2ème Bac Sciences Physiques · Semestre 1

Suites numériques

Majoration, monotonie, limites et récurrence : les techniques qui permettent d'étudier complètement une suite numérique et de démontrer sa convergence.

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exercices corrigés

notions clés

100%

corrigé

(u_n)

01 · Rappels indispensables

Généralités, suites arithmétiques et géométriques

Bornée, monotone, arithmétique ou géométrique : le vocabulaire de base et les formules à connaître par cœur.

Suite majorée, minorée, bornée, monotone

Définitions

$(u_n)$ est majorée par $M$ si $\forall n,\ u_n\leq M$ ; minorée par $m$ si $\forall n,\ u_n\geq m$ ; bornée si elle est majorée et minorée.

$(u_n)$ est croissante si $\forall n,\ u_{n+1}\geq u_n$ ; décroissante si $\forall n,\ u_{n+1}\leq u_n$ .

Suite arithmétique (rappel)

Définition et formules

(u_n)

est arithmétique de raison

r

u_{n+1}=u_n+r

pour tout

n

Formules à connaître

$u_n=u_p+(n-p)r$ .

Somme de termes consécutifs : $S=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=\dfrac{(\text{1er terme}+\text{dernier terme})\times(\text{nombre de termes})}{2}$ .

III

Suite géométrique (rappel)

Définition et formules

(u_n)

est géométrique de raison

q\neq0

u_{n+1}=q\,u_n

pour tout

n

Formules à connaître

$u_n=u_p\times q^{\,n-p}$ .

Si $q\neq1$ : $S=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=u_p\times\dfrac{q^{\,n-p+1}-1}{q-1}$ .

02 · Convergence et divergence

Limite d'une suite numérique

Les mêmes règles opératoires que pour les fonctions, avec les limites de référence qⁿ et nʳ.

Limite finie, limite infinie, convergence

Vocabulaire

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=l\in\mathbb R

, la suite est dite convergente. Si la limite est infinie ou n'existe pas, la suite est divergente.

Propriété fondamentale

Si une suite admet une limite, cette limite est unique.
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Opérations et limites de référence

Opérations sur les limites

Les règles opératoires (somme, produit, quotient) sont les mêmes que pour les fonctions. En particulier, si

\displaystyle\lim u_n=l

\displaystyle\lim v_n=l'

, alors

\displaystyle\lim(u_n+v_n)=l+l'

Limites de référence

$q>1\Rightarrow\lim q^n=+\infty$ ; $q=1\Rightarrow\lim q^n=1$ ; $-1<q<1\Rightarrow\lim q^n=0$ ; si $q\leq-1$ , $(q^n)$ n'a pas de limite.

$r>0\Rightarrow\lim n^r=+\infty$ ; $r<0\Rightarrow\lim n^r=0$ .

03 · Comparer pour conclure

Critères de convergence et suites composées

Le théorème d'encadrement (des gendarmes) et les critères de comparaison permettent de conclure sans calculer directement la limite.

Critères de comparaison et d'encadrement

Propriétés

Soient

(u_n)

(v_n)

(w_n)

trois suites, à partir d'un certain rang :

$(1)\ \ v_n\leq u_n\leq w_n\ \text{et}\ \lim v_n=\lim w_n=l\ \Longrightarrow\ \lim u_n=l$ (théorème des gendarmes).

$(2)\ \ v_n\leq u_n\ \text{et}\ \lim v_n=+\infty\ \Longrightarrow\ \lim u_n=+\infty$ .

$(3)\ \ v_n\geq u_n\ \text{et}\ \lim v_n=-\infty\ \Longrightarrow\ \lim u_n=-\infty$ .

$(4)\ \ |u_n-l|\leq v_n\ \text{et}\ \lim v_n=0\ \Longrightarrow\ \lim u_n=l$ .

VII

Suite de la forme vₙ = f(uₙ)

Propriété

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=l

et si

f

est continue en

l

, alors la suite

v_n=f(u_n)

converge vers

f(l)

\lim_{n\to+\infty}u_n=l\ \text{ et }\ f\text{ continue en }l\ \Longrightarrow\ \lim_{n\to+\infty}f(u_n)=f(l)

04 · Le cas uₙ₊₁ = f(uₙ)

Suites définies par une relation de récurrence

La méthode classique du Bac : bornes par récurrence, monotonie, convergence, puis identification de la limite comme point fixe de f.

