2ème Bac Sciences Math · Semestre 1

La fonction logarithme

Une fonction née d'une équation fonctionnelle : transformer les produits en sommes. Existence, propriété fondamentale, étude complète et logarithmes de base a.

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notions clés

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\ln

01 · Une fonction née d'une équation

Existence de la fonction logarithme népérien

On cherche une fonction qui transforme les produits en sommes. Il en existe une seule qui s'annule en 1 : le logarithme népérien.

Activité : recherche d'une fonction f telle que f(xy)=f(x)+f(y)

Activité (admise)

On cherche une fonction

f

non nulle, dérivable sur

]0,+\infty[

, telle que

(\forall x>0)(\forall y>0)\big(f(xy)=f(x)+f(y)\big)

. En prenant

x=y=1

, on obtient

f(1)=2f(1)

, donc

f(1)=0

. En dérivant la relation par rapport à

x

(à

y

fixé), on obtient

y\,f'(xy)=f'(x)

; pour

x=1

, il vient

f'(y)=\dfrac{f'(1)}{y}

. Ainsi

f

est nécessairement une primitive sur

]0,+\infty[

x\mapsto \dfrac{k}{x}

(avec

k=f'(1)

) qui s'annule en

1

. On admet que la réciproque est vraie.

Définition du logarithme népérien

Définition

La fonction logarithme népérien, notée

\ln

, est la primitive sur

]0,+\infty[

de la fonction

x\mapsto \dfrac1x

qui s'annule en

1

Conséquences immédiates

$\ln$ est définie sur $]0,+\infty[$ ; la fonction $x\mapsto \ln(u(x))$ est définie si et seulement si $u(x)>0$ .
$\ln(1)=0$ .
$\ln$ est dérivable (donc continue) sur $]0,+\infty[$ et $(\forall x>0)\left(\ln'(x)=\dfrac1x\right)$ .

02 · Le cœur du logarithme

Propriété fondamentale et règles de calcul

La relation ln(xy)=ln(x)+ln(y) fait de ln un outil puissant : elle transforme les produits en sommes, les quotients en différences, les puissances en produits.

III

La propriété fondamentale

Théorème

(\forall x>0)(\forall y>0)\big(\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\big)

Démonstration

Fixons

y>0

et posons, pour

x>0

\varphi(x)=\ln(xy)-\ln(x)

. La fonction

\varphi

est dérivable et :

\varphi'(x)=y\times\dfrac{1}{xy}-\dfrac1x=\dfrac1x-\dfrac1x=0

Donc

\varphi

est constante sur

]0,+\infty[

, égale à

\varphi(1)=\ln(y)-\ln(1)=\ln(y)

. D'où

\ln(xy)-\ln(x)=\ln(y)

, c'est-à-dire

\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)

Règles de calcul (à connaître par cœur)

$(\forall x>0)\left(\ln\left(\dfrac1x\right)=-\ln(x)\right)$ .
$(\forall x>0)(\forall y>0)\left(\ln\left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln(x)-\ln(y)\right)$ .
$(\forall x>0)(\forall n\in\mathbb Z)\big(\ln(x^n)=n\ln(x)\big)$ .
$(\forall x>0)\left(\ln(\sqrt x)=\dfrac12\ln(x)\right)$ .
Plus généralement, $(\forall x>0)(\forall r\in\mathbb Q)\big(\ln(x^r)=r\ln(x)\big)$ .

03 · Comportement global

Étude complète de la fonction logarithme

Monotonie, signe, limites de référence, le nombre e et la courbe : tout ce qu'il faut savoir sur ln.

Monotonie et signe

Propriété

Pour tout

x>0

\ln'(x)=\dfrac1x>0

. Donc

\ln

est strictement croissante sur

]0,+\infty[

Conséquences (à connaître par cœur)

$(\forall a>0)(\forall b>0)\big(\ln(a)=\ln(b)\iff a=b\big)$ ; $\ln(a)\leqslant\ln(b)\iff a\leqslant b$ .
$\ln(x)>0 \iff x>1$ ; $\ln(x)<0 \iff 0<x<1$ ; $\ln(x)=0 \iff x=1$ .

Limites de référence et le nombre e

Limites usuelles à connaître par cœur

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty$ .
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ et, plus généralement pour $r>0$ , $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^r}=0$ .
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0$ et, pour $r>0$ , $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^r\ln(x)=0$ .
$\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=1$ (nombre dérivé de $\ln$ en $1$ ) et $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$ .

