2ème Bac Sciences Math · Semestre 2

Probabilités

Dénombrement, probabilité conditionnelle, indépendance, variables aléatoires et loi binomiale : le cours complet, puis 11 exercices corrigés en détail.

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exercices corrigés

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01 · Avant de compter les chances

Rappels de dénombrement

Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité suppose de savoir compter les cas favorables et les cas possibles.

Permutations, arrangements, combinaisons

Principe multiplicatif

Si une expérience se déroule en $k$ étapes successives offrant respectivement $n_1,n_2,\dots,n_k$ possibilités, alors le nombre total d'issues est $n_1\times n_2\times\cdots\times n_k$ .

Permutations

Nombre de façons d'ordonner $n$ objets distincts :

n! = n\times(n-1)\times\cdots\times 1

Arrangements

Nombre de façons de choisir et d'ordonner $p$ objets parmi $n$ (sans répétition) :

A_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)!}

Combinaisons

Nombre de façons de choisir $p$ objets parmi $n$ , sans tenir compte de l'ordre :

C_n^p = \dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}

Quand utiliser quoi ?

Tirage successif avec remise (ou avec ordre, répétitions possibles) : principe multiplicatif, $n^p$ si $p$ tirages parmi $n$ possibilités. Tirage successif sans remise (avec ordre) : arrangements $A_n^p$ . Tirage simultané (sans ordre) : combinaisons $C_n^p$ .

Exemple — une urne de 12 boules

Une urne contient 12 boules (5 rouges, 4 blanches, 3 bleues). On tire 3 boules simultanément. Le nombre de tirages possibles est $C_{12}^3=\dfrac{12!}{3!\,9!}=220$ . Le nombre de tirages amenant 3 boules rouges est $C_5^3=10$ .

02 · Le cadre théorique

Vocabulaire des probabilités et axiomes

Toute expérience aléatoire est modélisée par un univers, des événements, et une probabilité qui pèse chaque événement.

Univers et événements

Une expérience est aléatoire si on ne peut pas prévoir son résultat avec certitude. On associe à cette expérience l'ensemble $\Omega$ de tous les résultats possibles, appelé univers, dont les éléments sont les éventualités. On note $\text{Card}(\Omega)$ le nombre d'éléments de $\Omega$ .

Un événement est une partie de $\Omega$ . Un événement réduit à une seule éventualité est dit élémentaire. L'événement $\Omega$ est l'événement certain, et $\varnothing$ l'événement impossible.

Opérations sur les événements

Si $A$ et $B$ sont deux événements : $\bar A$ (ou $A^c$ ) est l'événement contraire de $A$ ; $A\cup B$ se réalise si $A$ ou $B$ (ou les deux) se réalise ; $A\cap B$ se réalise si $A$ et $B$ se réalisent tous les deux. $A$ et $B$ sont dits incompatibles si $A\cap B=\varnothing$ .

III

La probabilité d'un événement

Axiomes d'une probabilité

Une probabilité

P

sur

\Omega

associe à chaque événement

A

un nombre

P(A)

tel que :

\begin{gathered} 0\leq P(A)\leq 1,\quad P(\Omega)=1,\quad P(\varnothing)=0 \\ \text{si } A\cap B=\varnothing,\ P(A\cup B)=P(A)+P(B) \end{gathered}

Situation d'équiprobabilité

Si toutes les éventualités de $\Omega$ ont la même probabilité de se réaliser (dé équilibré, boules indiscernables tirées au hasard...), alors pour tout événement $A$ :

P(A) = \dfrac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}

Propriétés à connaître

Pour tous événements $A,B$ de $\Omega$ :

\begin{gathered} P(\bar A) = 1-P(A) \\ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\ P(B\setminus A) = P(B)-P(A\cap B) \end{gathered}

03 · Quand un événement en éclaire un autre

Probabilité conditionnelle et indépendance

Savoir qu'un événement est réalisé modifie en général la probabilité qu'on accorde à un autre : c'est toute l'idée du conditionnement.

Probabilité conditionnelle

Définition

Soit $B$ un événement de probabilité non nulle. La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ , notée $P_B(A)$ (ou $P(A\,|\,B)$ ), est :

P_B(A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

On en déduit la formule des probabilités composées : $P(A\cap B) = P(B)\times P_B(A) = P(A)\times P_A(B)$ (si $P(A)\neq 0$ et $P(B)\neq 0$ ).

Partition de l'univers et probabilités totales

Les événements $A_1,A_2,\dots,A_n$ forment une partition de $\Omega$ s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est $\Omega$ . Si de plus $P(A_i)\neq 0$ pour tout $i$ , alors pour tout événement $B$ :

P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)\times P_{A_i}(B)

loi des probabilités totales

En pratique, on représente souvent la situation par un arbre pondéré : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées sur ses branches, et la somme des probabilités partant d'un même nœud vaut 1.

Événements indépendants

Définition

Deux événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :

\begin{gathered} P_B(A) = P(A) \\ \text{ou}\quad P_A(B) = P(B) \\ \text{ou}\quad P(A\cap B) = P(A)\times P(B) \end{gathered}

Attention à ne pas confondre

Indépendants (

P(A\cap B)=P(A)P(B)

) et incompatibles (

A\cap B=\varnothing

) sont deux notions très différentes : si

P(A),P(B)>0

, deux événements incompatibles ne sont jamais indépendants (sauf cas dégénéré).

Propriété : si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\bar B$ le sont aussi (de même que $\bar A$ et $B$ , et $\bar A$ et $\bar B$ ).

04 · Mesurer le hasard par un nombre

Variables aléatoires et loi binomiale

Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue : on peut alors calculer une moyenne (l'espérance) et une dispersion (la variance).

