Les nombres complexes (Partie 2) · Cours et exercices | 2ème Bac Sciences Physiques

01 · Une écriture encore plus compacte

Forme exponentielle et formules d'Euler

Le module et l'argument se combinent en une seule écriture, où multiplier deux complexes revient à additionner deux angles.

I

Notation exponentielle

Définition

Pour tout réel

\theta

, on pose

e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

. Pour

z\neq0

de module

r

et d'argument

\theta

, l'écriture

z=re^{i\theta}

est appelée la forme exponentielle de

z

.

Propriétés à connaître par cœur

$e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$ ; $\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}$ ; $\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$ ; $\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$ .
$\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}$ pour tout $n\in\mathbb Z$ (formule de Moivre).
Avec $z=re^{i\theta}$ et $z'=r'e^{i\theta'}$ ( $r,r'>0$ ) : $zz'=rr'e^{i(\theta+\theta')}$ , $\dfrac{z}{z'}=\dfrac{r}{r'}e^{i(\theta-\theta')}$ , $z^n=r^ne^{in\theta}$ .

II

Formules d'Euler et linéarisation

Formules d'Euler

Pour tout réel

\theta

:

\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \qquad \sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}

Méthode : linéariser une puissance de cos ou sin

On remplace

\cos\theta

(ou

\sin\theta

) par sa formule d'Euler, on développe avec le binôme de Newton, puis on regroupe les termes conjugués

e^{ik\theta}+e^{-ik\theta}=2\cos(k\theta)

(ou

e^{ik\theta}-e^{-ik\theta}=2i\sin(k\theta)

).

Application : linéariser cos³θ

$\cos^3\theta=\left(\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^3=\dfrac18\left(e^{3i\theta}+3e^{i\theta}+3e^{-i\theta}+e^{-3i\theta}\right)$

$=\dfrac18\left(\left(e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}\right)+3\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)\right)=\dfrac18\left(2\cos3\theta+6\cos\theta\right)$

Conclusion : $\cos^3\theta=\dfrac14\cos3\theta+\dfrac34\cos\theta$ .

02 · Résoudre dans ℂ

Équations du second degré à coefficients réels

Grâce à ℂ, toute équation du second degré à coefficients réels admet désormais des solutions — réelles ou complexes conjuguées.

III

Théorème général

Définition

Soit

az^2+bz+c=0

avec

a,b,c\in\mathbb R

,

a\neq0

, et

\Delta=b^2-4ac

son discriminant.

Théorème

Si $\Delta>0$ : deux solutions réelles $z_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ .
Si $\Delta=0$ : une solution double $z_0=\dfrac{-b}{2a}$ .
Si $\Delta<0$ : deux solutions complexes conjuguées $z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\overline{z_1}=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .

Somme et produit des racines

Dans tous les cas (racines

z_1,z_2

, éventuellement égales) :

z_1+z_2=-\dfrac{b}{a}

et

z_1z_2=\dfrac{c}{a}

, d'où la factorisation

az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)

.

Application

Résoudre

z^2+2z+5=0

:

\Delta=4-20=-16<0

, donc

z_1=\dfrac{-2-4i}{2}=-1-2i

et

z_2=-1+2i

.

IV

Équations de degré supérieur à racine connue

Méthode

Pour résoudre une équation polynomiale

P(z)=0

de degré

3

à coefficients réels (ou complexes) : on vérifie qu'un nombre

z_0

(souvent réel ou imaginaire pur) est racine (

P(z_0)=0

), on factorise

P(z)=(z-z_0)(az^2+bz+c)

par identification des coefficients, puis on résout l'équation du second degré restante.

03 · Le complexe au service de la géométrie

Écriture complexe des transformations du plan

Translation, homothétie, rotation : chaque transformation du plan a une écriture complexe de la forme z'=az+b.

V

Vocabulaire

Définition

Le plan complexe

\mathcal P

est muni d'un repère orthonormé direct

(O,\vec u,\vec v)

. Une transformation

f

associe à tout point

M(z)

un unique point

M'(z')

. La relation

z'=f(z)

est appelée l'écriture complexe de

f

.

VI

Translation, homothétie et rotation

Translation

L'écriture complexe de la translation

t_{\vec u}

de vecteur

\vec u

d'affixe

b

est

z'=z+b

.

Homothétie

L'écriture complexe de l'homothétie

h(\Omega,k)

de centre

\Omega(\omega)

et de rapport

k\in\mathbb R\setminus\{0,1\}

est

z'-\omega=k(z-\omega)

, soit

z'=kz+b

avec

b=\omega(1-k)

.

