Équations différentielles · Cours et exercices | 2ème Bac Sciences Mathématiques

01 · Une équation dont l'inconnue est une fonction

Vocabulaire et linéarité

Une équation différentielle relie une fonction inconnue à ses dérivées successives. On se limite ici aux équations linéaires à coefficients constants.

I

Définitions et vocabulaire

Définition

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction (notée

y

au lieu de

y(x)

), reliant cette fonction à une ou plusieurs de ses dérivées successives. L'ordre de l'équation est le plus grand ordre de dérivation qui y apparaît.

Exemples

$y'=e^{2x}$ est une équation différentielle du premier ordre ; ses solutions sont les primitives de $x\mapsto e^{2x}$ , soit $x\mapsto \dfrac12e^{2x}+c$ ( $c\in\mathbb R$ ).
$y''+4y=0$ est une équation différentielle du second ordre, sans second membre.

Linéarité

Les équations étudiées dans ce chapitre sont linéaires à coefficients constants : elles s'écrivent comme une combinaison des dérivées de

y

égale à une constante (ou à

0

). Conséquence essentielle (principe de superposition) : si

y_1

et

y_2

sont solutions d'une équation sans second membre, alors, pour tous réels

A

et

B

, la fonction

Ay_1+By_2

est encore solution.

02 · Le cas le plus simple

Équations différentielles du premier ordre

Les solutions de y'=ay et de y'=ay+b s'expriment toutes à l'aide de la fonction exponentielle.

II

L'équation y′=ay (a∈ℝ*)

Propriété

Soit

a\in\mathbb R^*

. La solution générale de l'équation différentielle

(E):y'=ay

est l'ensemble des fonctions :

x\longmapsto \lambda e^{ax},\quad \lambda\in\mathbb R

Démonstration (idée)

La fonction nulle est solution. Si

y

ne s'annule pas,

(E)

équivaut à

\dfrac{y'}{y}=a

, c'est-à-dire

\big(\ln|y|\big)'=a

, donc

\ln|y(x)|=ax+c

, puis

y(x)=\pm e^{c}e^{ax}=\lambda e^{ax}

avec

\lambda\in\mathbb R^*

. La fonction nulle correspond au cas

\lambda=0

.

Exemple

La solution générale de

y'=3y

est

x\mapsto\lambda e^{3x}

(

\lambda\in\mathbb R

).

III

L'équation y′=ay+b (a∈ℝ*, b∈ℝ)

Propriété

Soit

a\in\mathbb R^*

et

b\in\mathbb R

. La solution générale de

(E):y'=ay+b

est l'ensemble des fonctions :

x\longmapsto \lambda e^{ax}-\dfrac{b}{a},\quad \lambda\in\mathbb R

Démonstration (idée)

La fonction constante

y=-\dfrac{b}{a}

est solution particulière de

(E)

(

a\times\left(-\dfrac ba\right)+b=0

). Posons

z=y+\dfrac ba

: on a

z'=y'=ay+b=a\left(z-\dfrac ba\right)+b=az

, donc

z

est solution de

z'=az

, c'est-à-dire

z(x)=\lambda e^{ax}

. D'où

y(x)=\lambda e^{ax}-\dfrac ba

.

Remarque

Le réel

\lambda

se détermine grâce à une condition initiale, comme

y(0)

.

03 · L'équation caractéristique

Équations différentielles du second ordre à coefficients constants

On cherche des solutions de la forme x↦e^(rx) : le nombre r doit alors vérifier une équation du second degré, l'équation caractéristique.

IV

L'équation ay″+by′+cy=0 (a≠0)

Définition

Soit

a\in\mathbb R^*

,

b,c\in\mathbb R

. On considère

(E):ay''+by'+cy=0

. On cherche des solutions de la forme

y(x)=e^{rx}

où

r

est un nombre (a priori complexe). Comme

y'(x)=re^{rx}

et

y''(x)=r^2e^{rx}

, dire que

y

est solution équivaut à

\big(ar^2+br+c\big)e^{rx}=0

, soit, puisque

e^{rx}\neq0

, à :

ar^2+br+c=0

Vocabulaire

Cette équation, d'inconnue

r

, s'appelle l'équation caractéristique de

(E)

. Son discriminant est

\Delta=b^2-4ac

.

Théorème : les trois cas

1) Si $\Delta>0$ : l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ . Les solutions de $(E)$ sont les fonctions :

y(x)=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x},\quad (A,B)\in\mathbb R^2

2) Si $\Delta=0$ : l'équation caractéristique a une racine double $r=-\dfrac{b}{2a}$ . Les solutions de $(E)$ sont les fonctions :

y(x)=(Ax+B)e^{rx},\quad (A,B)\in\mathbb R^2

3) Si $\Delta<0$ : l'équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées $p\pm iq$ . Les solutions de $(E)$ sont les fonctions (à valeurs réelles) :

y(x)=e^{px}\big(A\cos(qx)+B\sin(qx)\big),\quad (A,B)\in\mathbb R^2

Remarque

Comme pour l'ordre 1, deux conditions initiales (par exemple

y(0)

et

y'(0)

) permettent de déterminer les deux constantes

A

et

B

.

04 · À toi de jouer

Exercices · Équations différentielles

10 exercices corrigés, au niveau Sciences Mathématiques : premier ordre, second ordre (les trois cas), vérification directe et application concrète.

0 / 10 vérifiés

1

Exercice 1 · Premier ordre sans second membre

1 résolution

Résoudre l'équation différentielle $(E):y'=-2y$ .

2

Exercice 2 · Premier ordre avec second membre et condition initiale

1 résolution

Résoudre $(E):y'=3y-6$ , puis déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=1$ .

3

Exercice 3 · Mettre sous forme standard

1 résolution

Résoudre l'équation différentielle $(E):3y'-2y+6=0$ .

4

Exercice 4 · Second ordre, Δ>0

1 résolution

Résoudre $(E):y''-5y'+6y=0$ , puis déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=1$ et $f'(0)=0$ .

5

Exercice 5 · Second ordre, Δ=0

1 résolution

Résoudre $(E):y''-6y'+9y=0$ , puis déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=2$ et $f'(0)=1$ .

6

Exercice 6 · Second ordre, Δ<0

1 résolution

Résoudre $(E):y''+2y'+5y=0$ , puis déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=1$ et $f'(0)=0$ .

7

Exercice 7 · Oscillateur pur (p=0)

1 résolution

Résoudre $(E):y''+9y=0$ , puis déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=2$ et $f'(0)=3$ .

8

Exercice 8 · Application : décroissance radioactive

1 problème

La quantité $N(t)$ d'atomes radioactifs d'un échantillon vérifie $N'(t)=-\lambda N(t)$ où $\lambda>0$ est une constante, avec $N(0)=N_0$ . Exprimer $N(t)$ , puis déterminer la demi-vie $T$ (l'instant où $N(T)=\dfrac{N_0}{2}$ ) en fonction de $\lambda$ .

9

Exercice 9 · Vérification directe

1 démonstration

Vérifier que $f(x)=xe^{2x}$ est solution de $(E):y''-4y'+4y=0$ .

10

Exercice 10 · Second ordre, Δ>0 (deuxième exemple)

1 résolution

Résoudre $(E):y''+y'-6y=0$ , puis déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=0$ et $f'(0)=5$ .