2ème Bac Sciences Physiques · Semestre 1

Limites et Continuité

La continuité formalise l'idée d'une courbe « sans saut » : elle permet de démontrer l'existence de solutions, de construire des fonctions réciproques, et d'étendre la notion de puissance à tous les exposants rationnels.

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exercices corrigés

notions clés

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\lim

01 · Le prolongement naturel de la limite

Continuité en un point et sur un intervalle

Une fonction est continue en un point lorsque sa limite en ce point existe et coïncide avec sa valeur : la courbe ne « saute » pas.

Continuité en un point

Définition

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant

x_0

. On dit que

f

est continue en $x_0$ si

\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)

Continuité à droite / à gauche

f

est continue à droite de

x_0

\displaystyle\lim_{x\to x_0^{+}} f(x) = f(x_0)

f

est continue à gauche de

x_0

\displaystyle\lim_{x\to x_0^{-}} f(x) = f(x_0)

Propriété à connaître par cœur

f

est continue en

x_0

si, et seulement si,

f

est continue à droite et à gauche de

x_0

, c'est-à-dire :

\displaystyle\lim_{x\to x_0^{-}} f(x) = \lim_{x\to x_0^{+}} f(x) = f(x_0)

Continuité sur un intervalle

Définitions

$f$ est continue sur un intervalle ouvert $I$ si $f$ est continue en tout point de $I$ .
$f$ est continue sur $[a,b]$ si $f$ est continue sur $]a,b[$ , continue à droite de $a$ et continue à gauche de $b$ .

III

Opérations et fonctions usuelles

Opérations sur les fonctions continues

f

g

sont continues sur

I

, alors

f+g

f\times g

\lambda f

(

\lambda\in\mathbb R

) sont continues sur

I

, et

\dfrac{f}{g}

est continue en tout point de

I

où

g

ne s'annule pas.

Fonctions usuelles continues

Toute fonction polynomiale est continue sur $\mathbb R$ .
Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
Les fonctions $x\mapsto\sin x$ et $x\mapsto\cos x$ sont continues sur $\mathbb R$ ; $x\mapsto\tan x$ est continue sur son domaine.
La fonction $x\mapsto\sqrt x$ est continue sur $[0,+\infty[$ .

02 · De l'image d'un intervalle au TVI

Image d'un intervalle et théorème des valeurs intermédiaires

La continuité transforme un intervalle en intervalle — d'où le théorème le plus utile du chapitre pour prouver l'existence de solutions.

Image d'un intervalle par une fonction continue

Propriété

L'image d'un segment $[a,b]$ par une fonction continue $f$ est un segment $[m,M]$ ( $f$ est bornée sur $[a,b]$ et atteint ses bornes $m$ et $M$ ).
Plus généralement, l'image d'un intervalle $I$ par une fonction continue est un intervalle $J=f(I)$ .

Continuité de la composée

Théorème

f

est continue en

x_0

g

est continue en

f(x_0)

, alors

g\circ f

est continue en

x_0

. Si

f

est continue sur

I

g

est continue sur

f(I)

, alors

g\circ f

est continue sur

I

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème

Soit

f

une fonction continue sur

[a,b]

. Pour tout réel

k

compris entre

f(a)

f(b)

, il existe (au moins) un réel

c\in[a,b]

tel que

f(c)=k

Corollaire — équation f(x) = 0

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f(a)\cdot f(b)<0$ , alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution $c$ dans $]a,b[$ .
Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$ , cette solution $c$ est unique.

03 · Bijections et fonction réciproque

Fonction réciproque d'une fonction continue et monotone

Une fonction continue et strictement monotone réalise une bijection : elle admet une fonction réciproque, avec des propriétés remarquables.

VII

Théorème et propriétés de la réciproque

Théorème

Soit

f

une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle

I

, et

J=f(I)

. Alors

f

réalise une bijection de

I

sur

J

, et sa fonction réciproque

f^{-1}:J\to I

vérifie :

\forall x\in I,\ f^{-1}\big(f(x)\big)=x \qquad \text{et} \qquad \forall y\in J,\ f\big(f^{-1}(y)\big)=y

Propriétés de f⁻¹

$f^{-1}$ est continue sur $J$ .
$f^{-1}$ varie dans le même sens que $f$ (même monotonie).
Les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$ .

