2ème Bac Sciences Math · Semestre 1

Théorème des Accroissements Finis (TAF)

Un chapitre propre à la filière Sciences Mathématiques : le théorème de Rolle, le TAF et sa preuve, l'inégalité des accroissements finis, et leurs applications aux inégalités et à la convergence des suites récurrentes.

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01 · Le point de départ

Théorème de Rolle

Un cas particulier fondamental, dont le TAF n'est qu'une généralisation géométrique.

Théorème de Rolle

Théorème

Soit

f

une fonction telle que :

$f$ est continue sur $[a,b]$ ( $a<b$ ),
$f$ est dérivable sur $]a,b[$ ,
$f(a)=f(b)$ .

Alors il existe au moins un

c\in\,]a,b[

tel que :

f'(c)=0

Interprétation géométrique

Si la courbe part et revient à la même hauteur entre

a

b

, alors elle possède, quelque part entre les deux, une tangente horizontale.

Les trois hypothèses sont indispensables

Si l'une des trois hypothèses (continuité sur

[a,b]

, dérivabilité sur

]a,b[

f(a)=f(b)

) n'est pas vérifiée, la conclusion peut être fausse. Par exemple,

f(x)=|x|

sur

[-1,1]

vérifie

f(-1)=f(1)=1

et est continue sur

[-1,1]

, mais n'est pas dérivable en

0

: il n'existe aucun

c

avec

f'(c)=0

(car

f'

vaut

\pm1

partout ailleurs).

Exemple résolu

Soit $f(x)=x^2-4x+3$ sur $[1,3]$ . Vérifions Rolle et trouvons $c$ .

$f$ est polynomiale donc continue sur $[1,3]$ et dérivable sur $]1,3[$ . $f(1)=1-4+3=0$ et $f(3)=9-12+3=0$ : $f(1)=f(3)$ .

$f'(x)=2x-4$ , donc $f'(c)=0\iff c=2$ .

$c=2\in\,]1,3[$ convient : le théorème de Rolle est vérifié.

02 · Le théorème central

Théorème des Accroissements Finis

La généralisation du théorème de Rolle à deux hauteurs différentes — et sa démonstration complète.

Énoncé du TAF

Théorème (T.A.F.)

Soit

f

une fonction :

continue sur $[a,b]$ ( $a<b$ ),
dérivable sur $]a,b[$ .

Alors il existe au moins un

c\in\,]a,b[

tel que :

f(b)-f(a)=f'(c)\,(b-a)

ou encore : f'(c) = [f(b) − f(a)] / (b − a)

Interprétation géométrique

Il existe un point

c

]a,b[

où la tangente à

(C_f)

est parallèle à la corde reliant les points

A(a,f(a))

B(b,f(b))

III

Démonstration du TAF (à partir du théorème de Rolle)

On introduit la fonction auxiliaire $g$ mesurant l'écart entre $f$ et la corde $(AB)$ :

g(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\,(x-a)

$g$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ (somme de $f$ et d'une fonction affine). De plus :

g(a)=f(a)-f(a)-0=0 \qquad g(b)=f(b)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)-f(a)-\big(f(b)-f(a)\big)=0

Donc $g(a)=g(b)$ : $g$ vérifie les hypothèses du théorème de Rolle sur $[a,b]$ . Il existe donc $c\in\,]a,b[$ tel que $g'(c)=0$ .

Or $g'(x)=f'(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ , donc :

g'(c)=0 \iff f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \iff f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

Ce qui est exactement la conclusion du TAF. ∎

Une conséquence essentielle : monotonie et signe de f′

Théorème (démonstration à l'aide du TAF)

Soit

f

continue sur

I

et dérivable sur l'intérieur de

I

. Si

f'(x)\ge0

pour tout

x

à l'intérieur de

I

, alors

f

est croissante sur

I

Démonstration

Soient

x_1<x_2

dans

I

f

est continue sur

[x_1,x_2]

et dérivable sur

]x_1,x_2[

, donc par le TAF il existe

c\in\,]x_1,x_2[

tel que

f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)

. Comme

f'(c)\ge0

x_2-x_1>0

, on obtient

f(x_2)-f(x_1)\ge0

, donc

f(x_1)\le f(x_2)

: f est croissante sur

I

03 · L'outil pratique

Inégalité des accroissements finis et fonctions lipschitziennes

La version « inégalité » du TAF, redoutablement efficace pour majorer des écarts et prouver la convergence de suites récurrentes.

Inégalité des accroissements finis (I.A.F.)

Théorème

Soit

f

continue sur

[a,b]

et dérivable sur

]a,b[

. S'il existe

m,M\in\mathbb R

tels que, pour tout

x\in\,]a,b[

m\le f'(x)\le M

alors :

m\,(b-a)\ \le\ f(b)-f(a)\ \le\ M\,(b-a)

Démonstration

D'après le TAF, il existe

c\in\,]a,b[

tel que

f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

. Comme

m\le f'(c)\le M

b-a>0

, en multipliant chaque membre par

b-a

m(b-a)\le f'(c)(b-a)\le M(b-a)

, c'est-à-dire

m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)

Cas particulier très utilisé — la version en valeur absolue

S'il existe

k\ge0

tel que

|f'(x)|\le k

pour tout

x

d'un intervalle

I

, alors pour tous

x,y\in I

|f(x)-f(y)|\le k\,|x-y|

on dit que f est k-lipschitzienne sur I

Applications

Application 1 — encadrer f(b) − f(a)

Soit $f(x)=\sqrt x$ sur $[100,101]$ . Encadrons $f(101)-f(100)=\sqrt{101}-10$ .

