2ème Bac Sciences Math · Semestre 2

Structures algébriques

Lois de composition interne, groupes, anneaux et corps : le cours complet avec démonstrations, puis 11 exercices corrigés en détail.

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01 · Le vocabulaire de base

Lois de composition interne

Une loi de composition interne combine deux éléments d'un ensemble pour en produire un troisième, dans le même ensemble.

Définition et exemples

Soit $E$ un ensemble non vide. Une loi de composition interne (l.c.i.) sur $E$ (on dit aussi une opération dans $E$ ) est une application $f$ de $E\times E$ dans $E$ :

\begin{gathered} f: E\times E \to E \\ (x,y)\longmapsto f(x,y) \end{gathered}

L'élément $f(x,y)$ s'appelle le composé de $x$ et $y$ (dans cet ordre) par cette loi ; on le note le plus souvent $x\ast y$ (ou $x\cdot y$ , $x+y$ , $xy$ , $x\top y$ …) au lieu de $f(x,y)$ .

Exemples de lois de composition internes

• L'addition et la multiplication sont des l.c.i. sur $\mathbb N$ , $\mathbb Z$ , $\mathbb Q$ , $\mathbb R$ et $\mathbb C$ .

• Dans $\mathcal P(E)$ (parties d'un ensemble $E$ ), l'intersection $\cap$ , la réunion $\cup$ et la différence symétrique $\Delta$ sont des l.c.i.

• Dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$ (matrices carrées d'ordre 2), la somme et le produit matriciels sont des l.c.i.

• Dans $\mathcal F(I,\mathbb R)$ (fonctions d'un intervalle $I$ dans $\mathbb R$ ), la somme et le produit de deux fonctions sont des l.c.i. ; dans $\mathcal F(E,E)$ , la composition $\circ$ est une l.c.i.

Contre-exemples

La soustraction n'est pas une l.c.i. sur $\mathbb N$ (par exemple $2\in\mathbb N$ et $3\in\mathbb N$ mais $2-3=-1\notin\mathbb N$ ) — elle l'est en revanche sur $\mathbb Z$ . De même, le produit scalaire de deux vecteurs du plan n'est pas une l.c.i. sur l'ensemble des vecteurs : le résultat est un nombre réel, pas un vecteur.

Parties stables

Soient $(E,\ast)$ un ensemble muni d'une l.c.i. et $F$ une partie non vide de $E$ .

Définition

F

est stable pour

\ast

si et seulement si :

$\forall (x,y)\in F^2,\ x\ast y\in F$

Si $F$ est stable dans $(E,\ast)$ , alors $\ast$ induit une l.c.i. sur $F$ , appelée loi induite sur $F$ .

Exemples

L'ensemble $2\mathbb Z$ des entiers pairs est stable pour $+$ dans $\mathbb Z$ (la somme de deux entiers pairs est paire), et aussi pour $\times$ . L'ensemble des entiers impairs est stable pour $\times$ mais pas pour $+$ (la somme de deux impairs est paire).

Dans $(\mathbb R,\times)$ , $S=\{-1;1\}$ est stable, mais $S$ n'est pas stable dans $(\mathbb R,+)$ car $1\in S$ et $-1\in S$ mais $1+(-1)=0\notin S$ .

III

Commutativité et associativité

Soient $E$ un ensemble non vide et $\ast$ une l.c.i. sur $E$ .

1. Commutativité

$\ast$ est commutative $\iff \forall (x,y)\in E^2,\ x\ast y = y\ast x$ .

2. Associativité

$\ast$ est associative $\iff \forall (x,y,z)\in E^3,\ (x\ast y)\ast z = x\ast(y\ast z)$ . Si $\ast$ est associative, on peut alors noter simplement $x\ast y\ast z$ .

Exemples et contre-exemples

$+$ et $\times$ sont commutatives et associatives sur $\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ , mais la soustraction n'est ni commutative ni associative : $2-3\neq 3-2$ et $(2-3)-1\neq 2-(3-1)$ .

La composition $\circ$ dans $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ est associative mais en général non commutative : avec $f(x)=x+1$ et $g(x)=2x$ , on a $(f\circ g)(x)=2x+1$ et $(g\circ f)(x)=2x+2$ , donc $f\circ g\neq g\circ f$ .