04 · Étendre la notion de puissance

Fonction racine n-ième et puissance rationnelle

En appliquant le théorème de la réciproque à x ↦ xⁿ, on construit la racine n-ième, puis toute puissance d'exposant rationnel.

VIII

Fonction racine n-ième

Définition

Pour

n\in\mathbb N^*

, la fonction

x\mapsto x^n

est continue et strictement croissante sur

[0,+\infty[

. Sa fonction réciproque, notée

x\mapsto\sqrt[n]{x}=x^{\frac1n}

, est appelée fonction racine n-ième ; elle est continue et strictement croissante sur

[0,+\infty[

Propriétés (a, b ≥ 0)

$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ ; $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\ \ (b\neq0)$ .

$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}$ ; $\sqrt[p]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[pn]{a}$ .

Si $\lim_{x\to x_0} f(x)=l\geq0$ alors $\lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{l}$ ; si $\lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty$ alors $\lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=+\infty$ .

Puissance rationnelle d'un réel positif

Définition

Pour

x>0

et un rationnel

r=\dfrac{p}{q}

(

p\in\mathbb Z

q\in\mathbb N^*

), on pose :

x^{r}=\sqrt[q]{x^{p}}=\left(\sqrt[q]{x}\right)^{p}

Propriétés (x, y > 0 ; r, s ∈ ℚ)

$x^{r}\cdot x^{s}=x^{r+s}$ ; $\left(x^{r}\right)^{s}=x^{rs}$ .

$(xy)^{r}=x^{r}y^{r}$ ; $x^{-r}=\dfrac{1}{x^{r}}$ ; $x^0=1$ .

05 · À toi de jouer

Exercices · Limites et Continuité

11 exercices corrigés : continuité en un point, TVI, équations, fonctions réciproques, limites avec racines et puissances rationnelles.

0 / 11 vérifiés

Exercice 1 · Continuité en un point (quotient de racines)

1 étude

Soit $f$ définie par $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt2}{x}$ si $x\neq0$ , et $f(0)=\dfrac{\sqrt2}{4}$ . Montrer que $f$ est continue en $x_0=0$ .

Exercice 2 · Continuité et paramètre

1 recherche

Soit $f$ définie par $f(x)=ax+3$ si $x\leq2$ , et $f(x)=x^2+1$ si $x>2$ . Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en $x_0=2$ .

Exercice 3 · Continuité (différence de racines)

1 étude

Soit $f$ définie sur $]-1,0[\cup]0,1[$ par $f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$ , et $f(0)=1$ . Montrer que $f$ est continue en $0$ .

Exercice 4 · TVI et encadrement d'une solution

1 démonstration

Soit $g(x)=x^3+3x-1$ . Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0,1[$ , puis donner un encadrement d'amplitude $0{,}125$ de $\alpha$ .

Exercice 5 · Corollaire du TVI

1 démonstration

Montrer que l'équation $\cos x=x$ admet une unique solution dans $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ .

Exercice 6 · Fonction réciproque (avec racine carrée)

1 étude

Soit $f(x)=x+\sqrt{x^2+1}$ définie sur $\mathbb R$ . Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb R$ sur un intervalle $J$ à préciser, puis déterminer $f^{-1}$ .

Exercice 7 · Fonction réciproque (fonction homographique)

1 étude

Soit $f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$ définie sur $I=]-1,+\infty[$ . Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à préciser, puis déterminer $f^{-1}$ .

Exercice 8 · Limites avec conjugué à l'infini

2 calculs

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}+x\right)$ .

Exercice 9 · Puissance rationnelle : simplifications

2 calculs

Simplifier $A=\dfrac{2^{\frac12}\times2^{\frac32}}{2^{-1}}$ et $B=27^{\frac23}-16^{\frac34}+32^{\frac15}$ .

Exercice 10 · Limite avec racine cubique

1 calcul

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x\right)$ .

Exercice 11 · Synthèse : continuité, TVI et réciproque

1 étude complète

Soit $f(x)=x^3+x-1$ sur $\mathbb R$ . Montrer que $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb R$ , que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in]0,1[$ , puis que $f$ réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$ . Calculer $f^{-1}(1)$ et $f^{-1}(-1)$ .

Limites et Continuité · Mathématiques, 2ème année Baccalauréat Sciences Physiques, semestre 1.