2ème Bac Sciences Math · Semestre 2

Espaces vectoriels

Axiomes, sous-espaces, combinaisons linéaires, familles libres et bases : le cours complet d'algèbre linéaire, puis 11 exercices corrigés en détail.

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notions du cours

exercices corrigés

100%

corrigé

01 · Une nouvelle structure

Loi externe et espace vectoriel

Un espace vectoriel combine une addition entre vecteurs et une multiplication par un scalaire, liées par des règles de distributivité.

Loi de composition externe

Définition

Soient $E$ un ensemble non vide et $\mathbb K$ un ensemble de scalaires (ici $\mathbb K=\mathbb R$ ). Une loi de composition externe sur $E$ à coefficients dans $\mathbb K$ est une application :

\begin{gathered} \cdot\, :\ \mathbb K\times E \to E \\ (\lambda,x)\longmapsto \lambda\cdot x \end{gathered}

Exemples

Dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$ , la multiplication d'une matrice par un réel $\lambda$ ; dans $\mathbb R^n$ , la multiplication d'un vecteur par un réel ; dans $\mathbb R_n[X]$ (polynômes de degré $\leq n$ ), la multiplication d'un polynôme par un réel ; dans $\mathcal F(I,\mathbb R)$ , la fonction $\lambda\cdot f$ définie par $(\lambda\cdot f)(x)=\lambda f(x)$ .

Définition d'un espace vectoriel réel

Définition

Soit $E$ un ensemble muni d'une l.c.i. $+$ et d'une loi externe $\cdot$ à coefficients dans $\mathbb R$ . On dit que $(E,+,\cdot)$ est un espace vectoriel réel (ou $\mathbb R$ -espace vectoriel) si :

$(E,+)$ est un groupe commutatif ;
$\forall \lambda,\mu\in\mathbb R,\ \forall x\in E,\ (\lambda+\mu)\cdot x = \lambda\cdot x + \mu\cdot x$ ;
$\forall \lambda,\mu\in\mathbb R,\ \forall x\in E,\ \lambda\cdot(\mu\cdot x) = (\lambda\mu)\cdot x$ ;
$\forall \lambda\in\mathbb R,\ \forall x,y\in E,\ \lambda\cdot(x+y) = \lambda\cdot x+\lambda\cdot y$ ;
$\forall x\in E,\ 1\cdot x = x$ .

Les éléments de $E$ sont appelés vecteurs, ceux de $\mathbb R$ des scalaires. L'élément neutre de $+$ est le vecteur nul, noté $0_E$ ou $\vec 0$ .

Exemples fondamentaux d'espaces vectoriels réels

$(\mathbb R^2,+,\cdot)$ et $(\mathbb R^3,+,\cdot)$ (addition et multiplication externe coordonnée par coordonnée) ; $(\mathcal M_2(\mathbb R),+,\cdot)$ et $(\mathcal M_3(\mathbb R),+,\cdot)$ ; $(\mathbb R_n[X],+,\cdot)$ ; $(\mathcal F(I,\mathbb R),+,\cdot)$ ; $\mathbb C$ lui-même, vu comme $\mathbb R$ -espace vectoriel (addition de complexes, multiplication par un réel).

Théorème — règles de calcul

Soit $(E,+,\cdot)$ un espace vectoriel réel. Pour tous $x,y\in E$ et $\lambda,\mu\in\mathbb R$ :

\begin{gathered} 0\cdot x = 0_E \qquad \lambda\cdot 0_E = 0_E \qquad (-1)\cdot x=-x \\ \lambda\cdot x = 0_E \iff \lambda=0\ \text{ou}\ x=0_E \end{gathered}

Démonstration (extrait). Dans $\mathbb R$ , $0+0=0$ , donc $(0+0)\cdot x = 0\cdot x$ , soit par distributivité $0\cdot x+0\cdot x=0\cdot x=0\cdot x+0_E$ . En simplifiant dans le groupe $(E,+)$ , on obtient $0\cdot x=0_E$ . Pour la réciproque de la dernière égalité : si $\lambda\neq 0$ et $\lambda\cdot x=0_E$ , alors $\lambda^{-1}\cdot(\lambda\cdot x)=\lambda^{-1}\cdot 0_E$ , soit $1\cdot x=0_E$ , donc $x=0_E$ .

Exemple résolu — résoudre une équation vectorielle

Dans l'espace vectoriel $(V_2,+,\cdot)$ , déterminer $\lambda\in\mathbb R$ et $\vec u\in V_2$ tels que $(3\lambda-2)(5-2\lambda)\cdot\vec u = \vec 0$ .

D'après la règle de calcul, cette égalité équivaut à $\vec u=\vec 0$ ou $(3\lambda-2)(5-2\lambda)=0$ , c'est-à-dire $\lambda=\dfrac23$ ou $\lambda=\dfrac52$ .

