2ème Bac Sciences Math · Semestre 1

Limites et Continuité

Le socle de toute l'analyse en 2ème Bac : limites, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, fonction réciproque et racines n-ièmes. Cours rigoureux, puis 11 exercices corrigés en détail.

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01 · Rappels et compléments

Limites : rappels, opérations, comparaison

Les outils de calcul de limites déjà rencontrés en 1ère Bac, complétés par le théorème de la limite monotone.

Limites usuelles et opérations sur les limites

Soit $f$ une fonction et $x_0\in\mathbb R$ (ou $x_0=\pm\infty$ ). On admet les limites usuelles :

\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty \quad ; \quad \lim_{x\to-\infty}x^n=\begin{cases}+\infty & \text{si } n \text{ pair}\\ -\infty & \text{si } n \text{ impair}\end{cases} \quad ; \quad \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac1{x^n}=0

Méthode — limites en ±∞ des fonctions polynômes et rationnelles

À l'infini, une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degrédu numérateur et du dénominateur.

Exemple résolu

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(3x^3-5x^2+1\right)=\lim_{x\to-\infty}3x^3=-\infty$ .

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2-x}{x^2+3}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2}{x^2}=2$ .

Formes indéterminées

Quatre formes ne se calculent pas directement et exigent de transformer l'écriture (factorisation, quantité conjuguée, mise en évidence du terme dominant) :

\dfrac00

\dfrac{\infty}{\infty}

\infty-\infty

0\times\infty

Limite d'une fonction composée

Théorème

Soit

a,b,c

des éléments de

\overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}

. Si

\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b

\displaystyle\lim_{y\to b}g(y)=c

, alors :

\lim_{x\to a}\,(g\circ f)(x)=c

on dit qu'on a effectué le changement de variable y = f(x)

Exemple résolu

Calculons $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\dfrac{2x+1}{x+3}}$ . On pose $u(x)=\dfrac{2x+1}{x+3}$ : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}u(x)=2$ , et $\displaystyle\lim_{y\to2}\sqrt y=\sqrt2$ (continuité de la racine carrée en 2). Donc, par composition :

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\dfrac{2x+1}{x+3}}=\sqrt2$ .

III

Limites et ordre, théorème des gendarmes

Théorèmes de comparaison

Soient

f,g,h

définies au voisinage de

a\in\overline{\mathbb R}

(éventuellement sauf en

a

Si $f(x)\le g(x)$ au voisinage de $a$ et $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ , alors $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=+\infty$ .
Si $f(x)\le g(x)$ au voisinage de $a$ , $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ et $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\ell'$ , alors $\ell\le\ell'$ .
Théorème des gendarmes : si $h(x)\le f(x)\le g(x)$ au voisinage de $a$ et si $h$ et $g$ ont la même limite finie $\ell$ en $a$ , alors $f$ admet une limite en $a$ et $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ .

Exemple résolu — théorème des gendarmes

Calculons $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}$ . Pour tout $x>0$ : $-1\le\sin x\le1$ , donc en divisant par $x>0$ :

-\dfrac1x\le\dfrac{\sin x}{x}\le\dfrac1x

Or $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(-\dfrac1x\right)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$ .

Par le théorème des gendarmes, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$ .

Théorème de la limite monotone

Théorème (admis)

Si $f$ est croissante et majorée sur $[a,b[$ (avec $b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$ ), alors $f$ admet une limite finie en $b$ .
Si $f$ est croissante et non majorée sur $[a,b[$ , alors $\displaystyle\lim_{x\to b}f(x)=+\infty$ .
Énoncés analogues pour une fonction décroissante et minorée (limite finie), ou décroissante et non minorée (limite $-\infty$ ).

Ce théorème est très utile lorsqu'on ne sait pas calculer directement une limite, mais qu'on peut établir la monotonie et le caractère borné de la fonction : il garantit alors l'existence de la limite, sans en donner nécessairement la valeur.

02 · Le cœur du chapitre

Continuité en un point, sur un intervalle, valeurs intermédiaires

Définitions rigoureuses, opérations, et le théorème central de ce chapitre : le théorème des valeurs intermédiaires.

Continuité en un point

Définition

Soit

f

définie sur un intervalle ouvert

I

contenant

x_0

. On dit que

f

est continue en $x_0$ si :

\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

Continuité à droite / à gauche

$f$ est continue à droite en $x_0$ ssi $\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$ .
$f$ est continue à gauche en $x_0$ ssi $\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$ .

Propriété

f

est continue en

x_0

si, et seulement si,

f

est continue à droite et à gauche en

x_0

f \text{ continue en } x_0 \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)

Exemple résolu — raccordement d'une fonction définie par morceaux

Soit $f$ définie par $f(x)=x^2+1$ si $x\le1$ et $f(x)=ax+b$ si $x>1$ . Déterminons $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue en $1$ .