Le produit dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$ n'est pas commutatif. Par exemple avec $A=\begin{pmatrix}1&3\\2&0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&2\\3&1\end{pmatrix}$ :

\begin{gathered} AB=\begin{pmatrix}9&5\\0&4\end{pmatrix} \\ BA=\begin{pmatrix}4&0\\5&9\end{pmatrix} \end{gathered}

donc $AB\neq BA$ .

Élément neutre, élément symétrisable, élément régulier

1. Élément neutre

Définition

(E,\ast)

admet un élément neutre si et seulement si :

$\exists\, e\in E,\ \forall x\in E,\ e\ast x = x\ast e = x$

Théorème — unicité de l'élément neutre

Si $\ast$ admet un élément neutre dans $E$ , celui-ci est unique.

Démonstration. Soient $e$ et $e'$ deux éléments neutres. Alors $e=e\ast e'=e'$ (en calculant $e\ast e'$ de deux façons).

Exemples

$0$ est neutre pour $+$ dans $\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ ; $1$ est neutre pour $\times$ dans ces mêmes ensembles. $\varnothing$ est neutre pour $\cup$ et $E$ est neutre pour $\cap$ dans $\mathcal P(E)$ . La matrice identité $I_2$ est neutre pour le produit dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$ .

Remarque : dans $(\mathbb N^\ast,+)$ , il n'y a pas d'élément neutre.

2. Élément symétrisable

Définition

On suppose que

(E,\ast)

admet un élément neutre

e

. Un élément

x\in E

est symétrisable pour

\ast

si et seulement si :

$\exists\, x'\in E,\ x\ast x' = x'\ast x = e$

Théorème — unicité du symétrique

Si $\ast$ est associative et possède un élément neutre $e$ , et si $x\in E$ admet un symétrique, celui-ci est unique.

Démonstration. Soient $x'$ et $x''$ deux symétriques de $x$ . Alors $x''=e\ast x''=(x'\ast x)\ast x''=x'\ast(x\ast x'')=x'\ast e=x'$ .

Théorème — symétrique d'un composé

Si $x$ et $y$ sont symétrisables, de symétriques respectifs $x'$ et $y'$ , alors $x\ast y$ est symétrisable et :

(x\ast y)' = y' \ast x'

Démonstration. $(x\ast y)\ast(y'\ast x') = x\ast(y\ast y')\ast x' = x\ast e\ast x' = x\ast x' = e$ , et de même $(y'\ast x')\ast(x\ast y)=e$ .

Exemples

Dans $(\mathbb R,+)$ , tout élément $a$ admet un symétrique $-a$ (l'opposé). Dans $(\mathbb R,\times)$ , tout élément $a\neq 0$ admet un symétrique $a^{-1}=\dfrac1a$ (l'inverse) ; mais $0$ n'a pas de symétrique. Dans $(\mathcal F(E,E),\circ)$ , les applications symétrisables sont exactement les bijections de $E$ sur $E$ , et le symétrique de $f$ est sa réciproque $f^{-1}$ .

3. Élément régulier (simplifiable)

Définition

x\in E

est régulier pour

\ast

si et seulement si :

\begin{gathered} \forall (y,z)\in E^2,\ x\ast y = x\ast z \Rightarrow y=z \\ \text{et} \\ \forall (y,z)\in E^2,\ y\ast x = z\ast x \Rightarrow y=z \end{gathered}

Théorème

Si $\ast$ est associative et possède un élément neutre, tout élément symétrisable est régulier.

Démonstration. Soit $x$ symétrisable de symétrique $x'$ . Si $x\ast y = x\ast z$ , alors $x'\ast(x\ast y)=x'\ast(x\ast z)$ , donc $(x'\ast x)\ast y=(x'\ast x)\ast z$ , donc $e\ast y = e\ast z$ , donc $y=z$ .

Morphismes de structures algébriques

« Morphisme » signifie à peu près « qui respecte la forme ». Soient $(E,\ast)$ et $(F,\top)$ deux ensembles munis chacun d'une l.c.i.

Définition

Une application $f$ de $E$ dans $F$ est un morphisme de $(E,\ast)$ dans $(F,\top)$ lorsque :

$\forall (x,y)\in E^2,\ f(x\ast y) = f(x)\top f(y)$

Si de plus $f$ est bijective, on parle d'isomorphisme. Si $E=F$ et $\ast=\top$ , on parle d'endomorphisme, et si en plus $f$ est bijective, d'automorphisme.

