La fonction logarithme · Cours et exercices | 2ème Bac Sciences Physiques

01 · Une primitive qui devient fonction de référence

Définition de la fonction logarithme népérien

La fonction x↦1/x est continue sur ]0,+∞[ : elle admet donc des primitives. On choisit celle qui s'annule en 1.

I

Définition

La fonction

x\mapsto\dfrac1x

est continue sur

]0,+\infty[

, elle admet donc des primitives sur cet intervalle. On appelle fonction logarithme népérien, notée

\ln

, l'unique primitive de

x\mapsto\dfrac1x

sur

]0,+\infty[

qui s'annule en

1

:

\ln(1)=0

et

\forall x>0,\ (\ln x)'=\dfrac1x

.

Conséquences immédiates

$\ln$ est définie sur $]0,+\infty[$ , dérivable donc continue sur cet intervalle.
$(\ln x)'=\dfrac1x>0$ sur $]0,+\infty[$ donc $\ln$ est strictement croissante.
Pour tous $a,b>0$ : $a<b\iff\ln a<\ln b$ et $a=b\iff\ln a=\ln b$ .

II

Signe de ln x

Propriété

Comme

\ln

est strictement croissante et

\ln(1)=0

:

x	0	⋯	1	⋯	+∞
signe de ln x	‖	−	0	+

Autrement dit : $\ln x<0$ sur $]0,1[$ , $\ln x=0$ en $x=1$ , et $\ln x>0$ sur $]1,+\infty[$ .

02 · Transformer un produit en somme

Propriétés algébriques et limites de référence

La propriété fondamentale ln(ab)=ln a+ln b transforme tous les calculs sur les produits, quotients et puissances.

III

Propriétés algébriques

Propriété (admise pour le produit)

Pour tous

a>0

,

b>0

et

r\in\mathbb Q

:

$\ln(ab)=\ln a+\ln b$
$\ln\!\left(\dfrac1a\right)=-\ln a$
$\ln\!\left(\dfrac ab\right)=\ln a-\ln b$
$\ln(a^r)=r\ln a$ , en particulier $\ln\sqrt a=\dfrac12\ln a$ et $\ln\sqrt[3]a=\dfrac13\ln a$

Exemple (avec ln 2≈0,7 et ln 3≈1,1)

$\ln12=\ln(4\times3)=2\ln2+\ln3\approx1,4+1,1=2,5$ .

$\ln\!\left(\dfrac18\right)=-3\ln2\approx-2,1$ .

$\ln\sqrt{18}=\dfrac12\ln(2\times9)=\dfrac12(\ln2+2\ln3)\approx\dfrac{2,9}{2}=1,45$ .

IV

Limites de référence

À connaître par cœur

$\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ et $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$ .

$\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$ et, plus généralement, $\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0\ (n\in\mathbb N^*)$ .

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ et $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^n}=0\ (n\in\mathbb N^*)$ .

$\lim_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1$ et $\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$ .

Remarque

La droite d'équation

x=0

est asymptote verticale à la courbe de

\ln

(car

\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty

). Comme

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}x=0

, la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses en

+\infty

.

03 · Composer avec ln

Fonction ln(u), dérivée logarithmique et étude de ln

En composant ln avec une fonction u, on obtient la dérivée logarithmique u'/u — omniprésente dans les études de fonctions.

V

Fonction x ↦ ln(u(x))

Propriété

Soit

u

une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle

I

. Alors

f=\ln(u)

est dérivable sur

I

et :

f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}

Primitives de la forme u'/u

Les fonctions primitives de

\dfrac{u'}{u}

sur un intervalle où

u>0

sont les fonctions

F(x)=\ln\big(u(x)\big)+c

,

c\in\mathbb R

. (Si

u

change de signe mais ne s'annule pas, on utilise

F(x)=\ln|u(x)|+c

.)

Exemple

Soit

f(x)=\ln(x^2+x)

sur

]0,+\infty[

. On a

f'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x}

. Et les primitives de

g(x)=\dfrac{5}{x-2}

sur

]2,+\infty[

sont

G(x)=5\ln(x-2)+c

.

