2ème Bac Sciences Physiques · Semestre 2

La fonction Exponentielle

La fonction réciproque de ln : en inversant le logarithme népérien, on obtient la fonction exponentielle e^x — sa propre dérivée, toujours positive, et le socle de tous les modèles de croissance.

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exercices corrigés

notions clés

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e^x

01 · La fonction réciproque de ln

Définition de la fonction exponentielle népérienne

ln est continue et strictement croissante de ]0,+∞[ vers ℝ : elle admet donc une fonction réciproque, l'exponentielle.

Définition

Rappel

La fonction

\ln

est continue et strictement croissante sur

]0,+\infty[

, à valeurs dans

\mathbb R

tout entier (car

\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty

\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty

). Elle réalise donc une bijection de

]0,+\infty[

vers

\mathbb R

, et admet une fonction réciproque.

Définition

La fonction réciproque de

\ln

s'appelle la fonction exponentielle népérienne. Elle est définie sur

\mathbb R

, à valeurs dans

]0,+\infty[

, et on la note

\exp

(ou, comme on le verra,

x\mapsto e^x

Nouvelle notation

Pour tout $r\in\mathbb Q$ , on montre que $\exp(r)=e^r$ où $e$ est le nombre tel que $\ln e=1$ . On prolonge cette écriture à tous les réels :

$\forall x\in\mathbb R,\ \exp(x)=e^x$ .

Relation fondamentale et conséquences

Propriété

Pour tout

x\in\mathbb R

et tout

y>0

e^x=y\iff x=\ln y

Conséquences à connaître par cœur

$\forall x\in\mathbb R,\ e^x>0$ (la courbe de $\exp$ reste toujours au-dessus de l'axe des abscisses).
$\forall x>0,\ e^{\ln x}=x$ et $\forall x\in\mathbb R,\ \ln\left(e^x\right)=x$ .
$e^0=1$ (car $\ln1=0$ ) et $e^1=e$ .
Les courbes de $\ln$ et de $\exp$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$ .
Pour $a,b\in\mathbb R$ : $a<b\iff e^a<e^b$ (stricte croissance).

02 · Transformer une somme en produit

Propriétés algébriques de l'exponentielle

Miroir des propriétés de ln : l'exponentielle transforme les sommes d'exposants en produits.

III

Propriétés algébriques

Propriété

Pour tous

a,b\in\mathbb R

r\in\mathbb Q

$e^{a+b}=e^a\times e^b$
$e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}$
$e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}$
$\left(e^a\right)^r=e^{ar}$ , en particulier $\left(e^a\right)^n=e^{na}$ pour $n\in\mathbb Z$ .

Exemple

$e^{x-3}=0\text{ n'a pas de solution}$ car $e^{x-3}>0$ toujours.

Résolvons $e^{x+3}=e^{2x-7}$ : par stricte croissance, $x+3=2x-7\iff x=10$ .

03 · La fonction qui est sa propre dérivée

Limites de référence, dérivée et primitives

e^x possède une propriété unique : sa dérivée est elle-même. Cela en fait l'outil central de toute la modélisation de croissance.

Limites de référence

À connaître par cœur

$\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ et $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ .

$\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$ et, plus généralement, $\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0\ (n\in\mathbb N^*)$ .

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\ (n\in\mathbb N^*)$ .

$\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$ .

Remarque

La droite d'équation

y=0

(axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe de

\exp

-\infty

. En

+\infty

, la croissance de

e^x

l'emporte sur toute puissance de

x

: la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

Dérivée de exp et de e^u(x)

Théorème

La fonction

x\mapsto e^x

est dérivable sur

\mathbb R

et :

\forall x\in\mathbb R,\ \left(e^x\right)'=e^x

Théorème (composée)

u

est dérivable sur un intervalle

I

, alors

f(x)=e^{u(x)}

est dérivable sur

I

et :

f'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}

Primitives de la forme u'eᵘ

Les primitives de

g(x)=u'(x)e^{u(x)}

sur

I

sont les fonctions

G(x)=e^{u(x)}+c

c\in\mathbb R

Exemple

Soit

f(x)=e^{5x^3-3x}

. On a

f'(x)=\left(15x^2-3\right)e^{5x^3-3x}

. Et les primitives de

g(x)=x\,e^{3x^2+1}

sont

G(x)=\dfrac16e^{3x^2+1}+c

(car

u(x)=3x^2+1

donne

u'(x)=6x

04 · La famille des fonctions aˣ

Étude de f(x)=eˣ et exponentielle de base a

Comme pour le logarithme, on peut changer de base : la fonction x↦aˣ généralise l'exponentielle népérienne.

