La fonction Exponentielle · Cours et exercices | 2ème Bac Sciences Mathématiques

01 · La réciproque de ln

Définition de la fonction exponentielle

ln réalise une bijection de ]0,+∞[ vers ℝ. Sa fonction réciproque est la fonction exponentielle.

I

Définition et propriétés immédiates

Propriété et définition

La fonction

\ln

est continue et strictement croissante sur

]0,+\infty[

, et

\ln(]0,+\infty[)=\mathbb R

. D'après le théorème de la bijection,

\ln

réalise une bijection de

]0,+\infty[

vers

\mathbb R

. Sa fonction réciproque, définie de

\mathbb R

vers

]0,+\infty[

, s'appelle la fonction exponentielle népérienne, notée

\exp

.

Propriétés immédiates

$(\forall x\in\mathbb R)\big(\ln(\exp(x))=x\big)$ et $(\forall x>0)\big(\exp(\ln(x))=x\big)$ .
$(\forall x\in\mathbb R)(\forall y>0)\big(\ln(y)=x \iff y=\exp(x)\big)$ .
$\exp(0)=1$ (car $\ln(1)=0$ ) et $\exp(1)=e$ (car $\ln(e)=1$ ).

Propriété (monotonie)

La fonction

\exp

est continue et strictement croissante sur

\mathbb R

, et

(\forall x\in\mathbb R)(\exp(x)>0)

.

Conséquences

$(\forall x\in\mathbb R)(\forall y\in\mathbb R)\big(\exp(x)=\exp(y)\iff x=y\big)$ .
$(\forall x\in\mathbb R)(\forall y\in\mathbb R)\big(\exp(x)\leqslant\exp(y)\iff x\leqslant y\big)$ .

02 · Une notation naturelle

L'écriture eˣ et les propriétés algébriques

exp(1)=e permet de retrouver toutes les puissances de e, puis d'étendre la notation eˣ à tout réel x.

II

De exp(r) à eˣ

Propriété

(\forall x\in\mathbb R)(\forall r\in\mathbb Q)\big(\exp(rx)=(\exp(x))^r\big)

.

Démonstration

\ln\big((\exp(x))^r\big)=r\ln(\exp(x))=rx=\ln(\exp(rx))

. Comme

\ln

est injective, on obtient

(\exp(x))^r=\exp(rx)

.

Notation

En particulier, pour

r\in\mathbb Q

,

\exp(r)=(\exp(1))^r=e^r

. On généralise cette écriture à tout réel : pour tout

x\in\mathbb R

, on note

\exp(x)=e^x

.

Propriétés algébriques (à connaître par cœur)

$e^{x+y}=e^x\times e^y$ ; $e^{-x}=\dfrac1{e^x}$ ; $e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$ .
$(e^x)^r=e^{rx}$ ( $r\in\mathbb Q$ , généralisé à $r\in\mathbb R$ ).
$(\forall x>0)\big(e^{\ln x}=x\big)$ et $(\forall x\in\mathbb R)\big(\ln(e^x)=x\big)$ .
$e^x=e^y\iff x=y$ ; $e^x\leqslant e^y\iff x\leqslant y$ .

03 · Une fonction égale à sa dérivée

Dérivée de exp, limites de référence et croissances comparées

La propriété exp'=exp est la signature de cette fonction. Elle domine toutes les puissances de x à l'infini.

III

Dérivée de la fonction exponentielle

Propriété

La fonction

\exp

est dérivable sur

\mathbb R

et

(\forall x\in\mathbb R)\big(\exp'(x)=\exp(x)\big)

, c'est-à-dire

(e^x)'=e^x

.

Démonstration

\exp=\ln^{-1}

et

\ln

est dérivable sur

]0,+\infty[

avec

\ln'(x)=\dfrac1x\neq0

. Donc

\exp

est dérivable sur

\ln(]0,+\infty[)=\mathbb R

et, pour tout

x\in\mathbb R

:

\exp'(x)=\dfrac{1}{\ln'(\exp(x))}=\dfrac{1}{\frac{1}{\exp(x)}}=\exp(x)

Corollaire

Si

u

est dérivable sur un intervalle

I

, alors

e^{u}

est dérivable sur

I

et

\big(e^{u}\big)'=u'\,e^{u}

.

IV

Limites de référence et croissances comparées

Limites usuelles à connaître par cœur

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ .
$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$ (nombre dérivé de $\exp$ en $0$ ).
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$ , et plus généralement pour $n\in\mathbb N^*$ , $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$ .
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0$ , et plus généralement pour $n\in\mathbb N^*$ , $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^n e^x=0$ (croissances comparées).