VI

Étude complète de f(x)=ln x

Domaine : $D_f=]0,+\infty[$ , continue et dérivable sur $D_f$ .
Limites : $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$ (asymptote verticale $x=0$ ), $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ (branche parabolique d'axe $(Ox)$ ).
Dérivée : $(\ln x)'=\dfrac1x>0$ : $\ln$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ .

Existence du nombre e

\ln

est continue et strictement croissante de

]0,+\infty[

vers

\mathbb R

. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation

\ln x=1

admet une unique solution, notée

e\approx2{,}718

(nombre irrationnel). On en déduit

\ln e=1

,

\ln\!\left(\dfrac1e\right)=-1

et

\ln(e^r)=r

pour tout

r\in\mathbb Q

.

04 · Changer d'échelle

Fonction logarithme de base a

En divisant ln x par une constante ln a, on obtient toute une famille de logarithmes — dont le logarithme décimal, utile en sciences physiques.

VII

Définition et propriétés

Définition

Soit

a\in]0,1[\cup]1,+\infty[

. La fonction logarithme de base

a

, notée

\log_a

, est définie sur

]0,+\infty[

par :

\log_a(x)=\dfrac{\ln x}{\ln a}

Cas particuliers et propriétés

$a=e$ : $\log_e x=\ln x$ (logarithme népérien).
$a=10$ : $\log_{10}x$ se note $\log x$ (logarithme décimal) ; $\log(10^r)=r$ , $\log1=0$ , $\log10=1$ .
$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$ ; $\log_a\!\left(\dfrac xy\right)=\log_ax-\log_ay$ ; $\log_a(x^r)=r\log_ax$ .
$\log_a a=1$ ; $\log_a1=0$ .

Variations

(\log_ax)'=\dfrac{1}{x\ln a}

. Le signe de la dérivée est celui de

\ln a

: si

a>1

,

\log_a

est strictement croissante ; si

0<a<1

,

\log_a

est strictement décroissante.

05 · À toi de jouer

Exercices · La fonction logarithme

11 exercices corrigés : domaines de définition, équations et inéquations, propriétés algébriques, dérivée logarithmique, primitives, limites et logarithme de base a.

0 / 11 vérifiés

1

Exercice 1 · Domaine de définition

1 domaine

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\ln\left(x^2-3x+2\right)$ .

2

Exercice 2 · Domaine de définition (quotient)

1 domaine

Déterminer le domaine de définition de $h(x)=\dfrac{x}{\ln x}$ .

3

Exercice 3 · Résoudre une équation simple

1 équation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $\ln(x-2)=0$ .

4

Exercice 4 · Résoudre une équation avec deux ln

1 équation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $\ln(3x-1)=\ln(5x-2)$ .

5

Exercice 5 · Résoudre une inéquation

1 inéquation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation $\ln(2x+1)\leqslant\ln(x+3)$ .

6

Exercice 6 · Simplifier avec ln 2 et ln 3

3 calculs

On donne $\ln2\approx0{,}7$ et $\ln3\approx1{,}1$ . Calculer $\ln12$ , $\ln\!\left(\dfrac18\right)$ et $\ln\sqrt{18}$ .

7

Exercice 7 · Dérivée logarithmique

1 dérivée

Soit $f(x)=\ln\left(x^2+1\right)$ . Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$ et calculer $f'(x)$ .

8

Exercice 8 · Primitive de la forme u'/u

1 primitive

Déterminer les primitives de $f(x)=\dfrac{2x-3}{x^2-3x+7}$ sur $\mathbb R$ .

9

Exercice 9 · Limites de référence

2 limites

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{\sqrt x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^2\ln x$ .

10

Exercice 10 · Étude et inégalité classique

1 démonstration

Soit $f(x)=\ln x-x+1$ sur $]0,+\infty[$ . Étudier les variations de $f$ et en déduire que $\ln x\leqslant x-1$ pour tout $x>0$ .

11

Exercice 11 · Logarithme de base a

2 calculs

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $\log_3(x+1)=2$ , puis calculer $\log_39+\log_3\!\left(\dfrac13\right)$ .