Loi de probabilité, espérance, variance

Définition

Soit $\Omega=\{\omega_1,\dots,\omega_n\}$ un univers fini muni d'une probabilité $P$ . Une variable aléatoire $X$ est une fonction de $\Omega$ dans $\mathbb R$ . Si $X$ prend les valeurs $x_1,\dots,x_r$ , on pose $p_i = P(X=x_i)$ : c'est la loi de probabilité de $X$ (souvent présentée en tableau, avec $\sum p_i = 1$ ).

\begin{gathered} E(X) = \sum_{i=1}^r x_i\,p_i \\ V(X) = \sum_{i=1}^r x_i^2\,p_i - E(X)^2 \\ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \end{gathered}

espérance, variance et écart-type

L'espérance $E(X)$ représente la valeur moyenne « théorique » prise par $X$ sur un grand nombre de répétitions. La fonction de répartition de $X$ est $F_X(x) = P(X\leq x)$ : c'est une fonction en escalier, croissante de 0 à 1.

VII

Épreuve de Bernoulli et loi binomiale

Épreuve et schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : Succès ( $S$ , de probabilité $p$ ) et Échec ( $E$ , de probabilité $1-p$ ). Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Loi binomiale

Si $X$ compte le nombre de succès obtenus au cours d'un schéma de Bernoulli à $n$ épreuves de paramètre $p$ , on dit que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $\mathcal B(n,p)$ , et :

P(X=k) = C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k},\quad k\in\{0,1,\dots,n\}

\begin{gathered} E(X) = np \\ V(X) = np(1-p) \end{gathered}

espérance et variance d'une loi binomiale

Exemple résolu

On lance 3 fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de « Pile » obtenus : $X\sim\mathcal B\!\left(3;\dfrac12\right)$ .

$P(X=2)=C_3^2\left(\dfrac12\right)^2\left(\dfrac12\right)^1=3\times\dfrac18=\dfrac38$ , et $E(X)=3\times\dfrac12=\dfrac32$ .

À toi de jouer

Exercices · Probabilités

11 exercices corrigés, du dénombrement à la loi binomiale. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier ta réponse.

0 / 11 vérifiés

Tirage simultané dans une urne de 12 boules

Une urne contient 12 boules indiscernables au toucher : 5 rouges, 4 blanches et 3 bleues. On tire simultanément 3 boules de l'urne.
1) Déterminer le nombre de tirages possibles.
2) Calculer la probabilité de $D$ : « obtenir 3 boules de couleurs différentes ».
3) Calculer la probabilité de $M$ : « obtenir 3 boules de la même couleur ».

Tirages successifs avec remise

Une urne contient 3 boules blanches et 4 boules noires. On tire successivement et avec remise deux boules.
Calculer la probabilité de $B$ : « les deux boules sont blanches », de $N$ : « les deux boules sont noires », et de $D$ : « les deux boules sont de couleurs différentes ».

Probabilités totales avec deux urnes

On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$ . $U_1$ contient 2 boules rouges et 3 boules noires ; $U_2$ contient 3 boules rouges et 4 boules noires. On choisit au hasard une urne (avec équiprobabilité) puis on tire une boule dans l'urne choisie. Calculer la probabilité de $R$ : « la boule tirée est rouge ».

Vérifier une indépendance

On écrit les entiers de 1 à 20 sur vingt cartons indiscernables, et on en tire un au hasard. On considère $A$ : « le numéro tiré est impair » et $B$ : « le numéro tiré est un multiple de 5 ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Loi, espérance et variance d'un jeu

Un jeu consiste à faire tourner une roue truquée qui rapporte, en dirhams, $-2$ , $-1$ , $3$ ou $8$ avec les probabilités respectives $\dfrac{4}{10}$ , $\dfrac{2}{10}$ , $\dfrac{3}{10}$ et $\dfrac{1}{10}$ . Soit $X$ le gain algébrique.
1) Vérifier que la loi de $X$ est bien une loi de probabilité.
2) Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat.
3) Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Loi binomiale — pièce biaisée

Une pièce truquée donne « Pile » avec la probabilité $p=\dfrac13$ . On la lance $n=5$ fois de manière indépendante ; soit $X$ le nombre de « Pile » obtenus.
1) Justifier que $X\sim\mathcal B\!\left(5;\dfrac13\right)$ .
2) Calculer $P(X=2)$ .
3) Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

Loi binomiale — tirages avec remise

Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules noires. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, et on répète cette expérience 4 fois. Soit $X$ le nombre de boules blanches obtenues.
1) Donner la loi de $X$ .
2) Calculer $P(X=3)$ , puis $E(X)$ et $V(X)$ .

Tirages successifs sans remise et conditionnement

Une urne contient 25 boules : 15 blanches et 10 noires. On tire au hasard une boule, puis, sans la remettre, une seconde boule.
1) Sachant que la première boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la seconde le soit aussi ?
2) En déduire la probabilité de $E$ : « les deux boules sont blanches ».
3) Calculer la probabilité de $G$ : « les deux boules sont de couleurs différentes ».

Un code à trois chiffres

Un cadenas possède un code à 3 chiffres, chacun choisi entre 1 et 9 (répétitions autorisées).
1) Combien y a-t-il de codes possibles ?
2) Combien de codes se terminent par un chiffre pair ?
3) Combien de codes contiennent au moins une fois le chiffre 4 ?

Fonction de répartition d'une loi binomiale

On lance 3 fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de « Pile » obtenus.
1) Donner la loi de $X$ .
2) Déterminer la fonction de répartition $F_X$ de $X$ .
3) Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

Au moins un six en deux lancers

On lance deux fois de suite un dé cubique équilibré. Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « obtenir au moins un 6 ».

Probabilités · Mathématiques, 2ème Bac Sciences Mathématiques, semestre 2.