Dérivabilité et Étude des fonctions · Cours et exercices | 2ème Bac Sciences Physiques

01 · Le nombre dérivé et la tangente

Dérivabilité en un point et interprétation géométrique

Le nombre dérivé mesure la pente de la courbe en un point : il donne l'équation de la tangente.

I

Dérivabilité en un point

Définition

f

est dérivable en $x_0$ si le taux d'accroissement admet une limite finie :

\displaystyle\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=l

Vocabulaire

Ce nombre

l

se note

f'(x_0)

et s'appelle le nombre dérivé de

f

en

x_0

. On définit de même les nombres dérivés à droite

f'_d(x_0)

et à gauche

f'_g(x_0)

en restreignant la limite à

x\to x_0^{+}

ou

x\to x_0^{-}

.

Propriété

f

est dérivable en

x_0

si, et seulement si,

f

est dérivable à droite et à gauche de

x_0

avec

f'_d(x_0)=f'_g(x_0)

.

II

Interprétation géométrique

Tangente

Si

f

est dérivable en

x_0

, la courbe

(C_f)

admet au point

A(x_0,f(x_0))

une tangente

T

de coefficient directeur

f'(x_0)

, d'équation :

T:\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

Point anguleux et demi-tangentes

Si

f'_d(x_0)

et

f'_g(x_0)

existent mais sont différents,

f

n'est pas dérivable en

x_0

: le point

A(x_0,f(x_0))

est un point anguleux, avec une demi-tangente à droite de pente

f'_d(x_0)

et une demi-tangente à gauche de pente

f'_g(x_0)

. Si le taux d'accroissement tend vers

\pm\infty

d'un côté, la courbe admet une demi-tangente verticale de ce côté.

02 · Calculer une dérivée

Opérations sur les fonctions dérivables

Somme, produit, quotient, composée : les formules de dérivation à maîriser pour toute étude de fonction.

III

Opérations usuelles

Formules de base

$(f+g)'=f'+g'$ ; $(\lambda f)'=\lambda f'$ ; $(fg)'=f'g+fg'$ .

$\left(\dfrac1g\right)'=-\dfrac{g'}{g^2}$ ; $\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ (sur $g\neq0$ ).

$(f^n)'=nf^{n-1}f'$ ( $n\in\mathbb Z$ ) ; $\left(\sqrt f\right)'=\dfrac{f'}{2\sqrt f}$ (sur $f>0$ ).

IV

Dérivée d'une composée et de la réciproque

Composée

Si

f

est dérivable en

x_0

et

g

est dérivable en

f(x_0)

, alors

g\circ f

est dérivable en

x_0

et :

(g\circ f)'(x_0)=f'(x_0)\times g'\big(f(x_0)\big)

Applications utiles

$\big(\sqrt[n]{f}\big)'=\dfrac{f'}{n\sqrt[n]{f^{\,n-1}}}$ (sur $f>0$ ).

$\big(\sin(ax+b)\big)'=a\cos(ax+b)$ ; $\big(\cos(ax+b)\big)'=-a\sin(ax+b)$ .

Dérivée de la fonction réciproque

Si

f

est continue, strictement monotone sur

I

, dérivable en

x_0

avec

f'(x_0)\neq0

, alors

f^{-1}

est dérivable en

y_0=f(x_0)

et

\left(f^{-1}\right)'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}

.

03 · Lire le sens de variation dans le signe de f′

Monotonie, extremums, concavité et symétries

Le signe de f′ donne le sens de variation ; le signe de f″ donne la concavité de la courbe.

V

Monotonie et extremums

Propriété

Si

f'>0

sur

I

(sauf en un nombre fini de points),

f

est strictement croissante sur

I

. Si

f'<0

sur

I

,

f

est strictement décroissante. Si

f'=0

sur

I

,

f

est constante.

Extremums

Si

f

est dérivable en

a

et admet un extremum local en

a

, alors

f'(a)=0

(condition nécessaire, pas suffisante). Réciproquement, si

f'

s'annule en

a

en changeant de signe, alors

f(a)

est un extremum local de

f

.

VI

Concavité et points d'inflexion

Propriété

Soit

f

deux fois dérivable sur

I

. Si

f''>0

sur

I

,

(C_f)

est convexe (au-dessus de ses tangentes). Si

f''<0

sur

I

,

(C_f)

est concave (en dessous de ses tangentes).

Point d'inflexion

Si

f''

s'annule en

x_0

en changeant de signe, le point

A(x_0,f(x_0))

est un point d'inflexion : la tangente en

A

traverse la courbe.

