2ème Bac Sciences Math · Semestre 1

Dérivabilité et Étude des fonctions

Nombre dérivé, tangente, opérations sur les dérivées, dérivée de la réciproque, monotonie, extremums, convexité : tous les outils pour mener une étude de fonction complète et rigoureuse.

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01 · Le nombre dérivé

Dérivabilité en un point, tangente, dérivabilité et continuité

La définition fondamentale — la limite du taux d'accroissement — et son interprétation graphique.

Dérivabilité en un point

Définition

Soit

f

définie sur un intervalle ouvert

I

contenant

x_0

. On dit que

f

est dérivable en $x_0$ si le taux d'accroissement de

f

x_0

admet une limite finie quand

x

tend vers

x_0

\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell\in\mathbb R \qquad \left(\text{ou, avec } h=x-x_0:\ \lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\ell\right)

Ce nombre $\ell$ est alors appelé le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ , noté $f'(x_0)$ .

Dérivabilité à droite / à gauche

$f$ est dérivable à droite en $x_0$ si $\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f_d'(x_0)\in\mathbb R$ .
$f$ est dérivable à gauche en $x_0$ si $\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f_g'(x_0)\in\mathbb R$ .
$f$ est dérivable en $x_0$ ssi $f_d'(x_0)$ et $f_g'(x_0)$ existent et sont égaux.

Exemple résolu — un point anguleux

Étudions la dérivabilité de $f(x)=|x|$ en $x_0=0$ .

\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{|x|}{x}=\begin{cases}1 & \text{si } x>0\\-1 & \text{si } x<0\end{cases}

Donc $f_d'(0)=1$ et $f_g'(0)=-1$ .

$f_d'(0)\neq f_g'(0)$ : f n'est pas dérivable en 0. La courbe présente un point anguleux en $O$ (deux demi-tangentes distinctes).

Interprétation graphique — la tangente

Propriété

f

est dérivable en

x_0

, la courbe

(C_f)

admet au point

M_0(x_0,f(x_0))

une tangente non verticale, de coefficient directeur

f'(x_0)

, d'équation :

T:\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

Cas particuliers

Si $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\pm\infty$ , $f$ n'est pas dérivable en $x_0$ , mais $(C_f)$ admet une tangente verticale d'équation $x=x_0$ .
Si $f_d'(x_0)\neq f_g'(x_0)$ (toutes deux finies), $(C_f)$ admet deux demi-tangentes distinctes en $M_0$ : c'est un point anguleux.

III

Dérivabilité et continuité

Théorème

f

est dérivable en

x_0

, alors

f

est continue en

x_0

Démonstration

Pour

x\neq x_0

au voisinage de

x_0

f(x)-f(x_0)=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\times(x-x_0)

Quand

x\to x_0

, le premier facteur tend vers

f'(x_0)\in\mathbb R

(f est dérivable en

x_0

) et le second tend vers

0

, donc par produit :

\displaystyle\lim_{x\to x_0}\big(f(x)-f(x_0)\big)=0

, c'est-à-dire

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

: f est continue en

x_0

Attention — la réciproque est fausse !

Une fonction peut être continue en

x_0

sans y être dérivable. L'exemple type est

f(x)=|x|

0

: continue, mais non dérivable (voir l'exemple ci-dessus).

02 · Calculer une dérivée

Opérations sur les dérivées, dérivée de la fonction réciproque

Les formules de calcul indispensables, et un théorème plus spécifique aux Sciences Mathématiques : dériver f⁻¹ sans la calculer.

Opérations sur les fonctions dérivables

Propriété

u

v

sont dérivables sur

I

, et

\lambda\in\mathbb R

(u+v)'=u'+v'

(\lambda u)'=\lambda u'

(uv)'=u'v+uv'

\left(\dfrac1v\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}\ (v\neq0)

\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\ (v\neq0)

(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}\ (n\in\mathbb Z^*)

\left(\sqrt u\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}\ (u>0)

(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)

Cas particulier très utile — dérivée de f(ax+b)

g(x)=f(ax+b)

avec

f

dérivable, alors

g'(x)=a\,f'(ax+b)

Dérivée de x ↦ xʳ et fonctions usuelles

(x^n)'=nx^{n-1}\ (n\in\mathbb Z)

\left(\sqrt[n]{x}\right)'=\dfrac1n\,x^{\frac1n-1}\ (x>0)

