Nombres complexes (Partie 1) · Cours et exercices | 2ème Bac Sciences Mathématiques

01 · Un corps qui prolonge ℝ

L'ensemble ℂ, opérations et conjugué

ℂ est construit pour que toute équation du second degré ait une solution. On y retrouve toutes les règles de calcul de ℝ, mais pas sa relation d'ordre.

I

L'ensemble ℂ et la forme algébrique

Définition (admise)

Il existe un ensemble, noté

\mathbb C

, muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de

\mathbb R

, tel que :

\mathbb R\subset\mathbb C

; il existe dans

\mathbb C

un nombre noté

i

vérifiant

i^2=-1

; et tout nombre complexe

z

s'écrit de façon unique

z=a+ib

avec

a,b\in\mathbb R

.

Vocabulaire

Cette écriture s'appelle la forme algébrique de $z$ ; $a=\operatorname{Re}(z)$ est sa partie réelle, $b=\operatorname{Im}(z)$ sa partie imaginaire.
$z\in\mathbb R\iff\operatorname{Im}(z)=0$ ; $z$ est imaginaire pur ( $z\in i\mathbb R$ ) $\iff\operatorname{Re}(z)=0$ .
Unicité : $a+ib=a'+ib' \iff (a=a' \text{ et } b=b')$ . En particulier $a+ib=0 \iff (a=0 \text{ et } b=0)$ .

II

Structure de corps de ℂ

Définition

Pour

z=a+ib

et

z'=a'+ib'

:

z+z'=(a+a')+i(b+b') \qquad z\times z'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)

Propriétés algébriques

$(\mathbb C,+)$ est un groupe commutatif : associativité, commutativité, $0$ neutre, tout $z$ a un opposé $-z$ .
$(\mathbb C^*,\times)$ est un groupe commutatif : associativité, commutativité, $1$ neutre, tout $z\neq0$ a un inverse $z^{-1}=\dfrac1z$ .
La multiplication est distributive par rapport à l'addition : on dit que $(\mathbb C,+,\times)$ est un corps commutatif. Toutes les règles de calcul connues dans $\mathbb R$ (identités remarquables, puissances, binôme de Newton...) restent valables dans $\mathbb C$ .

Attention : ℂ n'est pas ordonné

Contrairement à

\mathbb R

, il n'existe pas de relation d'ordre sur

\mathbb C

compatible avec les opérations. Des écritures comme

z\leqslant z'

n'ont donc aucun sens pour des complexes non réels.

III

Le conjugué d'un nombre complexe

Définition

Le conjugué de

z=a+ib

est

\bar z=a-ib

.

Propriétés à connaître par cœur

$z\bar z=a^2+b^2$ (réel positif) ; $\overline{\bar z}=z$ .
$z+\bar z=2\operatorname{Re}(z)$ ; $z-\bar z=2i\operatorname{Im}(z)$ .
$\overline{z+z'}=\bar z+\bar z'$ ; $\overline{zz'}=\bar z\,\bar z'$ ; $\overline{z^n}=\bar z^{\,n}$ ; $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\bar z}{\bar z'}$ .
$z\in\mathbb R\iff z=\bar z$ ; $z$ imaginaire pur $\iff z=-\bar z$ .

02 · Un point pour chaque nombre

Affixes, alignement et module

Chaque nombre complexe devient un point (ou un vecteur) du plan. L'alignement se lit alors sur un simple quotient, et la distance devient un module.

IV

Affixe d'un point, d'un vecteur

Définition

Le plan est muni d'un repère orthonormé

(O,\vec u,\vec v)

. À

z=a+ib

on associe le point

M(a,b)

, son image, et le vecteur

\vec w(a,b)

. Réciproquement,

z

est l'affixe de

M

(noté

z=\operatorname{aff}(M)

) et de

\vec w

.

Opérations sur les affixes

$\operatorname{aff}(\overrightarrow{AB})=z_B-z_A$ ; $\operatorname{aff}(\vec u+\vec v)=\operatorname{aff}(\vec u)+\operatorname{aff}(\vec v)$ .
Milieu $I$ de $[AB]$ : $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$ .
Barycentre $G$ de $\{(A,\alpha);(B,\beta)\}$ ( $\alpha+\beta\neq0$ ) : $z_G=\dfrac{\alpha z_A+\beta z_B}{\alpha+\beta}$ .