L'ensemble des solutions est $\left\{\left(\dfrac23,\vec u\right),\left(\dfrac52,\vec u\right),\ \vec u\in V_2\right\}\cup\left\{(\lambda,\vec 0),\ \lambda\in\mathbb R\right\}$ .

02 · Un espace vectoriel dans un autre

Sous-espaces vectoriels

Plutôt que revérifier les 5 axiomes à chaque fois, un critère pratique suffit à reconnaître un sous-espace vectoriel.

III

Définition et caractérisation

Définition

Soient $(E,+,\cdot)$ un espace vectoriel réel et $F\subset E$ . On dit que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si $(F,+,\cdot)$ (pour les lois induites) est lui-même un espace vectoriel réel.

Théorème — caractérisation pratique

$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si :

\begin{gathered} F\neq\varnothing\ (\text{en particulier } 0_E\in F) \\ \forall (x,y)\in F^2,\ \forall(\lambda,\mu)\in\mathbb R^2,\ \lambda\cdot x+\mu\cdot y \in F \end{gathered}

stabilité par combinaison linéaire

Exemples immédiats

$\{0_E\}$ et $E$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ , dits triviaux. $\mathbb R_n[X]$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ .

Exemple résolu — une droite vectorielle de ℝ²

Montrer que $F=\{(x,y)\in\mathbb R^2,\ y=2x\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^2$ .

$F\subset\mathbb R^2$ , et $(0,0)\in F$ (car $0=2\times 0$ ) donc $F\neq\varnothing$ .

Soient $(x,y),(x',y')\in F$ (donc $y=2x$ et $y'=2x'$ ) et $\lambda,\mu\in\mathbb R$ . Alors :

\lambda(x,y)+\mu(x',y') = (\lambda x+\mu x',\ \lambda y+\mu y') = (\lambda x+\mu x',\ 2\lambda x+2\mu x')

La deuxième coordonnée vaut bien $2$ fois la première : le vecteur obtenu est dans $F$ .

Donc $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^2$ (une droite vectorielle).

03 · Fabriquer de nouveaux vecteurs

Combinaisons linéaires, familles libres et liées

Toute la richesse de l'algèbre linéaire tient dans une seule opération : combiner des vecteurs avec des coefficients.

Combinaison linéaire et sous-espace engendré

Définition

Soit $(x_1,\dots,x_n)$ une famille de vecteurs de $E$ . Un vecteur $x$ est une combinaison linéaire de cette famille s'il existe des scalaires $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb R$ tels que :

x = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \cdots + \lambda_n x_n = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i

On dit que la famille $(x_1,\dots,x_n)$ engendre $E$ (ou est génératrice de $E$ ) si tout vecteur de $E$ est combinaison linéaire de $x_1,\dots,x_n$ .

Théorème — sous-espace engendré

L'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs $x_1,\dots,x_n$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , le plus petit (au sens de l'inclusion) contenant ces vecteurs. On le note $\text{Vect}(x_1,\dots,x_n)$ .

Exemple résolu

Dans $(\mathbb R^2,+,\cdot)$ , le vecteur $x_3=(7,2)$ est-il combinaison linéaire de $x_1=(1,2)$ et $x_2=(5,-1)$ ?

On cherche $\alpha,\beta\in\mathbb R$ tels que $\alpha x_1+\beta x_2=x_3$ , soit $\alpha+5\beta=7$ et $2\alpha-\beta=2$ . La 2e équation donne $\beta=2\alpha-2$ , d'où $\alpha+5(2\alpha-2)=7 \iff 11\alpha=17 \iff \alpha=\dfrac{17}{11}$ , puis $\beta=\dfrac{12}{11}$ .

Oui : $x_3=\dfrac{17}{11}x_1+\dfrac{12}{11}x_2$ .

Familles libres, familles liées

Définitions

Soit $(x_1,\dots,x_n)$ une famille de vecteurs de $E$ .

Cette famille est libre (les vecteurs sont linéairement indépendants) si :

\forall (\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\mathbb R^n,\ \ \lambda_1x_1+\cdots+\lambda_nx_n=0_E \ \Longrightarrow\ \lambda_1=\cdots=\lambda_n=0

Sinon, la famille est dite liée.

Théorème — caractérisation d'une famille liée

Une famille est liée si et seulement si l'un de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres.

Conséquences pratiques

• Une famille contenant le vecteur nul, ou deux fois le même vecteur, est toujours liée.
• Une sur-famille d'une famille liée est liée ; une sous-famille d'une famille libre est libre.
• Une famille de deux vecteurs colinéaires (proportionnels) est toujours liée.

Critère pratique par déterminant (dimension 2 ou 3)

Dans une base $(\vec i,\vec j)$ de $E$ (avec $\dim E=2$ ), la famille $(\vec u_1,\vec u_2)$ , avec $\vec u_1=x_1\vec i+y_1\vec j$ et $\vec u_2=x_2\vec i+y_2\vec j$ , est libre si et seulement si :

\begin{vmatrix}x_1&x_2\\y_1&y_2\end{vmatrix} = x_1y_2-x_2y_1 \neq 0

(Critère analogue avec un déterminant $3\times3$ pour trois vecteurs d'un espace de dimension 3.)

