2ème Bac Sciences Math · Semestre 1

Suites numériques

Monotonie, récurrence, limites, théorème de la limite monotone, suites adjacentes et suites récurrentes : le chapitre qui prépare directement l'étude rigoureuse de la convergence.

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01 · Les bases

Monotonie, majoration, raisonnement par récurrence

Le vocabulaire fondamental des suites, et l'outil de démonstration indispensable pour toute suite définie par récurrence.

Monotonie et suites bornées

Définitions

Soit

(u_n)_{n\ge n_0}

une suite réelle.

$(u_n)$ est croissante si, pour tout $n$ , $u_{n+1}\ge u_n$ ; strictement croissante si $u_{n+1}>u_n$ .
$(u_n)$ est décroissante si, pour tout $n$ , $u_{n+1}\le u_n$ ; strictement décroissante si $u_{n+1}<u_n$ .
$(u_n)$ est majorée s'il existe $M\in\mathbb R$ tel que $u_n\le M$ pour tout $n$ ; minorée s'il existe $m\in\mathbb R$ tel que $u_n\ge m$ pour tout $n$ .
$(u_n)$ est bornée si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe $K\ge0$ tel que $|u_n|\le K$ pour tout $n$ .

Méthode — étudier le sens de variation

On étudie le signe de

u_{n+1}-u_n

(méthode générale), ou, si

u_n>0

pour tout

n

, on compare

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}

1

Exemple résolu

Soit $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ . Étudions sa monotonie.

u_{n+1}-u_n=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}

$u_{n+1}-u_n>0$ pour tout $n\ge0$ : la suite est strictement croissante. De plus $u_n=1-\dfrac1{n+1}<1$ : elle est majorée par 1.

Raisonnement par récurrence

Principe de récurrence

Soit

P(n)

une propriété dépendant d'un entier

n\ge n_0

. Si :

Initialisation : $P(n_0)$ est vraie,
Hérédité : pour tout $n\ge n_0$ , $P(n)$ vraie $\Rightarrow$ $P(n+1)$ vraie,

alors

P(n)

est vraie pour tout

n\ge n_0

C'est l'outil indispensable pour établir qu'une suite définie par récurrence reste dans un intervalle donné (stabilité), ou pour prouver une inégalité portant sur $u_n$ .

Exemple résolu — stabilité d'un intervalle

Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ . Montrons par récurrence que $0\le u_n\le2$ pour tout $n$ .

Initialisation : $u_0=0\in[0,2]$ , vrai.

Hérédité : supposons $0\le u_n\le2$ . Alors $2\le u_n+2\le4$ , donc $\sqrt2\le\sqrt{u_n+2}\le2$ , c'est-à-dire $\sqrt2\le u_{n+1}\le2$ , donc en particulier $0\le u_{n+1}\le2$ .

Par récurrence, $0\le u_n\le2$ pour tout $n\ge0$ .

02 · Convergence

Limite d'une suite, opérations, comparaison

La définition rigoureuse de la convergence, et les règles de calcul héritées des limites de fonctions.

III

Limite finie, limite infinie

Définition (limite finie)

La suite

(u_n)

converge vers

\ell\in\mathbb R

si :

\forall\varepsilon>0,\ \exists\,N\in\mathbb N,\ \forall n\ge N:\quad |u_n-\ell|<\varepsilon

Autrement dit, $u_n$ se rapproche autant qu'on veut de $\ell$ à partir d'un certain rang. On note $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell$ . Une suite qui ne converge pas est dite divergente (limite infinie, ou pas de limite du tout).

Propriété — unicité de la limite

Si une suite converge, sa limite est unique.

Limite infinie

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty

si, pour tout

A>0

, il existe

N

tel que pour tout

n\ge N

u_n>A

(définition analogue pour

-\infty

Opérations et théorèmes de comparaison

Opérations sur les limites

Les mêmes règles que pour les fonctions s'appliquent (somme, produit, quotient des limites), avec les mêmes formes indéterminées

\dfrac\infty\infty

\infty-\infty

0\times\infty

\dfrac00

Théorèmes de comparaison

Si $u_n\le v_n$ à partir d'un certain rang et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ , alors $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$ .
Si $u_n\le v_n$ à partir d'un certain rang, et si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent, alors $\displaystyle\lim u_n\le\lim v_n$ .
Théorème des gendarmes : si $v_n\le u_n\le w_n$ à partir d'un certain rang, et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$ , alors $(u_n)$ converge et $\displaystyle\lim u_n=\ell$ .