Définition : le nombre e

La fonction

\ln

est continue et strictement croissante sur

]0,+\infty[

, avec

\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty

. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel, noté

e

, tel que

\ln(e)=1

. On a

e\approx 2{,}718

Tableau de variation et courbe

$\ln$ est strictement croissante de $-\infty$ à $+\infty$ sur $]0,+\infty[$ . La droite $x=0$ est asymptote verticale à la courbe $(C_{\ln})$ (car $\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty$ ). La tangente à $(C_{\ln})$ au point $A(1,0)$ a pour équation $y=x-1$ (car $\ln(1)=0$ et $\ln'(1)=1$ ).

04 · Dérivées composées et autres bases

Dérivée de ln(u), logarithme décimal et logarithme de base a

On généralise la dérivation aux fonctions composées, puis on construit des logarithmes adaptés à d'autres bases que e.

Dérivée de ln∘u

Propriété

u

est dérivable et strictement positive sur un intervalle

I

, alors

\ln(u)

est dérivable sur

I

et :

\big(\ln(u)\big)'=\dfrac{u'}{u}

VII

Logarithme décimal et logarithme de base a

Définition

La fonction logarithme décimal, notée

\log

(ou

\log_{10}

), est définie sur

]0,+\infty[

par

\log(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}

. On a

\log(10)=1

\log(1)=0

(\forall n\in\mathbb Z)\big(\log(10^n)=n\big)

Définition

Soit

a>0

a\neq1

. La fonction logarithme de base a, notée

\log_a

, est définie sur

]0,+\infty[

par

\log_a(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}

Propriétés (comme pour ln)

$\log_a(a)=1$ et $\log_a(1)=0$ .
$(\forall x>0)(\forall y>0)\big(\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)\big)$ .
Si $a>1$ , $\log_a$ est strictement croissante ; si $0<a<1$ , $\log_a$ est strictement décroissante (car $\ln(a)$ change de signe).

05 · À toi de jouer

Exercices · La fonction logarithme

12 exercices corrigés, au niveau Sciences Mathématiques : domaine de définition, calculs, équations, inéquations, limites et étude de fonction.

0 / 12 vérifiés

Exercice 1 · Domaines de définition

3 fonctions

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\ln(x-1)$ , $g(x)=\ln(x^2-3x+2)$ et $h(x)=\ln(\ln(x))$ .

Exercice 2 · Calculs avec les règles de ln

2 calculs

On pose $\ln2\approx0{,}7$ et $\ln3\approx1{,}1$ . Exprimer $\ln(72)$ et $\ln\!\left(\dfrac{16}{27}\right)$ en fonction de $\ln2$ et $\ln3$ , puis donner une valeur approchée.

Exercice 3 · Résoudre une équation

1 équation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $\ln(2x-1)+\ln(x+1)=\ln(4x+2)$ .

Exercice 4 · Résoudre une inéquation

1 inéquation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation $\ln(3x+1)\leqslant\ln(x+5)$ .

Exercice 5 · Équation quadratique en ln(x)

1 équation

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $2(\ln x)^2-\ln x-1=0$ .

Exercice 6 · Limites de référence

4 limites

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(\ln(x+1)-\ln(x)\big)$ , $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^2\ln(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{\sqrt x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\ln(x)}{x^2-1}$ .

Exercice 7 · Dérivée d'une composée

2 dérivées

Calculer la dérivée de $f(x)=\ln(x^2+1)$ et de $g(x)=\big(\ln(x)\big)^2$ sur leurs domaines respectifs.

Exercice 8 · Tangente à la courbe de ln

1 étude

Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $e$ .

Exercice 9 · Logarithme de base a

2 calculs

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $\log(x)+\log(x-3)=1$ (où $\log$ est le logarithme décimal).

Exercice 10 · Étude d'une fonction avec ln

1 étude complète

Soit $f(x)=x-\ln(x)$ définie sur $]0,+\infty[$ . Étudier les variations de $f$ , en déduire son signe minimal, puis calculer $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .

Exercice 11 · Existence et unicité d'une solution

1 démonstration

Soit $g(x)=\ln(x)+x-2$ sur $]0,+\infty[$ . Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0,+\infty[$ , puis vérifier que $1<\alpha<2$ .

Exercice 12 · Étude de fonction et courbe (niveau bac)

1 étude complète

Soit $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$ définie sur $]0,+\infty[$ , de courbe $(C_f)$ . 1) Calculer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$ , et interpréter graphiquement. 2) Montrer que $f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$ , puis dresser le tableau de variation de $f$ . 3) En déduire que $f(x)\leqslant\dfrac1e$ pour tout $x>0$ .

La fonction logarithme · Mathématiques, 2ème année Baccalauréat Sciences Mathématiques, semestre 1.