V

Condition complexe d'alignement

Propriété

Soient

A(a)

,

B(b)

,

C(c)

trois points distincts. Les points

A

,

B

,

C

sont alignés si et seulement si :

\dfrac{c-a}{b-a}\in\mathbb R

Pourquoi ?

A,B,C

alignés

\iff

il existe

k\in\mathbb R

tel que

\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}

, c'est-à-dire

c-a=k(b-a)

, soit

\dfrac{c-a}{b-a}=k\in\mathbb R

.

VI

Module d'un nombre complexe

Définition

Le module de

z=a+ib

est

|z|=\sqrt{z\bar z}=\sqrt{a^2+b^2}\geqslant0

. Géométriquement,

|z|=OM

, et pour

A(z_A)

,

B(z_B)

:

AB=|z_B-z_A|

.

Propriétés à connaître par cœur

$|z|=0\iff z=0$ ; $|\bar z|=|z|=|-z|$ .
$|zz'|=|z||z'|$ ; $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ ( $z'\neq0$ ) ; $|z^n|=|z|^n$ .
Inégalité triangulaire : $|z+z'|\leqslant|z|+|z'|$ , avec égalité ssi $z$ et $z'$ sont « positivement colinéaires ».

03 · La direction d'un nombre complexe

Argument, forme trigonométrique et racines carrées

Module et argument déterminent entièrement un nombre complexe non nul : c'est la forme trigonométrique, où multiplier revient à additionner des angles.

VII

Argument d'un nombre complexe non nul

Définition

Pour

z\neq0

d'image

M

, un argument de

z

est une mesure de l'angle orienté

(\vec u,\overrightarrow{OM})

, noté

\arg(z)\equiv\theta\ [2\pi]

. Le nombre

0

n'a pas d'argument.

Cas particuliers

$z\in\mathbb R_+^*\iff\arg(z)\equiv0\ [2\pi]$ ; $z\in\mathbb R_-^*\iff\arg(z)\equiv\pi\ [2\pi]$ .
$z\in i\mathbb R_+^*\iff\arg(z)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ ; $z\in i\mathbb R_-^*\iff\arg(z)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ .

Règles de calcul à connaître par cœur

$\arg(\bar z)\equiv-\arg(z)\ [2\pi]$ ; $\arg(-z)\equiv\arg(z)+\pi\ [2\pi]$ .
$\arg(zz')\equiv\arg(z)+\arg(z')\ [2\pi]$ ; $\arg(z^n)\equiv n\arg(z)\ [2\pi]$ .
$\arg\!\left(\dfrac1z\right)\equiv-\arg(z)\ [2\pi]$ ; $\arg\!\left(\dfrac{z}{z'}\right)\equiv\arg(z)-\arg(z')\ [2\pi]$ .

VIII

Forme trigonométrique et formule de Moivre

Propriété

Tout

z\neq0

s'écrit, avec

r=|z|

et

\theta=\arg(z)

:

z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

Notation [r,θ] et règles de calcul

On note parfois $z=[r,\theta]$ . Avec $z=[r,\theta]$ et $z'=[r',\theta']$ :

$zz'=[rr',\theta+\theta'] \qquad \dfrac{1}{z}=\left[\dfrac1r,-\theta\right] \qquad z^n=[r^n,n\theta]$

Formule de Moivre

Pour tout

n\in\mathbb Z

:

(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)

, d'où

z^n=r^n\big(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\big)

.

Notation exponentielle (formule d'Euler)

On pose

e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

. La forme trigonométrique s'écrit alors

z=re^{i\theta}

, et la formule de Moivre devient

\big(e^{i\theta}\big)^n=e^{in\theta}

.

IX

Racines carrées d'un nombre complexe

Définition

Une racine carrée de

z

est un complexe

u

tel que

u^2=z

. Tout complexe non nul admet exactement deux racines carrées, opposées l'une de l'autre.

Méthode (forme trigonométrique)

Si

z=[r,\theta]

(

r>0

), ses racines carrées sont :

u_1=\left[\sqrt r,\dfrac\theta2\right] \qquad u_2=-u_1=\left[\sqrt r,\dfrac\theta2+\pi\right]

(car

u^2=z\iff\rho^2=r

et

2\alpha\equiv\theta\ [2\pi]

, avec

u=[\rho,\alpha]

).

04 · Le niveau Sciences Mathématiques

Interprétation géométrique des arguments

L'argument d'un quotient d'affixes donne directement la mesure d'un angle orienté : c'est l'outil le plus puissant de ce chapitre pour la géométrie plane.

