Fonctions primitives et calcul intégral · Cours et exercices | 2ème Bac Sciences Mathématiques

01 · Remonter d'une dérivée à une fonction

Fonctions primitives d'une fonction

Chercher une primitive, c'est inverser la dérivation : une opération essentielle qui ne s'effectue, contrairement à la dérivée, que grâce à un tableau et quelques savoir-faire.

I

Définition et existence

Définition

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

. On dit que

F

est une fonction primitive de

f

sur

I

si

F

est dérivable sur

I

et si

(\forall x\in I)\big(F'(x)=f(x)\big)

.

Propriétés fondamentales

Toute fonction continue sur $I$ admet une primitive sur $I$ .
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $F+\lambda$ ( $\lambda\in\mathbb R$ ) — deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.
Si $x_0\in I$ et $y_0\in\mathbb R$ , il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$ .
Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$ sur $I$ , et $\alpha\in\mathbb R$ , alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ , et $\alpha F$ est une primitive de $\alpha f$ sur $I$ .

II

Tableau des primitives usuelles

Fonctions de référence

$x\mapsto x^n\ (n\in\mathbb N)$ a pour primitive $x\mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ .

$x\mapsto \dfrac1{x^2}$ (sur $\mathbb R^*$ ) a pour primitive $x\mapsto -\dfrac1x$ .

$x\mapsto \dfrac1{\sqrt x}$ (sur $\mathbb R_+^*$ ) a pour primitive $x\mapsto 2\sqrt x$ .

$x\mapsto \dfrac1x$ (sur $\mathbb R_+^*$ ou $\mathbb R_-^*$ ) a pour primitive $x\mapsto \ln|x|$ .

$e^x$ , $\cos x$ , $\sin x$ et $1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}$ ont pour primitives respectivement $e^x$ , $\sin x$ , $-\cos x$ et $\tan x$ .

$\dfrac1{1+x^2}$ a pour primitive $\arctan x$ .

Généralisation avec une fonction dérivable u (grâce à la dérivée composée)

$u'u^n$ ( $n\in\mathbb N$ ) $\;\rightsquigarrow\;$ $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$

$\dfrac{u'}{u}$ ( $u$ ne s'annule pas) $\;\rightsquigarrow\;$ $\ln|u|$

$\dfrac{u'}{\sqrt u}$ ( $u>0$ ) $\;\rightsquigarrow\;$ $2\sqrt u$

$u'e^u$ $\;\rightsquigarrow\;$ $e^u$ ; $u'\cos u$ $\;\rightsquigarrow\;$ $\sin u$ ; $u'\sin u$ $\;\rightsquigarrow\;$ $-\cos u$

$\dfrac{u'}{1+u^2}$ $\;\rightsquigarrow\;$ $\arctan u$

Formules de linéarisation utiles

\cos^2a=\dfrac{1+\cos2a}{2}

et

\sin^2a=\dfrac{1-\cos2a}{2}

permettent de trouver des primitives de

\cos^2

et

\sin^2

.

02 · De la primitive au nombre

Définition et propriétés de l'intégrale

À partir d'une primitive, on définit un nombre : l'intégrale, qui hérite d'une longue liste de propriétés de calcul.

III

Définition

Soit

f

continue sur un intervalle

I

,

a,b\in I

et

F

une primitive de

f

sur

I

. Le nombre

F(b)-F(a)

s'appelle l'intégrale de

f

entre

a

et

b

, noté :

\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b)-F(a)

$a$ est la borne inférieure, $b$ la borne supérieure ; $x$ est une variable muette (on peut la renommer).

IV

Propriétés de l'intégrale

Linéarité et relation de Chasles

$\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx=0$ ; $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx$
$\displaystyle\int_a^b\big(f(x)+g(x)\big)dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx$ ; $\displaystyle\int_a^b\alpha f(x)\,dx=\alpha\int_a^b f(x)\,dx$
Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$

Intégrale et ordre (a ≤ b)

Si $f\ge0$ sur $[a,b]$ , alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\ge0$ .
Si $f\le g$ sur $[a,b]$ , alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx$ .
$\displaystyle\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|\le\int_a^b |f(x)|\,dx$ .

Valeur moyenne et théorème de la moyenne

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ ( $a<b$ ), le nombre $\mu=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ s'appelle la valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ . De plus, il existe (au moins) un $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=\mu$ .

03 · Deux méthodes incontournables

Techniques de calcul d'une intégrale

Quand le tableau de primitives ne suffit plus : intégration par parties et changement de variable.

V

Intégration par parties

Propriété

Soient

u

et

v

deux fonctions dérivables sur

I

, de dérivées

u'

et

v'

continues sur

I

, et

a,b\in I

.