Étude complète de f(x)=eˣ

Domaine : $D_f=\mathbb R$ , continue et dérivable sur $\mathbb R$ .
Limites : $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ (asymptote horizontale $y=0$ en $-\infty$ ), $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ (branche parabolique d'axe $(Oy)$ ).
Dérivée : $(e^x)'=e^x>0$ : $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb R$ .
Point remarquable : la courbe passe par $(0,1)$ avec une tangente de coefficient directeur $e^0=1$ .

VII

Fonction exponentielle de base a

Définition

Soit

a\in]0,1[\cup]1,+\infty[

. La fonction exponentielle de base

a

est définie sur

\mathbb R

par :

a^x=e^{x\ln a}

Propriétés

$a^{x+y}=a^xa^y$ ; $a^{-x}=\dfrac1{a^x}$ ; $\left(a^x\right)^r=a^{rx}$ .
Pour tout $x$ : $\log_a\left(a^x\right)=x$ , et pour tout $x>0$ : $a^{\log_ax}=x$ .
$\left(a^x\right)'=(\ln a)\,a^x$ , du signe de $\ln a$ : si $a>1$ , $x\mapsto a^x$ est strictement croissante ; si $0<a<1$ , elle est strictement décroissante.

Remarque

Le cas

a=e

redonne l'exponentielle népérienne. La fonction

x\mapsto10^x

(base

10

) est la fonction réciproque du logarithme décimal

\log

05 · À toi de jouer

Exercices · La fonction Exponentielle

11 exercices corrigés : équations et inéquations, limites de référence, dérivée et primitives de eᵘ, étude complète d'une fonction, et exponentielle de base a.

0 / 11 vérifiés

Exercice 1 · Résoudre une équation simple

1 équation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $e^{2x-1}=e^{x+3}$ .

Exercice 2 · Équation du second degré en eˣ

1 équation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $e^{2x}-3e^x-4=0$ .

Exercice 3 · Résoudre une inéquation

1 inéquation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation $e^{2x+1}\leqslant e^{x-2}$ .

Exercice 4 · Limites de référence

3 limites

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}$ , $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}xe^x$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$ .

Exercice 5 · Dérivée d'une composée

1 dérivée

Calculer la dérivée de $f(x)=e^{-x^2+3x}$ sur $\mathbb R$ .

Exercice 6 · Primitive de la forme u'eᵘ

1 primitive

Déterminer une primitive de $f(x)=xe^{x^2}$ sur $\mathbb R$ .

Exercice 7 · Primitive de la forme u'/u²

1 primitive

Déterminer une primitive de $f(x)=\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}$ sur $\mathbb R$ .

Exercice 8 · Étude complète de f(x)=xe⁻ˣ

1 étude

Soit $f(x)=xe^{-x}$ sur $\mathbb R$ . Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$ , étudier ses variations et donner son tableau de variation.

Exercice 9 · Équation exponentielle de base a

1 équation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $3^x=5^{2x-1}$ .

Exercice 10 · Inéquation avec une base entre 0 et 1

1 inéquation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation $(0{,}5)^{x+1}\geqslant(0{,}5)^{3x}$ .

Exercice 11 · Système d'équations exponentielles

1 système

Résoudre dans $\mathbb R^2$ le système $\begin{cases}e^xe^y=e^5\\ e^x/e^y=e\end{cases}$ .

La fonction Exponentielle · Mathématiques, 2ème année Baccalauréat Sciences Physiques, semestre 2.