Exemple résolu

Soit $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ pour $n\ge1$ . Pour tout $n\ge1$ : $-\dfrac1n\le u_n\le\dfrac1n$ , et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\pm\dfrac1n\right)=0$ .

Par le théorème des gendarmes, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0$ .

03 · Les grands théorèmes

Théorème de la limite monotone, suites adjacentes, suites récurrentes

Les théorèmes qui permettent de prouver l'existence d'une limite — sans toujours devoir la calculer directement.

Théorème de la limite monotone

Théorème (admis)

Toute suite croissante et majorée converge (vers une limite finie).
Toute suite décroissante et minorée converge (vers une limite finie).
Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ .
Toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$ .

Attention — ce théorème donne l'existence, pas toujours la valeur

Le théorème garantit que la limite existe, mais ne dit pas combien elle vaut. On calcule ensuite la limite par d'autres moyens (souvent, si

u_{n+1}=f(u_n)

avec

f

continue, la limite

\ell

vérifie

f(\ell)=\ell

, voir plus bas).

Exemple résolu

Soit $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{k^2}=1+\dfrac1{4}+\dfrac1{9}+\cdots+\dfrac1{n^2}$ . $u_{n+1}-u_n=\dfrac1{(n+1)^2}>0$ : $(u_n)$ est strictement croissante.

De plus, pour $k\ge2$ , $\dfrac1{k^2}\le\dfrac1{k(k-1)}=\dfrac1{k-1}-\dfrac1k$ , donc par somme télescopique $u_n\le1+\left(1-\dfrac1n\right)<2$ : $(u_n)$ est majorée par 2.

$(u_n)$ est croissante et majorée : elle converge (sa limite est en fait $\pi^2/6$ , résultat hors-programme).

Suites adjacentes

Définition

Deux suites

(u_n)

(v_n)

sont dites adjacentes si :

$(u_n)$ est croissante,
$(v_n)$ est décroissante,
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=0$ .

Théorème (admis)

(u_n)

(v_n)

sont adjacentes, alors elles convergent toutes les deux, et vers la même limite

\ell

, avec de plus

u_n\le\ell\le v_n

pour tout

n

Exemple résolu

Soient $u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac1{k!}$ et $v_n=u_n+\dfrac1{n\cdot n!}$ pour $n\ge1$ .

$u_{n+1}-u_n=\dfrac1{(n+1)!}>0$ : $(u_n)$ croissante. On admet ici que $(v_n)$ est décroissante (calcul similaire), et :

$v_n-u_n=\dfrac1{n\cdot n!}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$ : les deux suites sont adjacentes, donc convergent vers la même limite (qui est $e$ , hors-programme).

VII

Suites récurrentes u(n+1) = f(u(n))

Méthode générale d'étude

Stabilité : montrer par récurrence que $u_n\in I$ pour tout $n$ , où $I$ est un intervalle tel que $f(I)\subset I$ .
Monotonie : étudier le signe de $f(x)-x$ sur $I$ (si $f$ est croissante), ou comparer directement $u_{n+1}$ et $u_n$ .
Convergence : appliquer le théorème de la limite monotone (suite monotone et bornée).
Valeur de la limite : si $f$ est continue sur $I$ et $u_n\to\ell\in I$ , en passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$ on obtient $\ell=f(\ell)$ : $\ell$ est un point fixe de $f$ .

Théorème — le cas où f est croissante

f

est croissante sur un intervalle

I

stable par

f

, alors la suite

(u_n)

définie par

u_{n+1}=f(u_n)

u_0\in I

, est monotone : croissante si

u_1\ge u_0

, décroissante si

u_1\le u_0

Rappel — le principe de contraction (lien avec le TAF)

Si de plus

f

est

k

-lipschitzienne sur

I

avec

0\le k<1

, et

\ell\in I

le point fixe de

f

, alors

|u_n-\ell|\le k^n|u_0-\ell|\to0

: on obtient directement la convergence et une vitesse de convergence (voir le chapitre « Théorème des accroissements finis »).

VIII

Suites arithmético-géométriques

Définition et méthode

Une suite arithmético-géométrique vérifie

u_{n+1}=au_n+b

avec

a\neq1

. On détermine le point fixe

\ell

x\mapsto ax+b

, c'est-à-dire

\ell=\dfrac{b}{1-a}

, puis on pose

v_n=u_n-\ell

v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=au_n+b-\ell=a(u_n-\ell)+(a\ell+b-\ell)=a\,v_n

car $a\ell+b-\ell=0$ (par définition de $\ell$ ). Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ : $v_n=a^n v_0$ , d'où :

u_n=\ell+a^n(u_0-\ell)

Si $|a|<1$ , $a^n\to0$ et $u_n\to\ell$ .