04 · Décrire tout l'espace en un minimum de vecteurs

Base et dimension d'un espace vectoriel

Une base est une famille libre et génératrice : elle permet de repérer chaque vecteur par des coordonnées uniques.

Base, coordonnées, dimension

Définition — base

Une famille $B=(x_1,\dots,x_n)$ de vecteurs de $E$ est une base de $E$ si et seulement si elle est libre et génératrice de $E$ , c'est-à-dire si tout vecteur $x\in E$ s'écrit de façon unique :

x = \lambda_1x_1+\cdots+\lambda_nx_n

Les scalaires $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ sont les coordonnées de $x$ dans la base $B$ .

Bases canoniques à connaître

$\mathbb R^2$ : $((1,0),(0,1))$ , dimension $2$ .
$\mathbb R^3$ : $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ , dimension $3$ .
$\mathcal M_2(\mathbb R)$ : $\left(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right)$ , dimension $4$ .
$\mathbb R_n[X]$ : $(1,X,X^2,\dots,X^n)$ , dimension $n+1$ .

Théorème — dimension

Si $E$ admet une base à $n$ éléments, alors toutes les bases de $E$ ont exactement $n$ éléments. Ce nombre $n$ s'appelle la dimension de $E$ , notée $\dim E$ .

Conséquence utile : dans un espace de dimension $n$ , une famille libre de $n$ vecteurs est automatiquement une base (et de même pour une famille génératrice de $n$ vecteurs).

À toi de jouer

Exercices · Espaces vectoriels

11 exercices corrigés, des sous-espaces vectoriels jusqu'aux bases. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier ta réponse.

0 / 11 vérifiés

Une droite vectorielle de ℝ²

Montrer que $F=\{(x,y)\in\mathbb R^2,\ y=2x\}$ est un sous-espace vectoriel de $(\mathbb R^2,+,\cdot)$ .

Un sous-espace de matrices

Montrer que $F=\left\{\begin{pmatrix}a&2b\\b&a\end{pmatrix},\ (a,b)\in\mathbb R^2\right\}$ est un sous-espace vectoriel de $(\mathcal M_2(\mathbb R),+,\cdot)$ .

Résoudre une équation vectorielle

Dans un espace vectoriel réel $(E,+,\cdot)$ , résoudre l'équation d'inconnues $\lambda\in\mathbb R$ et $\vec u\in E$ : $(3\lambda-2)(5-2\lambda)\cdot\vec u = \vec 0$ .

Combinaison linéaire de deux vecteurs de ℝ²

Dans $(\mathbb R^2,+,\cdot)$ , on considère $x_1=(1,2)$ et $x_2=(5,-1)$ . Le vecteur $x_3=(7,2)$ est-il combinaison linéaire de $x_1$ et $x_2$ ?

Une combinaison linéaire dans M₂(ℝ)

Dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$ , on pose $A_1=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}$ et $A_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}$ . Montrer que $M=\begin{pmatrix}3&5\\3&5\end{pmatrix}$ est combinaison linéaire de $A_1$ et $A_2$ , et que $A_1,A_2$ forment une famille libre.

Famille libre de trois vecteurs de ℝ³

Les vecteurs $x_1=(1,2,-1)$ , $x_2=(2,1,3)$ et $x_3=(0,1,-1)$ forment-ils une famille libre de $\mathbb R^3$ ?

Une famille liée par colinéarité

Les vecteurs $x_1=(1,-1,2)$ et $x_2=(2,-2,4)$ forment-ils une famille libre de $\mathbb R^3$ ?

Base et dimension d'un plan vectoriel

Soit $E=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3,\ x-2y+z=0\}$ .
1) Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^3$ .
2) Déterminer une famille génératrice de $E$ , puis une base de $E$ . En déduire $\dim E$ .

Une base de ℝ₂[X] centrée en 1

Montrer que $\big(1,\ (X-1),\ (X-1)^2\big)$ est une base de $\mathbb R_2[X]$ (polynômes de degré $\leq 2$ ).

Les suites convergentes forment un sous-espace vectoriel

On note $\mathcal S$ l'ensemble des suites réelles, muni de sa structure naturelle de $\mathbb R$ -espace vectoriel. Montrer que l'ensemble $C$ des suites réelles convergentes est un sous-espace vectoriel de $\mathcal S$ .

Quatre vecteurs, pas une base

Dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$ (de dimension 4), on considère $A_1=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ , $A_2=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}$ , $A_3=\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}$ , $A_4=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}$ . La famille $(A_1,A_2,A_3,A_4)$ est-elle une base de $\mathcal M_2(\mathbb R)$ ?

Espaces vectoriels · Mathématiques, 2ème Bac Sciences Mathématiques, semestre 2.