$\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=1^2+1=2=f(1)$ : $f$ est toujours continue à gauche en 1. Il faut donc $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=2$ , c'est-à-dire $a+b=2$ .

$f$ est continue en 1 si et seulement si $a+b=2$ (une infinité de couples $(a,b)$ conviennent).

Continuité sur un intervalle, opérations

Définitions

$f$ est continue sur l'intervalle ouvert $]a,b[$ ssi $f$ est continue en tout point de $]a,b[$ .
$f$ est continue sur $[a,b]$ ssi $f$ est continue sur $]a,b[$ , continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$ .

Propriété — opérations

f

g

sont continues sur

I

, et

\lambda\in\mathbb R

, alors

f+g

\lambda f

fg

sont continues sur

I

, et

\dfrac{f}{g}

est continue en tout point de

I

où

g

ne s'annule pas.

Propriété — fonctions usuelles

Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb R$ .
Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
Les fonctions $x\mapsto\sin x$ , $x\mapsto\cos x$ sont continues sur $\mathbb R$ .
La fonction $x\mapsto\sqrt x$ est continue sur $[0,+\infty[$ , et $x\mapsto\tan x$ est continue sur son domaine de définition.
Si $g$ est continue sur $I$ et $f$ continue sur $g(I)$ , alors $f\circ g$ est continue sur $I$ .

VII

Image d'un intervalle par une fonction continue

Propriété (admise)

f

est continue sur un segment

[a,b]

, alors

f\big([a,b]\big)

est un segment

[m,M]

, où

m

M

sont respectivement le minimum et le maximum de

f

sur

[a,b]

. Plus généralement, l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Propriété — cas où f est de plus strictement monotone

f

est continue et strictement croissante sur

[a,b]

, alors

f\big([a,b]\big)=\big[f(a),f(b)\big]

. Si

f

est continue et strictement décroissante, alors

f\big([a,b]\big)=\big[f(b),f(a)\big]

. Des règles analogues, avec crochets ouverts et limites aux bornes, s'appliquent à des intervalles

]a,b[

[a,b[

]-\infty,b]

, etc.

VIII

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème (admis)

Soit

f

continue sur

[a,b]

. Pour tout réel

k

compris entre

f(a)

f(b)

, il existe au moins un

c\in[a,b]

tel que

f(c)=k

Corollaires (les plus utilisés)

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)\cdot f(b)<0$ , alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]a,b[$ .
Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$ , cette solution est unique.

Exemple résolu

Soit $f(x)=x^3+x-3$ . $f$ est continue sur $\mathbb R$ (fonction polynôme), et sa dérivée $f'(x)=3x^2+1>0$ montre qu'elle est strictement croissante sur $\mathbb R$ . De plus $f(1)=-1<0$ et $f(2)=7>0$ , donc $f(1)\cdot f(2)<0$ .

L'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in\,]1,2[$ .

03 · Bijections et racines

Fonction réciproque, racine n-ième, puissance rationnelle

Le théorème de la bijection continue, ses conséquences graphiques, et la construction des racines n-ièmes.

Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone

Théorème (admis)

f

est continue et strictement monotone sur un intervalle

I

, alors

f

réalise une bijection de

I

sur

J=f(I)

. Elle admet donc une fonction réciproque

f^{-1}:J\to I

, caractérisée par :

\forall x\in I,\ \forall y\in J:\quad y=f(x) \iff x=f^{-1}(y)

Propriétés de f⁻¹

$f^{-1}$ est continue sur $J$ et varie dans le même sens que $f$ .
Les courbes $(C_f)$ et $(C_{f^{-1}})$ sont symétriques par rapport à la droite $\Delta:\ y=x$ (première bissectrice du repère).
Pour tout $x\in I$ , $f^{-1}\big(f(x)\big)=x$ , et pour tout $y\in J$ , $f\big(f^{-1}(y)\big)=y$ .

Exemple résolu — déterminer f⁻¹ explicitement

Soit $f(x)=x^2$ définie sur $I=[0,3]$ . La fonction $x\mapsto x^2$ est continue et strictement croissante sur $[0,+\infty[$ , donc sa restriction à $I$ est continue et strictement croissante : $f$ réalise donc une bijection de $I$ sur $J=f(I)=\big[f(0),f(3)\big]=[0,9]$ .

Pour $y\in[0,9]$ , on résout $x^2=y$ avec $x\in[0,3]$ : comme $x\ge0$ , la seule solution est $x=\sqrt y$ .

$f^{-1}:[0,9]\to[0,3]$ , $f^{-1}(x)=\sqrt x$ .

La fonction racine n-ième

Définition et théorème

Soit

n\in\mathbb N^*

. La fonction

x\mapsto x^n

est continue et strictement croissante sur

[0,+\infty[

, à valeurs dans

[0,+\infty[

. Elle admet donc une fonction réciproque, appelée racine n-ième, notée :

\sqrt[n]{\,\cdot\,}:[0,+\infty[\;\to\;[0,+\infty[\,,\qquad x\mapsto \sqrt[n]{x}=x^{\frac1n}

Pour $n=2$ on retrouve la racine carrée, pour $n=3$ la racine cubique.