Exemples classiques de morphismes

$\exp$ est un morphisme (même un isomorphisme) de $(\mathbb R,+)$ dans $(\mathbb R^{\ast}_+,\times)$ : $e^{x+y}=e^x e^y$ . Sa réciproque $\ln$ est un isomorphisme de $(\mathbb R^{\ast}_+,\times)$ dans $(\mathbb R,+)$ .

La conjugaison $z\mapsto\bar z$ est un morphisme de $(\mathbb C,\times)$ dans lui-même (c'est même un automorphisme) : $\overline{zz'}=\bar z\,\bar{z'}$ .

Théorème (transport de structure)

Soit $f$ un morphisme de $(E,\ast)$ dans $(F,\top)$ . Alors :

$f(E)$ est une partie stable de $(F,\top)$ ;
si $\ast$ est commutative dans $E$ , alors $\top$ est commutative dans $(f(E),\top)$ ;
si $\ast$ est associative dans $E$ , alors $\top$ est associative dans $(f(E),\top)$ ;
si $\ast$ admet un élément neutre $e$ dans $E$ , alors $f(e)$ est élément neutre dans $(f(E),\top)$ ;
si de plus $x\in E$ admet un symétrique $x'$ pour $\ast$ , alors $f(x)$ admet $f(x')$ pour symétrique dans $(f(E),\top)$ .

02 · Une l.c.i. bien apprivoisée

Structure de groupe

Un groupe est un ensemble muni d'une seule loi qui est associative, possède un neutre, et où tout élément est symétrisable.

Définition et exemples

Définition

Soit $G$ un ensemble non vide muni d'une l.c.i. $\ast$ . On dit que $(G,\ast)$ est un groupe si et seulement si :

$\ast$ est associative ;
$\ast$ possède un élément neutre dans $G$ ;
tout élément de $G$ possède un symétrique pour $\ast$ dans $G$ .

Si de plus $\ast$ est commutative, on dit que le groupe est commutatif (ou abélien).

Exemples et contre-exemples

$(\mathbb Z,+)$ , $(\mathbb Q,+)$ , $(\mathbb R,+)$ , $(\mathbb C,+)$ , $(\mathbb Q^\ast,\times)$ , $(\mathbb R^\ast,\times)$ , $(\mathbb C^\ast,\times)$ sont des groupes commutatifs.

$(\mathbb N,+)$ n'est pas un groupe (aucun élément non nul n'a d'opposé dans $\mathbb N$ ). $(\mathbb Z,\times)$ n'est pas un groupe ( $2$ n'a pas d'inverse dans $\mathbb Z$ ).

L'ensemble des matrices carrées inversibles d'ordre 2, muni du produit matriciel, est un groupe non commutatif.

VII

Propriétés des groupes

Théorème

Soit $(G,\ast)$ un groupe, d'élément neutre $e$ . Alors :

l'élément neutre est unique ;
tout élément de $G$ possède un unique symétrique dans $G$ ;
tout élément de $G$ est régulier : pour $a\in G$ et $(x,y)\in G^2$ , $a\ast x=a\ast y\Rightarrow x=y$ et $x\ast a=y\ast a\Rightarrow x=y$ .

(Les points 1 et 2 ont déjà été démontrés au paragraphe précédent : un groupe est associatif et possède un neutre, donc les théorèmes d'unicité s'appliquent ; le point 3 découle du théorème « symétrisable $\Rightarrow$ régulier ».)

Conséquence — équations dans un groupe

Soient $(G,\ast)$ un groupe d'élément neutre $e$ , et $(a,b)\in G^2$ , $a'$ le symétrique de $a$ . Les équations $a\ast x = b$ et $x\ast a = b$ d'inconnue $x\in G$ admettent chacune une unique solution :

\begin{gathered} a\ast x = b \iff x = a'\ast b \\ x\ast a = b \iff x = b\ast a' \end{gathered}

VIII

Sous-groupes

Définition

Soient $(G,\ast)$ un groupe et $H$ une partie stable de $G$ pour $\ast$ . On dit que $H$ est un sous-groupe de $(G,\ast)$ si et seulement si $(H,\ast)$ (muni de la loi induite) est lui-même un groupe.

Théorème — caractérisation pratique

Soient $(G,\ast)$ un groupe d'élément neutre $e$ , et $H$ une partie de $G$ . Alors $H$ est un sous-groupe de $(G,\ast)$ si et seulement si :

\begin{gathered} e\in H \\ \forall (x,y)\in H^2,\ x\ast y\in H \\ \forall x\in H,\ x'\in H \end{gathered}

Version condensée : $H\neq\varnothing$ et $\forall (x,y)\in H^2,\ x\ast y'\in H$ .