X

Angles orientés et argument

Propriété fondamentale

Soient

A(a)

,

B(b)

,

C(c)

,

D(d)

des points deux à deux distincts. On a :

\big(\vec u,\overrightarrow{OM}\big)\equiv\arg(z)\ [2\pi]

\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)\equiv\arg\!\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)\ [2\pi]

\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\big)\equiv\arg\!\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right)\ [2\pi]

XI

Corollaires : alignement, parallélisme, perpendicularité, cocyclicité

Quatre corollaires à connaître par cœur

Alignement : $A,B,C$ alignés $\iff \arg\!\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)\equiv0\ [\pi]$ .
Parallélisme : $(AB)\parallel(CD)\iff \arg\!\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right)\equiv0\ [\pi]$ .
Perpendicularité : $(AB)\perp(CD)\iff \arg\!\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right)\equiv\dfrac\pi2\ [\pi]$ , ce qui équivaut à $\dfrac{d-c}{b-a}\in i\mathbb R^*$ .
Cocyclicité : $A,B,C,D$ (avec $A,B,C$ non alignés) sont cocycliques ou alignés si et seulement si le birapport $\dfrac{c-a}{b-a}\Big/\dfrac{c-d}{b-d}$ est réel.

Remarque

Ces critères transforment un problème de géométrie plane (angles, perpendicularité, cercles) en un simple calcul algébrique sur des quotients de complexes : c'est toute la puissance de ce chapitre.

05 · À toi de jouer

Exercices · Nombres complexes (Partie 1)

12 exercices corrigés, au niveau Sciences Mathématiques : calculs, alignement, module, argument, forme trigonométrique, racines carrées, équations avec z et z̄, angles orientés et cocyclicité.

0 / 12 vérifiés

1

Exercice 1 · Forme algébrique

2 calculs

Écrire sous forme algébrique $z_1=(1+2i)(3-i)$ et $z_2=\dfrac{2-i}{1+2i}$ .

2

Exercice 2 · Alignement de trois points

1 démonstration

Soient $A(z_A=2+i)$ , $B(z_B=5+4i)$ et $C(z_C=-1-2i)$ . Montrer que $A$ , $B$ , $C$ sont alignés.

3

Exercice 3 · Triangle équilatéral (modules)

1 démonstration

Soient $A(2)$ , $B(-1+i\sqrt3)$ et $C(-1-i\sqrt3)$ . Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral.

4

Exercice 4 · Ensembles de points (cercle et médiatrice)

2 études

Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ du plan tels que $|z-3+4i|=5$ , puis l'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z-1|=|z+3-2i|$ .

5

Exercice 5 · Forme trigonométrique

1 étude

Déterminer la forme trigonométrique de $z=-\sqrt3+i$ .

6

Exercice 6 · Racines carrées d'un nombre complexe

1 étude

Déterminer les racines carrées de $z=1+i\sqrt3$ sous forme algébrique.

7

Exercice 7 · Équation avec z et son conjugué

1 équation

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $2z+i\bar z=8+7i$ .

8

Exercice 8 · Ensemble de points via U(z)

1 étude en 2 parties

Soit $z=x+iy$ ( $x,y\in\mathbb R$ , $z\neq i$ ) et $U=\dfrac{z-1}{z-i}$ . Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $U$ soit réel, puis l'ensemble des points $M(z)$ tels que $U$ soit imaginaire pur non nul.

9

Exercice 9 · Angle orienté et triangle rectangle isocèle

1 démonstration

Soient $A(0)$ , $B(2)$ et $C(1+i)$ . Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $C$ .

10

Exercice 10 · Alignement par l'argument

1 démonstration

Soient $A(1)$ , $B(3+2i)$ et $C(-3-4i)$ . En utilisant l'argument, montrer que $A$ , $B$ , $C$ sont alignés.

11

Exercice 11 · Cocyclicité de quatre points (birapport)

1 démonstration avancée

Soient $A(1)$ , $B(i)$ , $C(-1)$ et $D(-i)$ . En utilisant le birapport, montrer que $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont cocycliques.

12

Exercice 12 · Équation à coefficients complexes et volet géométrique

1 équation + 1 étude

1) Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $(E):z^2-3z+3+i=0$ . 2) On note $A$ et $B$ les points d'affixes les deux solutions. Montrer que le triangle $OAB$ ( $O$ étant l'origine) est isocèle.