$f'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$ . Sur $[100,101]$ , $f'$ est décroissante, donc $f'(101)\le f'(x)\le f'(100)$ , c'est-à-dire $\dfrac1{2\sqrt{101}}\le f'(x)\le\dfrac1{20}$ . Or $\sqrt{101}\ge10$ , donc $\dfrac{1}{2\sqrt{101}}\le\dfrac1{20}$ ; pour une minoration numérique simple on utilise $\sqrt{101}\le11$ , d'où $\dfrac1{22}\le f'(x)\le\dfrac1{20}$ .

D'après l'I.A.F. : $\dfrac1{22}\le\sqrt{101}-10\le\dfrac1{20}$ , soit $10{,}045\lesssim\sqrt{101}\le10{,}05$ .

Application 2 — fonction lipschitzienne et suite récurrente

Si $f$ est $k$ -lipschitzienne sur $I$ stable par $f$ ( $f(I)\subset I$ ) avec $0\le k<1$ , et si $\ell\in I$ vérifie $f(\ell)=\ell$ , alors pour la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0\in I$ :

|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\le k\,|u_n-\ell|

D'où, par récurrence, $|u_n-\ell|\le k^n\,|u_0-\ell|$ , et comme $0\le k<1$ , $k^n\to0$ : la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ . C'est le principe de contraction, très utile pour l'étude des suites récurrentes (voir chapitre « Suites numériques »).

À toi de jouer

Série d'exercices · Théorème des Accroissements Finis

11 exercices corrigés en détail, niveau Sciences Mathématiques. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 11 vérifiés

Application directe du théorème de Rolle

Soit $f(x)=x^3-3x+1$ sur $[0,\sqrt3]$ .

Vérifier les hypothèses du théorème de Rolle sur $\left[0,\sqrt3\right]$ , puis déterminer explicitement une valeur $c$ convenable.

Rolle et nombre de racines d'une équation

Soit $f(x)=x^3-3x+c$ où $c\in\mathbb R$ .

En utilisant le théorème de Rolle, montrer que l'équation $f(x)=0$ ne peut pas admettre trois solutions distinctes dans $[-1,1]$ (raisonner par l'absurde).

Application directe du TAF

Soit $f(x)=x^2$ sur $[2,5]$ . Déterminer la (les) valeur(s) $c$ donnée(s) par le TAF.

Une inégalité classique — sinus

En appliquant le TAF à la fonction $f(x)=\sin x$ , montrer que pour tous réels $a,b$ :

|\sin a-\sin b|\le|a-b|

Encadrement d'une racine carrée

En appliquant l'inégalité des accroissements finis à $f(x)=\sqrt x$ sur $[25,26]$ , montrer que :

\dfrac{1}{2\sqrt{26}}\le\sqrt{26}-5\le\dfrac1{10}

Fonction lipschitzienne

Soit $f(x)=\dfrac{x}{x+2}$ définie sur $I=[0,+\infty[$ .

Calculer $f'(x)$ et montrer que $0<f'(x)\le\dfrac14$ pour tout $x\in I$ .
En déduire que $f$ est $\dfrac14$ -lipschitzienne sur $I$ .

Convergence d'une suite récurrente par contraction

Soit $f(x)=\dfrac{x}{x+2}$ (exercice précédent) et $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ .

Vérifier que $0$ est l'unique point fixe de $f$ dans $I=[0,+\infty[$ , et que $f(I)\subset I$ .
Montrer que pour tout $n$ , $|u_n|\le\left(\dfrac12\right)^n$ , et en déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$ .

Encadrement de ln(1+x) via TAF

Soit $f(x)=\ln(1+x)$ sur $[0,+\infty[$ .

Montrer, en appliquant le TAF sur $[0,x]$ ( $x>0$ ), que :

\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x

Étude complète d'une suite récurrente via le TAF

Soit $f(x)=\sqrt{x+2}$ et $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ .

Montrer que pour tout $n$ , $u_n\in[0,2]$ .
Montrer que pour tout $x\in[0,2]$ , $f'(x)\le\dfrac1{2\sqrt2}$ , et en déduire que $|u_{n+1}-2|\le\dfrac1{2\sqrt2}|u_n-2|$ .
En déduire $|u_n-2|\le2\left(\dfrac1{2\sqrt2}\right)^n$ , puis $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$ .

Rolle généralisé et racines de la dérivée seconde

Soit $f$ deux fois dérivable sur $\mathbb R$ , telle que $f$ s'annule en trois points distincts $a<b<c$ .

Montrer qu'il existe $d\in\,]a,c[$ tel que $f''(d)=0$ .

Problème de synthèse — TAF, IAF et une suite définie par une somme

On considère la fonction $f(x)=\sqrt{x}$ sur $]0,+\infty[$ , et pour $n\ge1$ entier, on pose :

u_n=\sum_{k=n^2+1}^{(n+1)^2}\dfrac1{\sqrt k}=\dfrac1{\sqrt{n^2+1}}+\dfrac1{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\dfrac1{\sqrt{(n+1)^2}}

En appliquant le TAF à $f$ sur $[k,k+1]$ , montrer que pour tout entier $k\ge1$ : $\ \dfrac1{2\sqrt{k+1}}\le\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\le\dfrac1{2\sqrt k}$ .
En sommant judicieusement de telles inégalités, montrer que $u_n$ est encadrée par deux expressions qui tendent vers la même limite quand $n\to+\infty$ , et en déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$ .

Théorème des Accroissements Finis · Mathématiques, 2ème Bac Sciences Mathématiques, semestre 1.