Rotation

L'écriture complexe de la rotation

r(\Omega,\theta)

de centre

\Omega(\omega)

et d'angle

\theta

est

z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)

, soit

z'=az+b

avec

a=e^{i\theta}

(donc

|a|=1

).

Théorème de reconnaissance — à retenir par cœur

Toute transformation d'écriture complexe

z'=az+b

(

a\in\mathbb C^*

,

b\in\mathbb C

) est :

une translation de vecteur d'affixe $b$ si $a=1$ ;
une homothétie de rapport $a$ et de centre $\Omega\left(\dfrac{b}{1-a}\right)$ si $a\in\mathbb R\setminus\{0,1\}$ ;
une rotation d'angle $\arg(a)$ et de centre $\Omega\left(\dfrac{b}{1-a}\right)$ si $|a|=1$ et $a\neq1$ .

Dans les deux derniers cas,

\Omega

est l'unique point invariant par

f

(

f(\Omega)=\Omega

), c'est-à-dire

\omega=a\omega+b

.

04 · La géométrie plane avec les affixes

Nombres complexes et géométrie plane

Distances, angles, alignement, orthogonalité : toute la géométrie plane se traduit en calculs sur les affixes.

VII

Distances et angles

Formulaire — A(zA), B(zB), C(zC), D(zD)

Distance : $AB=|z_B-z_A|$ .
Angle orienté : $\left(\vec u,\overrightarrow{AB}\right)\equiv\arg(z_B-z_A)\ [2\pi]$ .
Angle entre deux vecteurs : $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)\equiv\arg\!\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)\ [2\pi]$ .

VIII

Alignement, orthogonalité et triangles particuliers

Caractérisations à connaître par cœur

$A$ , $B$ , $C$ alignés $\iff \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb R^*$ .
$(AB)\perp(CD) \iff \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\in i\mathbb R^*$ .
$ABC$ équilatéral $\iff \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=e^{\pm i\pi/3}$ .
$ABC$ rectangle et isocèle en $A$ $\iff \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\pm i$ .

05 · À toi de jouer

Exercices · Les nombres complexes (Partie 2)

12 exercices corrigés : forme exponentielle, linéarisation, équations dans ℂ, transformations planes et géométrie avec les affixes.

0 / 12 vérifiés

1

Exercice 1 · Forme exponentielle

2 conversions

Écrire sous forme exponentielle $z_1=\sqrt2-i\sqrt2$ et $z_2=-2+2i\sqrt3$ .

2

Exercice 2 · Produit et quotient en forme exponentielle

1 calcul

Avec $z_1=2e^{i\pi/4}$ et $z_2=4e^{2i\pi/3}$ , calculer $z_1z_2$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme exponentielle, puis en déduire leurs modules et arguments.

3

Exercice 3 · Linéariser sin²θ cos θ

1 démonstration

Linéariser $\sin^2\theta\cos\theta$ à l'aide des formules d'Euler.

4

Exercice 4 · Équation à discriminant négatif

1 équation

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $2z^2-2z+5=0$ .

5

Exercice 5 · Équation de degré 3 à racine réelle connue

1 équation

On considère $P(z)=z^3-3z^2+7z-5$ .
1. Vérifier que $1$ est une racine de $P$ .
2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(z)=(z-1)(z^2+az+b)$ .
3. Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $P(z)=0$ .

6

Exercice 6 · Reconnaître une translation

1 identification

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$ qui, à $M(z)$ , associe $M'(z')$ tel que $z'=z-3+4i$ .

7

Exercice 7 · Reconnaître une homothétie

1 identification

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$ : $z'=-3z+8$ .

8

Exercice 8 · Reconnaître une rotation

1 identification

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$ : $z'=iz+2-i$ .

9

Exercice 9 · Alignement

1 démonstration

Soient $A(1+i)$ , $B(4+7i)$ et $C(-2-5i)$ . Montrer que $A$ , $B$ , $C$ sont alignés.

10

Exercice 10 · Orthogonalité

1 démonstration

Soient $A(1+i)$ , $B(4+5i)$ , $C(0)$ et $D(-4+3i)$ . Montrer que $(AB)\perp(CD)$ .

11

Exercice 11 · Triangle équilatéral

1 démonstration

Soient $A(0)$ , $B(2)$ et $C\!\left(1+i\sqrt3\right)$ . Montrer que $ABC$ est équilatéral.

12

Exercice 12 · Composée d'une rotation et d'une image

1 étude complète

Soit $A(1+2i)$ et $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac\pi2$ . Déterminer l'écriture complexe de $r$ , puis l'image $B'$ du point $B(4+2i)$ par $r$ .