2ème Année Bac · Semestre 1

Évaluation diagnostique

3 exercices pour vérifier les acquis de 1ère Bac avant de démarrer l'année : logique, limites, dérivées, arithmétique, suites numériques et séries.

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20

questions

20

points au total

3

exercices

Exercice 1 · 7 points

Logique, limites et dérivées

Négation d'une proposition, limites usuelles, calcul de dérivée et lecture graphique (tangente, signe de f′, concavité).
Soit ff une fonction de R\mathbb R vers R\mathbb R. La négation de la proposition « ff est la fonction nulle » est :
lim⁡x→+∞x+2x2+1=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+2}{x^2+1}=
Soit ff une fonction définie sur ]0;+∞[]0;+\infty[ par f(x)=xx1+xf(x)=\dfrac{x\sqrt x}{1+x}. Alors f′(x)f'(x) est égale à :
lim⁡x→0x1+sin⁡x−1=\lim_{x\to0}\dfrac{x}{\sqrt{1+\sin x}-1}=
On considère une fonction ff définie sur R\mathbb R, dont la courbe (Cf)(\mathscr C_f) passe par les points A(1;0)A(1;0) et B(2;3)B(2;3). La droite (AB)(AB) est tangente à (Cf)(\mathscr C_f) au point AA. Que vaut f′(1)f'(1) ?
On garde les données de la question précédente. La courbe (Cf)(\mathscr C_f) admet un maximum local en un point d'abscisse c∈ ]1;4[c\in\ ]1;4[, où la tangente à (Cf)(\mathscr C_f) est horizontale. Quelle affirmation est vraie ?
On garde toujours les mêmes données : sur [1;4][1;4], ff croît de f(1)=0f(1)=0 jusqu'à son maximum local en cc, puis décroît. Quelle affirmation est vraie sur [1;4][1;4] ?

Exercice 2 · 7 points

Arithmétique, suites et optimisation

Dénombrement de diviseurs, sommes de suites géométriques, limites liées aux suites, récurrences linéaires, produits télescopiques et un problème d'optimisation.
Le nombre de diviseurs positifs de N=546×840N=546\times840 est :
Soit (un)(u_n) une suite géométrique de premier terme u0u_0 et de raison q>0q>0 telle que u1=2u_1=2 et u2=4u_2=4. On pose Sn=u0+u1+⋯+unS_n=u_0+u_1+\cdots+u_n. Alors SnS_n égale :
Soit n∈N∗n\in\mathbb N^*, alors lim⁡x→1xn−1x−1=\lim_{x\to1}\dfrac{x^n-1}{x-1}=
Soit (Un)n∈N(U_n)_{n\in\mathbb N} une suite telle que ∀n∈N, Un+2=53Un+1−23Un\forall n\in\mathbb N,\ U_{n+2}=\dfrac53U_{n+1}-\dfrac23U_n, avec U0=1U_0=1 et U1=2U_1=2. Pour tout n∈Nn\in\mathbb N, on pose Vn=Un+1−UnV_n=U_{n+1}-U_n. Alors :
Pour tout entier n≥2n\ge2, on pose πn=(1−122)×(1−132)×⋯×(1−1n2)=∏k=2n(1−1k2)\pi_n=\left(1-\dfrac1{2^2}\right)\times\left(1-\dfrac1{3^2}\right)\times\cdots\times\left(1-\dfrac1{n^2}\right)=\displaystyle\prod_{k=2}^n\left(1-\dfrac1{k^2}\right). Alors πn\pi_n en fonction de nn est égale à :
ABCDABCD est un carré de côté 1. On place les points EE et FF respectivement sur les côtés [AB][AB] et [BC][BC] tels que BE=CF=xBE=CF=x (avec x∈[0;1]x\in[0;1]). La valeur de xx pour laquelle l'aire du triangle EFDEFD est minimale est :
Soit n∈N∗n\in\mathbb N^*, alors lim⁡x→01−cos⁡n(x)1−cos⁡2(x)=\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos^n(x)}{1-\cos^2(x)}=

Exercice 3 · 6 points

Limites, courbes et séries numériques

Ensemble de définition d'une fonction définie par morceaux, tangente à la courbe d'une somme géométrique, sommes de séries numériques et limites avec paramètre.
Soit ff la fonction définie par
f(x)={3x2−4x−4x2−x−2si x>2x2+5−3x+2−2si x<21si x=2f(x)=\begin{cases}\dfrac{3x^2-4x-4}{x^2-x-2}&\text{si }x>2\\[2mm]\dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{\sqrt{x+2}-2}&\text{si }x<2\\[2mm]1&\text{si }x=2\end{cases}
L'ensemble de définition de la fonction ff est :
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb R par f(x)=∑k=0nxk=1+x+x2+⋯+xnf(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n x^k=1+x+x^2+\cdots+x^n, et (C)(C) sa courbe dans un repère orthonormé. L'équation réduite de la tangente à (C)(C) au point d'abscisse 1 est :
12−14+18−⋯+1512=\dfrac12-\dfrac14+\dfrac18-\cdots+\dfrac1{512}=
Soit a>0a>0, alors lim⁡x→a+x−a−x−ax2−a2=\lim_{x\to a^+}\dfrac{\sqrt x-\sqrt a-\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}=
Soit (vn)n∈N∗(v_n)_{n\in\mathbb N^*} une suite telle que ∀n∈N∗, v1+v2+⋯+vn−1+vn=2n2+n\forall n\in\mathbb N^*,\ v_1+v_2+\cdots+v_{n-1}+v_n=2n^2+n. Alors :
lim⁡x→01+x+1−x−2x2=\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2}=

Évaluation diagnostique · Mathématiques, 2ème année Baccalauréat Sciences Mathématiques, semestre 1.