors de portée, on transfère la dérivation d'une fonction vers l'autre.

IV

Théorème et méthode

Théorème

Soient

u

et

v

deux fonctions dérivables sur

[a,b]

, de dérivées

u'

et

v'

continues sur

[a,b]

. Alors :

\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=\big[u(x)v(x)\big]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx

Exemple

Calculer $\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx$ : on pose $u(x)=x$ (donc $u'(x)=1$ ) et $v'(x)=\cos x$ (donc $v(x)=\sin x$ ).

$I=\big[x\sin x\big]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx=\dfrac\pi2+\big[\cos x\big]_0^{\pi/2}=\dfrac\pi2+(0-1)=\dfrac\pi2-1$ .

04 · La géométrie de l'intégrale

Calculs d'aires et de volumes de révolution

L'intégrale mesure une aire — à condition de tenir compte du signe de la fonction — et engendre un volume par rotation.

V

Aire entre une courbe et l'axe des abscisses

Définition

Le plan est muni d'un repère orthogonal

(O,\vec\imath,\vec\jmath)

. L'unité d'aire

\text{(u.a.)}

est l'aire du rectangle construit sur

\vec\imath

et

\vec\jmath

.

Propriété — aire sous une courbe

Soit

f

continue sur

[a,b]

et

\mathcal C_f

sa courbe. L'aire

A

du domaine compris entre

\mathcal C_f

, l'axe des abscisses et les droites

x=a

,

x=b

est :

si $f\geqslant0$ sur $[a,b]$ : $A=\left(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\right)\text{u.a.}$
si $f\leqslant0$ sur $[a,b]$ : $A=\left(-\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\right)\text{u.a.}$
si $f$ change de signe : on découpe $[a,b]$ avec Chasles aux points où $f$ s'annule, et on applique la bonne formule sur chaque morceau.

VI

Aire entre deux courbes et volume de révolution

Aire entre deux courbes

Pour

f,g

continues sur

[a,b]

, l'aire du domaine compris entre

\mathcal C_f

,

\mathcal C_g

et les droites

x=a

,

x=b

est

A=\left(\displaystyle\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx\right)\text{u.a.}

(si

f\geqslant g

sur tout

[a,b]

, la valeur absolue disparaît).

Volume de révolution

L'espace est muni d'un repère orthogonal

(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)

. Le volume du solide engendré par la rotation de

\mathcal C_f

(

f

continue sur

[a,b]

) autour de l'axe des abscisses est :

V=\pi\left(\int_a^b \big[f(x)\big]^2\,dx\right)\text{u.v.}

05 · À toi de jouer

Exercices · Calcul intégral

12 exercices corrigés : calculs directs, système linéaire d'intégrales, intégration par parties, valeur moyenne, aires, volumes, encadrement et suite définie par une intégrale.

0 / 12 vérifiés

1

Exercice 1 · Calculs directs

2 calculs

Calculer $\displaystyle I=\int_0^1\left(3x^2-2x+1\right)dx$ et $\displaystyle J=\int_1^2\dfrac{1}{x^2}\,dx$ .

2

Exercice 2 · Relation de Chasles avec une valeur absolue

1 calcul

Calculer $\displaystyle I=\int_0^3|x-1|\,dx$ .

3

Exercice 3 · Système linéaire d'intégrales

1 système

On pose $\displaystyle A=\int_0^{\pi/4}\cos^2x\,dx$ et $\displaystyle B=\int_0^{\pi/4}\sin^2x\,dx$ . Calculer $A+B$ et $A-B$ , puis en déduire $A$ et $B$ .

4

Exercice 4 · Intégration par parties

1 calcul

Calculer $\displaystyle I=\int_0^1 xe^x\,dx$ .

5

Exercice 5 · Intégration par parties avec un logarithme

1 calcul

Calculer $\displaystyle I=\int_1^e\ln x\,dx$ .

6

Exercice 6 · Valeur moyenne

1 application

Déterminer la valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0,3]$ .

7

Exercice 7 · Aire avec étude de signe

1 étude complète

Soit $f(x)=x^2-4$ et $\mathcal C_f$ sa courbe. Calculer l'aire $A$ du domaine limité par $\mathcal C_f$ , l'axe des abscisses et les droites $x=0$ , $x=3$ (unité d'aire : $1$ u.a.).

8

Exercice 8 · Aire entre deux courbes

1 calcul

Soient $f(x)=x$ et $g(x)=x^2$ . Calculer l'aire du domaine compris entre $\mathcal C_f$ , $\mathcal C_g$ et les droites $x=0$ , $x=1$ .

9

Exercice 9 · Volume de révolution

1 calcul

Soit $f(x)=\sqrt x$ sur $[1,4]$ . Calculer le volume $V$ du solide engendré par la rotation de $\mathcal C_f$ autour de l'axe des abscisses.

10

Exercice 10 · Encadrement d'une intégrale

1 démonstration

Montrer que $\displaystyle 1\leqslant\int_0^1 e^{x^2}\,dx\leqslant e$ .

11

Exercice 11 · Suite définie par une intégrale

1 étude complète

Pour $n\in\mathbb N$ , on pose $\displaystyle u_n=\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}\,dx$ . Montrer que $(u_n)$ est décroissante et que $0\leqslant u_n\leqslant\dfrac1{n+1}$ pour tout $n$ .

12

Exercice 12 · Aire sous une courbe exponentielle

1 calcul

Soit $f(x)=e^{-x}+1$ . Calculer l'aire du domaine limité par $\mathcal C_f$ , l'axe des abscisses et les droites $x=0$ , $x=\ln2$ .