Exemples

$\{e\}$ et $G$ sont des sous-groupes de $(G,\ast)$ , dits triviaux. $n\mathbb Z$ est un sous-groupe de $(\mathbb Z,+)$ pour tout $n\in\mathbb N$ . L'ensemble $U=\{z\in\mathbb C, |z|=1\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb C^\ast,\times)$ .

Deux propriétés utiles

1) Si $H$ et $K$ sont deux sous-groupes de $(G,\ast)$ , alors $H\cap K$ est aussi un sous-groupe de $(G,\ast)$ (une intersection de sous-groupes est un sous-groupe).

2) Si $f$ est un morphisme du groupe $(G,\ast)$ dans un ensemble $(F,\top)$ muni d'une l.c.i., alors $(f(G),\top)$ est un groupe (image d'un groupe par un morphisme).

03 · Deux lois en même temps

Anneaux et corps

Un anneau combine deux lois de composition interne liées par la distributivité ; un corps est un anneau où l'on peut « diviser ».

Anneaux

1. Distributivité

Définition

Soient

\ast

\top

deux l.c.i. sur

E

\top

est distributive sur

\ast

si et seulement si :

\forall (x,y,z)\in E^3,\ x\top(y\ast z)=(x\top y)\ast(x\top z)\ \text{et}\ (y\ast z)\top x=(y\top x)\ast(z\top x)

2. Définition d'un anneau

Définition

Soit $A$ un ensemble muni de deux l.c.i. notées $+$ et $\times$ . $(A,+,\times)$ est un anneau si et seulement si :

$(A,+)$ est un groupe commutatif ;
$\times$ est associative ;
$\times$ est distributive sur $+$ .

L'anneau est commutatif si $\times$ est commutative, et unitaire si $\times$ admet un élément neutre (noté $1_A$ ). On note $0_A$ l'élément neutre de $+$ .

Exemples et contre-exemples

$(\mathbb Z,+,\times)$ , $(\mathbb Q,+,\times)$ , $(\mathbb R,+,\times)$ , $(\mathbb C,+,\times)$ sont des anneaux commutatifs unitaires. $(\mathcal M_2(\mathbb R),+,\times)$ est un anneau unitaire mais non commutatif. $(2\mathbb Z,+,\times)$ n'est pas unitaire (pas d'élément neutre pour $\times$ dans $2\mathbb Z$ ).

3. Règles de calcul dans un anneau

Théorème

Soit $(A,+,\times)$ un anneau. Pour tous $x,a,b\in A$ :

\begin{gathered} x\times 0_A = 0_A\times x = 0_A \\ (-a)\times b = a\times(-b) = -(a\times b) \end{gathered}

Démonstration (1re égalité). $x\times 0_A = x\times(0_A+0_A) = x\times 0_A + x\times 0_A$ . Comme $(A,+)$ est un groupe, tout élément y est régulier ; en simplifiant par $x\times 0_A$ , on obtient $0_A = x\times 0_A$ .

4. Diviseurs de zéro, anneau intègre

Définitions

Un élément $a\neq 0_A$ de $A$ est un diviseur de zéro s'il existe $b\neq 0_A$ tel que $a\times b=0_A$ (ou $b\times a=0_A$ ). L'anneau $A$ est dit intègre s'il n'a pas de diviseur de zéro, c'est-à-dire :

$\forall (a,b)\in A^2,\ a\times b = 0_A \Rightarrow a=0_A\ \text{ou}\ b=0_A$

$(\mathbb Z,+,\times)$ est intègre. En revanche, $(\mathcal M_2(\mathbb R),+,\times)$ n'est pas intègre : avec $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$ , on a $A\neq 0$ , $B\neq 0$ mais $AB=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ .

5. Groupe des éléments inversibles

Théorème

Soit

(A,+,\times)

un anneau unitaire. L'ensemble

A^\times

des éléments de

A

inversibles pour

\times

(symétrisables), muni de

\times

, est un groupe.

Corps

Définition

Soit $(K,+,\times)$ un anneau unitaire. On dit que $(K,+,\times)$ est un corps si et seulement si tout élément non nul de $K$ est inversible pour $\times$ , c'est-à-dire $(K^\ast,\times)$ est un groupe. Le corps est dit commutatif si $\times$ est commutative.