À toi de jouer

Série d'exercices · Suites numériques

12 exercices corrigés en détail, niveau Sciences Mathématiques. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 12 vérifiés

Monotonie par étude du signe de u(n+1) − u(n)

Soit $u_n=\dfrac{2n-1}{n+3}$ pour $n\ge0$ .

Étudier le sens de variation de $(u_n)$ .

Monotonie par comparaison de rapport (suite à termes positifs)

Soit $u_n=\dfrac{2^n}{n!}$ pour $n\ge1$ .

Montrer que $(u_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang.

Récurrence : stabilité d'un intervalle et majoration

Soit $u_0=3$ et $u_{n+1}=\dfrac12 u_n+2$ .

Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb N$ , $2\le u_n\le3$ .

Suite arithmético-géométrique — formule explicite et limite

Soit $u_0=3$ et $u_{n+1}=\dfrac12 u_n+2$ (suite de l'exercice précédent).

Montrer que la suite $v_n=u_n-4$ est géométrique, et préciser sa raison et son premier terme.
En déduire $u_n$ en fonction de $n$ , puis $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$ .

Théorème des gendarmes pour une suite

Soit $u_n=\dfrac{\sqrt{n}\sin(n)+n}{n+1}$ pour $n\ge1$ .

Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$ .

Convergence par le théorème de la limite monotone

Soit $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{2^k}=\dfrac12+\dfrac14+\cdots+\dfrac1{2^n}$ .

Montrer que $(u_n)$ est croissante.
Montrer que $u_n=1-\dfrac1{2^n}$ pour tout $n\ge1$ (récurrence ou somme géométrique), en déduire qu'elle est majorée, puis qu'elle converge, et calculer sa limite.

Suites adjacentes

Soient $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{k^2}$ et $v_n=u_n+\dfrac1n$ pour $n\ge1$ .

Sachant que $(u_n)$ est croissante (voir le cours) montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

Suite récurrente — étude complète avec f croissante

Soit $f(x)=\dfrac{2x+3}{x+2}$ et $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ .

Montrer que pour tout $n$ , $u_n\in[0,\sqrt3]$ .
Étudier le signe de $f(x)-x$ sur $[0,\sqrt3]$ , et en déduire le sens de variation de $(u_n)$ .
En déduire que $(u_n)$ converge, et calculer sa limite.

Suite définie implicitement (existence par TVI, puis limite)

Pour $n\ge1$ , on considère l'équation $x^n+x-1=0$ d'inconnue $x\in[0,1]$ .

Montrer que cette équation admet une unique solution $u_n\in[0,1]$ (on pourra étudier $g_n(x)=x^n+x-1$ ).
Montrer que $(u_n)$ est croissante (on pourra comparer $g_{n+1}(u_n)$ à $0$ ), puis qu'elle converge et déterminer sa limite.

Vitesse de convergence par contraction (lien avec le TAF)

Soit $f(x)=\dfrac13\cos x$ et $(u_n)$ définie par $u_0=0$ , $u_{n+1}=f(u_n)$ .

Montrer que $f\left(\left[-\dfrac13,\dfrac13\right]\right)\subset\left[-\dfrac13,\dfrac13\right]$ , et que $\left|f'(x)\right|\le\dfrac13$ sur cet intervalle.
En admettant que $f$ possède un unique point fixe $\ell\in\left[-\dfrac13,\dfrac13\right]$ , montrer que $|u_n-\ell|\le\dfrac13\left(\dfrac13\right)^n$ , et déterminer un rang $N$ à partir duquel $|u_N-\ell|\le10^{-3}$ .

Divergence vers +∞

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+\sqrt{u_n}$ .

Montrer que pour tout $n$ , $u_n\ge1$ , puis que $(u_n)$ est croissante.
En raisonnant par l'absurde (si $(u_n)$ convergeait vers $\ell$ ), montrer que $(u_n)$ ne peut pas converger, et conclure sur sa limite.

Problème de synthèse — étude complète d'une suite récurrente monotone

Soit $f(x)=\dfrac{1}{2-x}$ et $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ .

Montrer par récurrence que $u_n\in[0,1[$ pour tout $n$ .
Étudier les variations de $f$ sur $[0,1[$ . En comparant $u_1$ et $u_0$ , montrer que $(u_n)$ est croissante.
On admet que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell\in[0,1]$ . Montrer que $\ell$ vérifie $\ell^2-2\ell+1=0$ , et en déduire $\ell$ .

Suites numériques · Mathématiques, 2ème Bac Sciences Mathématiques, semestre 1.