Les nombres complexes (Partie 2) · Cours et exercices | 2ème Bac Sciences Mathématiques

01 · Une écriture pour multiplier facilement

La forme exponentielle d'un nombre complexe non nul

En combinant module et argument dans une seule notation, la forme exponentielle transforme les produits de complexes en sommes d'angles.

I

Notation exponentielle

Définition

Pour tout réel

\theta

, on pose

e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

. Si

z\neq0

a pour module

r=|z|

et pour argument

\theta=\arg(z)

, on écrit

z=re^{i\theta}

: c'est la forme exponentielle de

z

.

Règles de calcul (r, r' > 0)

$re^{i\theta}\times r'e^{i\theta'}=rr'e^{i(\theta+\theta')}$
$\dfrac{re^{i\theta}}{r'e^{i\theta'}}=\dfrac{r}{r'}e^{i(\theta-\theta')}$ ; $\dfrac{1}{re^{i\theta}}=\dfrac{1}{r}e^{-i\theta}$
$\left(re^{i\theta}\right)^n=r^ne^{in\theta}$ ( $n\in\mathbb Z$ )
$\overline{re^{i\theta}}=re^{-i\theta}$ ; $-re^{i\theta}=re^{i(\theta+\pi)}$

II

Formules de Moivre et d'Euler

Formule de Moivre

Pour tout réel

\theta

et tout

n\in\mathbb Z

:

(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)

Formule d'Euler

Pour tout réel

\theta

:

\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\qquad\text{et}\qquad \sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}

Factorisation à l'aide de l'exponentielle

Pour tous réels $p$ et $q$ :

$e^{ip}+e^{iq}=2\cos\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)e^{i\frac{p+q}{2}}$ et $e^{ip}-e^{iq}=2i\sin\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)e^{i\frac{p+q}{2}}$

Application : linéariser cos³θ

D'après Euler, $\cos^3\theta=\left(\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^3$ . En développant le cube :

\cos^3\theta=\dfrac{1}{8}\left(e^{3i\theta}+3e^{i\theta}+3e^{-i\theta}+e^{-3i\theta}\right)=\dfrac{1}{8}\big(2\cos3\theta+6\cos\theta\big)

Donc $\cos^3\theta=\dfrac14\cos3\theta+\dfrac34\cos\theta$ . On procède de même pour linéariser $\sin^n\theta$ ou $\cos^n\theta$ quel que soit $n$ .

02 · Toute équation du second degré se résout dans ℂ

Équations du second degré dans ℂ

Racines carrées d'un complexe, discriminant complexe : la méthode du 1ère Bac s'étend sans exception à des coefficients complexes.

III

Racines carrées d'un nombre complexe

Définition

Une racine carrée d'un complexe

\Delta

est un complexe

\delta

tel que

\delta^2=\Delta

.

Propriété

Tout complexe $\Delta\neq0$ admet exactement deux racines carrées, opposées l'une de l'autre. Si $\Delta=re^{i\theta}$ , ces racines sont $\pm\sqrt r\,e^{i\theta/2}$ .

Méthode algébrique

On pose $\delta=x+iy$ ( $x,y\in\mathbb R$ ) et on résout le système obtenu en identifiant $\delta^2=\Delta$ et $|\delta|^2=|\Delta|$ :

\begin{cases}x^2-y^2=\operatorname{Re}(\Delta)\\ x^2+y^2=|\Delta|\\ 2xy=\operatorname{Im}(\Delta)\end{cases}

Les deux premières lignes donnent $x^2$ et $y^2$ ; le signe de $xy$ impose alors de choisir $x$ et $y$ de même signe ou de signes contraires.

IV

Résolution de az² + bz + c = 0

Propriété

Soit

az^2+bz+c=0

(

a,b,c\in\mathbb C

,

a\neq0

), de discriminant

\Delta=b^2-4ac

.

Résolution

Si $\Delta=0$ : une unique solution (racine double) $z=-\dfrac{b}{2a}$ .
Si $\Delta\neq0$ , en notant $\delta$ une racine carrée de $\Delta$ : deux solutions $z_1=\dfrac{-b+\delta}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b-\delta}{2a}$ .
Dans tous les cas : $z_1+z_2=-\dfrac{b}{a}$ et $z_1z_2=\dfrac{c}{a}$ .

Cas particulier : coefficients réels

Si

a,b,c\in\mathbb R

et

\Delta<0

, alors

(E)

admet deux solutions complexes conjuguées :

z=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}

et

\bar z=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}

.

03 · Généraliser la racine carrée

Racines n-ièmes d'un nombre complexe

L'équation zⁿ = a possède toujours exactement n solutions complexes, régulièrement réparties sur un cercle.

V

Racines n-ièmes de l'unité

Définition

Une racine n-ième de l'unité est un complexe

u

tel que

u^n=1

(

n\in\mathbb N^*

).

Propriété

L'équation $u^n=1$ admet exactement $n$ solutions :

u_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}},\qquad k\in\{0,1,\dots,n-1\}

De plus, pour $n\ge2$ , la somme de toutes les racines n-ièmes de l'unité est nulle : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}u_k=0$ .

Exemple : racines cubiques de l'unité

Pour

n=3

:

1

,

j=e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}

et

j^2=e^{i\frac{4\pi}{3}}=\bar j=-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}

, avec

1+j+j^2=0

et

j^3=1

.