\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=\Big[u(x)v(x)\Big]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx

Exemple

$\displaystyle\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx$ avec $u(x)=x$ et $v'(x)=\sin x$ (donc $u'(x)=1$ et $v(x)=-\cos x$ ) :

\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx=\Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=0+\Big[\sin x\Big]_0^{\pi/2}=1

VI

Changement de variable

Propriété

Soit

g

dérivable sur

[a,b]

avec

g'

continue, et

f

continue sur

g([a,b])

. Alors :

\int_a^b (f\circ g)(t)\,g'(t)\,dt=\int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx

04 · L'intégrale, outil de mesure

Calcul d'aires, de volumes et fonction définie par une intégrale

L'intégrale mesure des aires sous une courbe, engendre des volumes de révolution, et permet même de définir de nouvelles fonctions.

VII

Aires et volumes

Aire sous une courbe

Si

f

est continue et positive sur

[a,b]

, l'aire du domaine limité par

\mathcal C_f

, l'axe des abscisses et les droites

x=a

,

x=b

vaut, en unités d'aire :

\mathcal A=\int_a^b f(x)\,dx\ \text{(u.a.)}

Aire entre deux courbes

L'aire du domaine compris entre $\mathcal C_f$ , $\mathcal C_g$ et les droites $x=a$ , $x=b$ vaut :

\mathcal A=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx

Si le signe de $f-g$ change en un point $c\in[a,b]$ , on découpe avec Chasles : $\displaystyle\mathcal A=\int_a^c|f-g|+\int_c^b|f-g|$ .

Volume d'un solide de révolution

Si

f

est continue sur

[a,b]

, la rotation de

\mathcal C_f

autour de l'axe des abscisses engendre un solide de volume :

V=\pi\int_a^b \big(f(x)\big)^2\,dx\ \text{(u.v.)}

VIII

Fonction définie par une intégrale

Propriété

Soit

f

continue sur

I

et

a\in I

. La fonction

F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt

est l'unique primitive de

f

sur

I

qui s'annule en

a

: elle est dérivable sur

I

et

F'(x)=f(x)

.

Cas général : bornes variables

Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ à valeurs dans un intervalle où $f$ est continue, alors $H(x)=\displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt$ est dérivable sur $I$ et :

H'(x)=v'(x)\,f\big(v(x)\big)-u'(x)\,f\big(u(x)\big)

05 · À toi de jouer

Exercices · Fonctions primitives et calcul intégral

13 exercices corrigés, niveau Sciences Mathématiques, mêlant recherche de primitives et calcul intégral : IPP, changement de variable, aires, volumes, valeur moyenne.

0 / 13 vérifiés

1

Exercice 1 · Primitive de la forme u'uⁿ

1 calcul

Déterminer une primitive sur $\mathbb R$ de $f(x)=(3x^2+2x)(x^3+x^2+1)^4$ .

2

Exercice 2 · Intégration par parties

1 calcul

Calculer $I=\displaystyle\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx$ .

3

Exercice 3 · Primitive de la forme u'/u

1 calcul

Déterminer une primitive sur $\mathbb R$ de $f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x+3}$ .

4

Exercice 4 · Intégration par parties (logarithme)

1 calcul

Calculer $I=\displaystyle\int_1^{e} \ln x\,dx$ .

5

Exercice 5 · Primitive de la forme u'eᵘ

1 calcul

Déterminer une primitive sur $\mathbb R$ de $f(x)=xe^{x^2}$ .

6

Exercice 6 · Aire entre une droite et une parabole

1 calcul

Calculer l'aire du domaine plan compris entre les courbes de $f(x)=x$ et $g(x)=x^2$ sur $[0,1]$ .

7

Exercice 7 · Primitive trigonométrique de la forme u'uⁿ

1 calcul

Déterminer une primitive sur $\mathbb R$ de $f(x)=\cos x\sin^3x$ .

8

Exercice 8 · Volume d'un solide de révolution

1 calcul

On considère la fonction $f(x)=\sqrt x$ sur $[0,4]$ . Calculer le volume $V$ du solide engendré par la rotation de $\mathcal C_f$ autour de l'axe des abscisses.

9

Exercice 9 · Primitive de la forme u'/√u

1 calcul

Déterminer une primitive sur $\left]-\dfrac12,+\infty\right[$ de $f(x)=\dfrac1{\sqrt{2x+1}}$ .

10

Exercice 10 · Fonction définie par une intégrale

1 étude

Soit $F(x)=\displaystyle\int_1^{x^2} \dfrac{dt}{t}$ pour $x>0$ . Calculer $F(x)$ puis $F'(x)$ de deux façons.

11

Exercice 11 · Primitive de type arctangente

1 calcul

Déterminer une primitive sur $\mathbb R$ de $f(x)=\dfrac2{1+4x^2}$ .

12

Exercice 12 · Valeur moyenne et théorème de la moyenne

1 étude

Calculer la valeur moyenne $\mu$ de $f(x)=x^2$ sur $[1,3]$ , puis déterminer $c\in[1,3]$ tel que $f(c)=\mu$ .

13

Exercice 13 · Changement de variable

1 calcul

Calculer $I=\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\,dx$ à l'aide du changement de variable $t=1-x^2$ .