2ème Bac Sciences Physiques · Semestre 1

Fonctions primitives

Remonter d'une fonction dérivée f à la fonction F dont elle provient : définition, existence, et le tableau des primitives usuelles — le socle de tout le calcul intégral à venir.

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exercices corrigés

formes composées

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corrigé

F'=f

01 · Le chemin inverse de la dérivation

Notion de primitive

Dériver, on sait faire. Ici on fait l'inverse : à partir de f, retrouver une fonction F dont f est la dérivée.

Définition d'une primitive

Définition

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

. On dit qu'une fonction

F

est une primitive de

f

sur

I

F

est dérivable sur

I

et si

\forall x\in I,\ F'(x)=f(x)

Exemple

Une primitive de $f(x)=4x-2$ sur $\mathbb R$ est $F(x)=2x^2-2x$ , car $F'(x)=4x-2=f(x)$ .

Une primitive de $f(x)=\cos x$ sur $\mathbb R$ est $F(x)=\sin x$ , car $F'(x)=\cos x$ .

Existence et ensemble des primitives

Théorème (admis)

Toute fonction continue sur un intervalle

I

admet des primitives sur

I

Propriété

F

est une primitive de

f

sur

I

, alors toutes les primitives de

f

sur

I

sont les fonctions

G=F+c

avec

c\in\mathbb R

. Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent donc toujours d'une constante.

Propriété (condition initiale)

Soit

F

une primitive de

f

sur

I

. Pour tout

x_0\in I

et tout

y_0\in\mathbb R

, il existe une unique primitive

G

f

sur

I

qui vérifie

G(x_0)=y_0

Exemple

Déterminons la primitive de $f(x)=x^3-2x+3$ qui s'annule en $1$ .

Les primitives de $f$ sur $\mathbb R$ sont les fonctions $F(x)=\dfrac{x^4}{4}-x^2+3x+c$ avec $c\in\mathbb R$ .

La condition $F(1)=0$ donne $\dfrac14-1+3+c=0$ , soit $c=-\dfrac94$ .

La primitive cherchée est $F(x)=\dfrac{x^4}{4}-x^2+3x-\dfrac94$ .

III

Linéarité

Propriété

F

G

sont des primitives respectives de

f

g

sur

I

, et si

k\in\mathbb R

, alors :

$F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$ ;
$kF$ est une primitive de $kf$ sur $I$ .

02 · Le tableau à connaître par cœur

Primitives des fonctions usuelles

Chaque formule de dérivée se lit aussi à l'envers : voici les primitives des fonctions de référence.

Tableau des primitives usuelles

Fonction f	Primitive F	Sur l'intervalle
$f(x)=a\ (a\in\mathbb R)$	$F(x)=ax+c$	$\mathbb R$
$f(x)=x^n\ (n\in\mathbb N)$	$F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c$	$\mathbb R$
$f(x)=\dfrac{1}{x^2}$	$F(x)=-\dfrac1x+c$	$]0,+\infty[\text{ ou }]-\infty,0[$
$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt x}$	$F(x)=2\sqrt x+c$	$]0,+\infty[$
$f(x)=\cos x$	$F(x)=\sin x+c$	$\mathbb R$
$f(x)=\sin x$	$F(x)=-\cos x+c$	$\mathbb R$
$f(x)=1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$	$F(x)=\tan x+c$	$\left]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right[$
$f(x)=\cos(ax+b)\ (a\neq0)$	$F(x)=\dfrac1a\sin(ax+b)+c$	$\mathbb R$
$f(x)=\sin(ax+b)\ (a\neq0)$	$F(x)=-\dfrac1a\cos(ax+b)+c$	$\mathbb R$

Attention

Une primitive n'est définie que sur un intervalle. Sur une réunion de plusieurs intervalles (par exemple

\mathbb R^*

), la constante

c

peut être différente sur chaque intervalle.

03 · Reconnaître la forme u'×g(u)

Primitives de fonctions composées

La plupart des exercices demandent de repérer une fonction u et sa dérivée u' cachées dans f.

Formes composées usuelles

Propriété

Soit

u

une fonction dérivable sur un intervalle

I

Fonction	Primitive	Condition
$u'u^n\ (n\in\mathbb N)$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+c$	sur $I$
$\dfrac{u'}{u^2}$	$-\dfrac1u+c$	$u\neq0$ sur $I$
$\dfrac{u'}{\sqrt u}$	$2\sqrt u+c$	$u>0$ sur $I$
$u'\cos(u)$	$\sin(u)+c$	sur $I$
$u'\sin(u)$	$-\cos(u)+c$	sur $I$
$u'(1+\tan^2(u))$	$\tan(u)+c$	sur $I$

Méthode

Pour reconnaître une forme composée : on repère une fonction $u$ « à l'intérieur », on calcule $u'$ , puis on compare avec le reste de l'expression — au besoin en ajustant par une constante multiplicative.

Exemple

Trouvons les primitives de

f(x)=x\sqrt{x^2+1}

sur

\mathbb R

. On pose

u(x)=x^2+1

, donc

u'(x)=2x

. Ainsi

f(x)=\dfrac12\,u'(x)\sqrt{u(x)}

, et puisque la primitive de

u'\sqrt u

est

\dfrac23u^{3/2}

, on obtient

F(x)=\dfrac13\left(x^2+1\right)^{3/2}+c

04 · À toi de jouer

Exercices · Fonctions primitives

10 exercices corrigés : primitives usuelles, condition initiale, formes composées u'uⁿ, u'/u², u'/√u, et l'exercice classique sur l'existence d'une primitive.

0 / 10 vérifiés

Exercice 1 · Condition initiale

1 primitive

Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=3x^2+2x-1$ sur $\mathbb R$ qui vérifie $F(2)=5$ .

Exercice 2 · Puissances négatives

1 primitive

Déterminer les primitives de $f(x)=\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{3}{\sqrt x}$ sur $]0,+\infty[$ .

Exercice 3 · Trigonométrie linéaire

2 primitives

Déterminer les primitives de $f(x)=\cos(3x-1)$ et de $g(x)=\sin(2x+5)$ sur $\mathbb R$ .

Exercice 4 · Forme u'uⁿ

1 primitive

Déterminer une primitive de $f(x)=6x\left(3x^2-1\right)^4$ sur $\mathbb R$ .

Exercice 5 · Forme u'/u²

1 primitive

Déterminer une primitive de $f(x)=\dfrac{x}{\left(x^2+4\right)^2}$ sur $\mathbb R$ .

Exercice 6 · Forme u'/√u

1 primitive

Déterminer une primitive de $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}$ sur $\mathbb R$ .

Exercice 7 · Forme u'uⁿ avec u=cos x

1 primitive

Déterminer une primitive de $f(x)=\sin x\cos^3x$ sur $\mathbb R$ .

Exercice 8 · Reconnaître (fg)'

1 primitive

Déterminer une primitive de $f(x)=2x\sin x+x^2\cos x$ sur $\mathbb R$ .

Exercice 9 · Une fonction sans primitive

1 démonstration

Soit $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=2x+1$ si $x\leqslant1$ et $f(x)=2x-1$ si $x>1$ . Montrer que $f$ n'admet pas de primitive sur $\mathbb R$ .

Exercice 10 · Combiner polynôme et forme u'/u²

1 primitive

Déterminer les primitives de $f(x)=2-\dfrac{3}{(x+2)^2}$ sur $]-2,+\infty[$ .

Fonctions primitives · Mathématiques, 2ème année Baccalauréat Sciences Physiques, semestre 1.