Exemples et contre-exemples

$(\mathbb Q,+,\times)$ , $(\mathbb R,+,\times)$ , $(\mathbb C,+,\times)$ sont des corps commutatifs. $(\mathbb Z,+,\times)$ n'est pas un corps ( $2$ n'est pas inversible dans $\mathbb Z$ ). $(\mathcal M_2(\mathbb R),+,\times)$ n'est pas un corps (une matrice non nulle et non inversible, par exemple $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ , y existe).

Théorème — un corps n'a pas de diviseur de zéro

Dans un corps $(K,+,\times)$ , un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul :

\forall (x,y)\in K^2,\ xy=0 \iff x=0\ \text{ou}\ y=0

Démonstration. Si $x\neq 0$ , $x$ est inversible : $xy=0 \Rightarrow x^{-1}(xy)=0 \Rightarrow y=0$ .

Conséquence : dans un corps, tout élément non nul est régulier pour $\times$ .

À toi de jouer

Exercices · Structures algébriques

11 exercices corrigés, des lois de composition interne jusqu'aux corps. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier ta réponse.

0 / 11 vérifiés

Tables de composition dans ℤ/5ℤ

On munit $\mathbb Z/5\mathbb Z=\{0,1,2,3,4\}$ de l'addition et de la multiplication modulo 5. Dresser les tables de $+$ et de $\times$ , et vérifier sur ces tables que ce sont bien des lois de composition internes.

Une loi sur l'intervalle ]−1 ; 1[

On définit sur $I=\,]-1;1[$ la loi $\ast$ par $x\ast y = \dfrac{x+y}{1+xy}$ pour $(x,y)\in I^2$ . Montrer que $\ast$ est une loi de composition interne dans $I$ .

Stabilité et transport de structure

On munit $\mathbb R$ de la loi $\ast$ définie par $x\ast y = x+y+xy$ .

Montrer que $S=[0;+\infty[$ est une partie stable de $(\mathbb R,\ast)$ .
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=x+1$ . Montrer que $f$ est un isomorphisme de $(\mathbb R,\ast)$ dans $(\mathbb R,\times)$ .
En déduire que $\ast$ est commutative, associative, et déterminer son élément neutre.
Déterminer l'ensemble des éléments symétrisables pour $\ast$ et leur symétrique.

Une loi ni commutative ni associative

On munit $\mathbb R$ de la loi $\ast$ définie par $x\ast y = 2x+3y-1$ . La loi $\ast$ est-elle commutative ? Est-elle associative ?

Un groupe commutatif construit sur ℝ ∖ {1}

On munit $E=\mathbb R\setminus\{1\}$ de la loi $\ast$ définie par $x\ast y = x+y-xy$ . Montrer que $(E,\ast)$ est un groupe commutatif, et déterminer le symétrique d'un élément $x\in E$ .

Un sous-groupe classique : les entiers pairs

Montrer que $2\mathbb Z$ (l'ensemble des entiers relatifs pairs) est un sous-groupe de $(\mathbb Z,+)$ .

Un sous-groupe du groupe des complexes non nuls

Montrer que $U=\{z\in\mathbb C,\ |z|=1\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb C^\ast,\times)$ .

Une caractérisation des groupes commutatifs

Soit $(G,\times)$ un groupe (loi notée multiplicativement). On suppose que $\forall (a,b)\in G^2,\ (ab)^2=a^2b^2$ . Montrer que $G$ est commutatif.

Diviseurs de zéro dans les matrices

Dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$ , exhiber deux matrices non nulles dont le produit est la matrice nulle. Que peut-on en conclure sur l'anneau $(\mathcal M_2(\mathbb R),+,\times)$ ?

Anneau de Boole

Soit $(A,+,\times)$ un anneau tel que $x^2=x$ pour tout $x\in A$ (on dit que $A$ est un anneau de Boole). Montrer que $x+x=0_A$ pour tout $x\in A$ , puis que $A$ est commutatif.

ℚ(√2) est un corps

Soit $K=\mathbb Q(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2,\ (a,b)\in\mathbb Q^2\}$ , muni de $+$ et $\times$ usuels. Montrer que $(K,+,\times)$ est un sous-anneau de $(\mathbb R,+,\times)$ , puis que $(K,+,\times)$ est un corps.

Structures algébriques · Mathématiques, 2ème Bac Sciences Mathématiques, semestre 2.