VIII

Théorème du point fixe

Théorème

Soit

(u_n)

définie par

u_{n+1}=f(u_n)

. Si :

$f$ est continue sur un intervalle $I$ tel que $f(I)\subset I$ ,
$u_0\in I$ ,
$(u_n)$ converge (vers $l$ ),

Conclusion

alors

l\in I

vérifie l'équation

f(l)=l

(

l

est un point fixe de

f

Méthode complète (type Bac)

Montrer par récurrence que $(u_n)$ reste dans un intervalle $I$ stable par $f$ .
Montrer que $(u_n)$ est monotone (souvent via le signe de $f(x)-x$ ).
Conclure à la convergence (monotone + bornée).
Résoudre $f(l)=l$ dans $I$ pour identifier la limite.

05 · À toi de jouer

Exercices · Suites numériques

11 exercices corrigés : suites arithmétiques et géométriques, limites, encadrement, suites arithmético-géométriques, homographiques et récurrentes de type Bac.

0 / 11 vérifiés

Exercice 1 · Suite arithmétique

1 calcul

Soit $(u_n)$ arithmétique avec $u_0=5$ et $r=3$ . Calculer $u_n$ , $u_{20}$ , puis la somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_{20}$ .

Exercice 2 · Suite géométrique

1 calcul

Soit $(v_n)$ géométrique avec $v_0=3$ et $q=2$ . Calculer $v_n$ , $v_{10}$ , puis la somme $T=v_0+v_1+\cdots+v_{10}$ .

Exercice 3 · Calculs de limites usuelles

3 calculs

Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{3n^2-5n+1}{2n^2+n+7}$ , $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{5^n}{3^n+5^n}$ .

Exercice 4 · Théorème des gendarmes

1 démonstration

Soit $u_n=\dfrac{2+\sin n}{\sqrt n}$ pour $n\geq1$ . Montrer que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0$ .

Exercice 5 · Convergence par composition

1 démonstration

Soit $u_n=1+\dfrac{1}{n+1}$ et $v_n=\sqrt{3u_n+1}$ pour $n\geq0$ . Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n$ .

Exercice 6 · Suite arithmético-géométrique (I)

1 étude complète

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=13$ et $u_{n+1}=\dfrac12u_n+7$ . 1) Montrer que $u_n<14$ pour tout $n$ . 2) On pose $v_n=14-u_n$ : montrer que $(v_n)$ est géométrique, en déduire $u_n$ puis $\displaystyle\lim u_n$ . 3) Trouver le plus petit entier $n$ tel que $u_n>13{,}99$ .

Exercice 7 · Suite arithmético-géométrique (II)

1 étude complète

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=4$ et $u_{n+1}=\dfrac25u_n+3$ . 1) Montrer que $u_n<5$ pour tout $n$ . 2) On pose $v_n=5-u_n$ : montrer que $(v_n)$ est géométrique et en déduire $u_n$ . 3) Montrer que $(u_n)$ est croissante, puis calculer $\displaystyle\lim u_n$ .

Exercice 8 · Suite homographique (racine double)

1 étude complète

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{u_n+1}$ . 1) Montrer par récurrence que $u_n>1$ pour tout $n$ . 2) On pose $w_n=\dfrac{1}{u_n-1}$ : montrer que $(w_n)$ est arithmétique de raison $\dfrac12$ . 3) En déduire $u_n$ en fonction de $n$ , puis $\displaystyle\lim u_n$ .

Exercice 9 · Suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ)

1 étude complète

Soit $f(x)=\sqrt{2x+3}$ et $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ . 1) Montrer que $0\leq u_n\leq3$ pour tout $n$ . 2) Montrer que $(u_n)$ est croissante. 3) En déduire que $(u_n)$ converge et calculer sa limite.

Exercice 10 · Somme télescopique

1 démonstration

Soit $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}$ pour $n\geq1$ . Montrer que $S_n=1-\dfrac{1}{n+1}$ , puis calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n$ .

Exercice 11 · Divergence par comparaison

1 démonstration

Soit $u_n=n-\cos n$ pour $n\geq0$ . Montrer que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ .

Suites numériques · Mathématiques, 2ème année Baccalauréat Sciences Physiques, semestre 1.