Propriétés (a, b ≥ 0, n, m ∈ ℕ*)

\sqrt[n]{a}\ge0

\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a

\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{b}\iff a=b

\sqrt[n]{a}\le\sqrt[n]{b}\iff a\le b

\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}

\sqrt[n]{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}\ (b\neq0)

\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]a\right)^m

\sqrt[n]{\sqrt[m]a}=\sqrt[nm]{a}

Exemple résolu — limite avec une racine n-ième

Calculons $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{\dfrac{8x^3+1}{x^3}}$ . On a $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{8x^3+1}{x^3}=8$ , et par continuité de $\sqrt[3]{\cdot}$ en 8 :

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{\dfrac{8x^3+1}{x^3}}=\sqrt[3]8=2$ .

Puissance rationnelle d'un réel positif

Définition

Soit

x>0

r=\dfrac mn\in\mathbb Q

avec

n\in\mathbb N^*

m\in\mathbb Z

. On pose :

x^{r}=x^{\frac mn}=\sqrt[n]{x^{m}}=\left(\sqrt[n]{x}\right)^{m}

Propriété — les règles de calcul restent valables

Pour

a,b>0

r,r'\in\mathbb Q

a^{r}\times a^{r'}=a^{r+r'}

\dfrac{a^r}{a^{r'}}=a^{r-r'}

\left(a^r\right)^{r'}=a^{rr'}

(ab)^r=a^rb^r

\left(\dfrac ab\right)^r=\dfrac{a^r}{b^r}

a^{-r}=\dfrac1{a^r}

Exemple résolu — simplifier une écriture

Simplifions $A=\dfrac{2^{\frac53}\times2^{-\frac23}}{2^{\frac12}}$ .

A=\dfrac{2^{\frac53-\frac23}}{2^{\frac12}}=\dfrac{2^{1}}{2^{\frac12}}=2^{1-\frac12}=2^{\frac12}=\sqrt2

À toi de jouer

Série d'exercices · Limites et Continuité

11 exercices corrigés en détail, niveau Sciences Mathématiques. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 11 vérifiés

Calculs de limites — formes indéterminées classiques

Calculer les limites suivantes :

$\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$

Théorème des gendarmes

Soit $f(x)=x^2\cos\left(\dfrac1x\right)$ pour $x\neq0$ .

Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=0$ .

Limite d'une fonction composée

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to1}\sqrt{\dfrac{3x-1}{x+1}}$ en effectuant un changement de variable.

Étude de continuité avec un paramètre

Soit f la fonction définie par :

f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1} & \text{si } x<1\\[4pt] m & \text{si } x=1\\[2pt] \sqrt{x}+x & \text{si } x>1\end{cases}

Déterminer $m$ pour que $f$ soit continue en $1$ .

Prolongement par continuité

Soit $g(x)=\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ définie sur $]-4,0[\,\cup\,]0,+\infty[$ .

Montrer que $g$ admet un prolongement par continuité en $0$ , et le préciser.

TVI — existence et unicité d'une solution

Soit $f(x)=x^3+3x-5$ .

Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb R$ .
Vérifier que $\alpha\in\,]1,2[$ , puis que $\alpha\in\,]1,1.2[$ .

Théorème du point fixe (TVI appliqué à g(x) = f(x) − x)

Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction continue.

Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet au moins une solution dans $[0,1]$ .

Bijection et détermination explicite de la réciproque

Soit $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$ définie sur $I=[0,+\infty[$ .

Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à préciser.
Déterminer $f^{-1}(x)$ pour $x\in J$ .

Racines n-ièmes et puissances rationnelles

Simplifier les expressions suivantes :

$A=\sqrt[3]{16}\times\sqrt[3]{4}$
$B=\dfrac{5^{\frac23}\times5^{\frac13}}{5^{-1}}$
$C=\sqrt{2\sqrt2}$ (écrire C sous la forme $2^{r}$ )

Limites faisant intervenir une racine n-ième

Calculer les limites suivantes :

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{\dfrac{27x^3-x+1}{x^3+2}}$
$\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$ (poser $t=\sqrt[3]x$ )

Problème de synthèse — continuité, TVI et bijection

Soit $f$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$ .

Montrer que $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$ pour tout $x\ge0$ , et en déduire le sens de variation de $f$ sur $[0,+\infty[$ .
Calculer $f(0)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ . En déduire que $f$ réalise une bijection de $[0,+\infty[$ sur un intervalle $J$ à préciser.
Montrer que l'équation $f(x)=\dfrac12$ admet une unique solution $\alpha$ , et calculer $\alpha$ explicitement.

Limites et Continuité · Mathématiques, 2ème Bac Sciences Mathématiques, semestre 1.