VI

Racines n-ièmes d'un complexe non nul

Propriété

Soit

a=re^{i\theta}

un complexe non nul (

r>0

) et

n\in\mathbb N^*

. L'équation

z^n=a

admet exactement

n

solutions :

z_k=\sqrt[n]{r}\;e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}},\qquad k\in\{0,1,\dots,n-1\}

04 · La géométrie racontée par les complexes

Transformations planes et nombres complexes

Translation, homothétie, rotation et similitude directe : chaque transformation usuelle du plan possède une écriture complexe simple.

VII

Translation, homothétie, rotation

Translation

Soit

\vec u

d'affixe

b

. La translation de vecteur

\vec u

transforme

M(z)

en

M'(z')

avec :

z'=z+b

Homothétie

Soit

\Omega(\omega)

et

k\in\mathbb R^*\setminus\{1\}

. L'homothétie de centre

\Omega

et de rapport

k

transforme

M(z)

en

M'(z')

avec :

z'-\omega=k(z-\omega)\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad z'=kz+\omega(1-k)

Rotation

Soit

\Omega(\omega)

et

\theta\in\mathbb R

. La rotation de centre

\Omega

et d'angle

\theta

transforme

M(z)

en

M'(z')

avec :

z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)

VIII

Similitude plane directe : l'écriture z' = az + b

Théorème

Soit

a\in\mathbb C^*\setminus\{1\}

et

b\in\mathbb C

. La transformation qui associe à

M(z)

le point

M'(z')

tel que

z'=az+b

admet un unique point invariant

\Omega(\omega)

avec

\omega=\dfrac{b}{1-a}

, et s'écrit :

z'-\omega=a(z-\omega)

On dit que c'est la similitude plane directe de centre $\Omega(\omega)$ , de rapport $k=|a|$ et d'angle $\theta\equiv\arg(a)\ [2\pi]$ : elle vérifie $\Omega M'=k\,\Omega M$ et $\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big)\equiv\theta\ [2\pi]$ .

Cas particuliers à repérer immédiatement

Si $a=1$ : $z'=z+b$ est une translation (pas de point invariant si $b\neq0$ ).
Si $a\in\mathbb R\setminus\{0,1\}$ : c'est une homothétie de rapport $a$ .
Si $|a|=1$ et $a\neq1$ : c'est une rotation d'angle $\arg(a)$ .
Si $a\notin\mathbb R$ et $|a|\neq1$ : similitude directe « générale » (ni homothétie, ni rotation).

05 · À toi de jouer

Exercices · Les nombres complexes (Partie 2)

12 exercices corrigés, niveau Sciences Mathématiques : forme exponentielle, linéarisation, équations dans ℂ, racines n-ièmes, transformations et similitude directe.

0 / 12 vérifiés

1

Exercice 1 · Forme exponentielle et calculs

3 calculs

Écrire $z_1=1+i\sqrt3$ et $z_2=1-i$ sous forme exponentielle, puis calculer $z_1z_2$ , $\dfrac{z_1}{z_2}$ et $z_1^6$ .

2

Exercice 2 · Linéarisation

1 linéarisation

Linéariser $\cos^4\theta$ à l'aide de la formule d'Euler.

3

Exercice 3 · Équation à coefficients réels

1 équation

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $z^2+2z+5=0$ .

4

Exercice 4 · Équation à coefficients complexes

1 équation

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $z^2-(3+i)z+(2+2i)=0$ .

5

Exercice 5 · Racines carrées d'un complexe

1 calcul

Déterminer les racines carrées du nombre complexe $\Delta=5+12i$ .

6

Exercice 6 · Racines cubiques de l'unité

1 étude

Déterminer les racines cubiques de l'unité, puis calculer $1+j+j^2$ et $j\times j^2$ où $j=e^{i2\pi/3}$ .

7

Exercice 7 · Racines 4-ièmes d'un complexe

1 équation

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $z^4=-16$ .

8

Exercice 8 · Équation du troisième degré

1 équation

On considère $P(z)=z^3-(4+i)z^2+(5+4i)z-5i$ . Vérifier que $z_0=i$ est une solution de $P(z)=0$ , puis résoudre cette équation dans $\mathbb C$ .

9

Exercice 9 · Écriture complexe d'une rotation

1 image

Soit $\Omega(1+i)$ et $A(4+3i)$ . Déterminer l'affixe de l'image $A'$ de $A$ par la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac\pi2$ .

10

Exercice 10 · Écriture complexe d'une homothétie

1 image

Soit $\Omega(2-i)$ et $A(1+i)$ . Déterminer l'affixe de l'image $A'$ de $A$ par l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k=3$ .

11

Exercice 11 · Nature d'une transformation z' = az + b

1 étude

Soit $f$ la transformation qui associe à $M(z)$ le point $M'(z')$ tel que $z'=(1+i\sqrt3)z-2$ . Déterminer la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques.

12

Exercice 12 · Triangle équilatéral direct

1 démonstration

Soit $A(a)$ , $B(b)$ et $C(c)$ trois points d'affixes $a$ , $b$ , $c$ , et $j=e^{i2\pi/3}$ . Montrer que $C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac\pi3$ si et seulement si $aj+bj^2+c=0$ .