Courbe et tangente

Les courbes

(C_{\ln})

et

(C_{\exp})

sont symétriques par rapport à la droite

(\Delta):y=x

(car

\exp=\ln^{-1}

). La tangente à

(C_{\exp})

au point d'abscisse

0

a pour équation

y=x+1

(car

\exp(0)=1

et

\exp'(0)=1

).

04 · Généraliser à d'autres bases

Exponentielle de base a et puissances réelles

On construit, comme pour ln, une exponentielle adaptée à chaque base a, ce qui donne un sens à aˣ pour tout réel x.

V

Exponentielle de base a

Propriété et définition

Soit

a>0

,

a\neq1

. La fonction

\log_a

est continue et strictement monotone sur

]0,+\infty[

, donc elle réalise une bijection de

]0,+\infty[

vers

\mathbb R

. Sa fonction réciproque, de

\mathbb R

vers

]0,+\infty[

, s'appelle l'exponentielle de base a, notée

\exp_a

.

Propriété

(\forall x\in\mathbb R)\big(\exp_a(x)=e^{x\ln a}\big)

.

Démonstration

Posons

y=\exp_a(x)

, donc

y>0

et

x=\log_a(y)=\dfrac{\ln(y)}{\ln(a)}

. D'où

\ln(y)=x\ln(a)

, donc

y=e^{x\ln a}

.

Dérivée et monotonie

$\exp_a$ est dérivable sur $\mathbb R$ et $\exp_a'(x)=\ln(a)\,e^{x\ln a}=\ln(a)\exp_a(x)$ .

Si $a>1$ , $\ln(a)>0$ donc $\exp_a$ est strictement croissante ; si $0<a<1$ , $\ln(a)<0$ donc $\exp_a$ est strictement décroissante.

VI

Les puissances réelles

Définition

Soit

a>0

. Pour tout réel

x

, on pose

a^x=e^{x\ln a}

si

a\neq1

, et

1^x=1

. Cette écriture prolonge à

\mathbb R

les puissances rationnelles déjà connues.

Propriétés

$a^{x+y}=a^x\times a^y$ ; $(a^x)^y=a^{xy}$ ; $(ab)^x=a^x b^x$ ( $a,b>0$ ).
$\ln(a^x)=x\ln(a)$ .

05 · À toi de jouer

Exercices · La fonction Exponentielle

12 exercices corrigés, au niveau Sciences Mathématiques : identités algébriques, équations, inéquations, limites, dérivées, exponentielles de base a et étude complète de fonction.

0 / 12 vérifiés

1

Exercice 1 · Identité algébrique

1 démonstration

Montrer que pour tout $x\in\mathbb R$ : $\dfrac{e^{2x}-e^x}{e^x+1}=\dfrac{e^x-1}{1+e^{-x}}$ .

2

Exercice 2 · Résoudre une équation

1 équation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $2e^{2x}-3e^x-2=0$ .

3

Exercice 3 · Résoudre une inéquation

1 inéquation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation $e^{2x-1}\leqslant e^{3-x}$ .

4

Exercice 4 · Équation mêlant ln et exponentielle

1 équation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $\ln(e^x-3)=1$ .

5

Exercice 5 · Limites et croissances comparées

4 limites

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$ , $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2e^x$ , $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-1}{x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)$ .

6

Exercice 6 · Dérivées de fonctions composées

2 dérivées

Calculer la dérivée de $f(x)=e^{-x^2}$ et de $g(x)=xe^{2x}$ sur $\mathbb R$ .

7

Exercice 7 · Étude d'une fonction

1 étude

Soit $f(x)=(x-1)e^x$ sur $\mathbb R$ . Étudier les variations de $f$ et déterminer son minimum.

8

Exercice 8 · Tangente à la courbe de exp

1 étude

Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $\exp$ au point d'abscisse $1$ .

9

Exercice 9 · Équation entre bases différentes

1 équation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $2^x=3^{x-1}$ .

10

Exercice 10 · Puissances réelles

1 calcul

Simplifier $\left(3^{\sqrt2}\right)^{\sqrt2}$ .

11

Exercice 11 · Inéquation avec base 0<a<1

1 inéquation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation $\left(\dfrac12\right)^x<8$ .

12

Exercice 12 · Étude complète de fonction (niveau bac)

1 étude complète

Soit $f(x)=x^2e^{-x}$ définie sur $\mathbb R$ , de courbe $(C_f)$ . 1) Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ , et interpréter graphiquement. 2) Montrer que $f'(x)=x(2-x)e^{-x}$ , puis dresser le tableau de variation de $f$ . 3) Donner les valeurs des extremums de $f$ .