VII

Éléments de symétrie

Centre et axe de symétrie

Le point $I(a,b)$ est centre de symétrie de $(C_f)$ si, pour tout $x$ du domaine (avec $2a-x$ aussi dans le domaine) : $f(2a-x)+f(x)=2b$ .

La droite $x=a$ est axe de symétrie de $(C_f)$ si $f(2a-x)=f(x)$ pour tout $x$ du domaine.

04 · Le comportement à l'infini et l'approximation locale

Branches infinies et approximation affine

Asymptotes verticales, horizontales, obliques, branches paraboliques — et l'approximation d'une fonction au voisinage d'un point.

VIII

Asymptotes et branches paraboliques

Asymptote verticale / horizontale

Si

\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty

, la droite

x=a

est asymptote verticale à

(C_f)

. Si

\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=b

, la droite

y=b

est asymptote horizontale.

Asymptote oblique

Si

\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big[f(x)-(ax+b)\big]=0

avec

a\neq0

, la droite

y=ax+b

est asymptote oblique. En pratique :

a=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}

puis

b=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big[f(x)-ax\big]

.

Cas particuliers (branches paraboliques)

Si $\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}{x}=\pm\infty$ : branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
Si $\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}{x}=0$ : branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
Si $\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}{x}=a\neq0$ et $\displaystyle\lim[f(x)-ax]=\pm\infty$ : branche parabolique de direction $y=ax$ .

IX

Approximation affine

Propriété

Si

f

est dérivable en

a

, alors pour

h

proche de

0

:

f(a+h)\approx f(a)+h\,f'(a)

05 · À toi de jouer

Exercices · Dérivabilité et Étude des fonctions

11 exercices corrigés : tangentes, points anguleux, dérivées de composées, monotonie, extremums, concavité, symétries et branches infinies.

0 / 11 vérifiés

1

Exercice 1 · Nombre dérivé et tangente

1 calcul

Soit $f(x)=x^2-3x+2$ . Calculer $f'(2)$ et écrire une équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $2$ .

2

Exercice 2 · Point anguleux

1 étude

Soit $f(x)=|x^2-1|$ . Étudier la dérivabilité de $f$ en $x_0=1$ et interpréter géométriquement.

3

Exercice 3 · Dérivées de composées

3 calculs

Calculer les dérivées de $h(x)=\sqrt{x^2+4}$ , $k(x)=(3x-1)^5$ et $m(x)=\sqrt[3]{2x+1}$ .

4

Exercice 4 · Tableau de variation d'un polynôme

1 étude

Étudier les variations de $f(x)=x^3-3x+2$ sur $\mathbb R$ et dresser son tableau de variation.

5

Exercice 5 · Condition nécessaire vs suffisante d'extremum

1 étude en 2 parties

a) Soit $\varphi(x)=x^3-3x^2+3x$ . Montrer que $\varphi'(1)=0$ mais que $\varphi$ n'admet pas d'extremum en $1$ . b) Soit $\psi(x)=x^3-3x$ . Montrer que $\psi$ admet des extremums locaux en $-1$ et $1$ .

6

Exercice 6 · Concavité et point d'inflexion

1 étude

Soit $f(x)=x^3-3x^2+2$ . Étudier la concavité de $(C_f)$ , montrer qu'elle admet un point d'inflexion et donner l'équation de la tangente en ce point.

7

Exercice 7 · Centre de symétrie

1 démonstration

Soit $f(x)=x^3-3x^2+4x-1$ . Montrer que le point $I(1,f(1))$ est un centre de symétrie de $(C_f)$ .

8

Exercice 8 · Étude complète des asymptotes

1 étude

Soit $f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}$ sur $\mathbb R\setminus\{1\}$ . Déterminer les asymptotes de $(C_f)$ et la position de $(C_f)$ par rapport à son asymptote oblique.

9

Exercice 9 · Branches infinies avec racine carrée

2 études

Soit $f(x)=\sqrt{x^2+x}$ . Étudier les branches infinies de $(C_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

10

Exercice 10 · Approximation affine

1 calcul

À l'aide de la fonction $f(x)=\sqrt x$ , donner une valeur approchée de $\sqrt{16{,}1}$ .

11

Exercice 11 · Synthèse : parité, variations et asymptotes

1 étude complète

Soit $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$ sur $\mathbb R^*$ . Étudier la parité de $f$ , ses variations avec extremums, et les asymptotes de $(C_f)$ .