(x^r)'=r\,x^{r-1}\ (r\in\mathbb Q,\ x>0)

(\sin x)'=\cos x \qquad (\cos x)'=-\sin x

Exemple résolu

Dérivons $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ . On pose $u(x)=x^2+1>0$ , $u'(x)=2x$ :

$f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

Dérivabilité de la fonction réciproque

Théorème (spécifique Sciences Mathématiques)

Soit

f

continue et strictement monotone sur

I

, réalisant une bijection de

I

sur

J=f(I)

. Soit

x_0\in I

y_0=f(x_0)

Si $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)\neq0$ , alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0$ , et :

\left(f^{-1}\right)'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}=\dfrac{1}{f'\big(f^{-1}(y_0)\big)}

Cas où f'(x₀) = 0

f

est dérivable en

x_0

f'(x_0)=0

, alors

f^{-1}

n'est pas dérivable en

y_0

; la courbe

(C_{f^{-1}})

admet en

(y_0,x_0)

une tangente verticale (cohérent avec la symétrie des courbes par rapport à

y=x

Exemple résolu — sans calculer f⁻¹ explicitement

Soit $f(x)=x^3+2x+1$ sur $\mathbb R$ , continue et strictement croissante (car $f'(x)=3x^2+2>0$ ), donc bijective de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$ . Calculons $\left(f^{-1}\right)'(1)$ .

On cherche $x_0$ tel que $f(x_0)=1$ : $x_0=0$ convient (car $f(0)=1$ ). $f'(0)=2\neq0$ .

$\left(f^{-1}\right)'(1)=\dfrac{1}{f'(0)}=\dfrac12$ .

03 · Étudier une fonction

Sens de variation, extremums, convexité, plan d'étude

Le signe de f' pour les variations, le signe de f'' pour la convexité : la méthode complète pour construire une courbe.

VII

Sens de variation et signe de la dérivée

Théorème

Soit

f

dérivable sur un intervalle

I

$f$ est croissante sur $I$ $\iff$ $f'(x)\ge0$ pour tout $x\in I$ .
$f$ est décroissante sur $I$ $\iff$ $f'(x)\le0$ pour tout $x\in I$ .
$f$ est constante sur $I$ $\iff$ $f'(x)=0$ pour tout $x\in I$ .
Si $f'(x)>0$ sur $I$ sauf en un nombre fini de points où $f'$ s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ (idem pour strictement décroissante).

Ce théorème est en réalité une conséquence du théorème des accroissements finis (chapitre suivant), qui en donne la démonstration rigoureuse.

Exemple résolu

Soit $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb R$ . $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ .

$f'(x)\ge0 \iff x\le-1 \text{ ou } x\ge1$ .

f est strictement croissante sur $]-\infty,-1]$ et sur $[1,+\infty[$ , strictement décroissante sur $[-1,1]$ .

VIII

Extremums relatifs

Théorème

Soit

f

dérivable sur un intervalle ouvert

I

x_0\in I

Si $f$ admet un extremum relatif en $x_0$ , alors $f'(x_0)=0$ .
Réciproquement, si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum relatif en $x_0$ .

Attention

f'(x_0)=0

ne suffit pas : par exemple

f(x)=x^3

vérifie

f'(0)=0

, mais

f'

ne change pas de signe en

0

(positif de part et d'autre) :

f

est strictement croissante sur

\mathbb R

, pas d'extremum en 0 (point d'inflexion à tangente horizontale).

Exemple résolu — suite de l'exemple précédent

Pour $f(x)=x^3-3x$ : $f'$ s'annule et change de signe en $-1$ (de $+$ à $-$ ) et en $1$ (de $-$ à $+$ ).

$f(-1)=2$ est un maximum relatif ; $f(1)=-2$ est un minimum relatif.

Convexité, concavité, points d'inflexion

Définitions (via f'')

Soit

f

deux fois dérivable sur

I

Si $f''(x)\ge0$ sur $I$ , $f$ est convexe sur $I$ : $(C_f)$ est au-dessus de chacune de ses tangentes.
Si $f''(x)\le0$ sur $I$ , $f$ est concave sur $I$ : $(C_f)$ est en-dessous de chacune de ses tangentes.
Si $f''$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, $(C_f)$ traverse sa tangente en $x_0$ : $I(x_0,f(x_0))$ est un point d'inflexion.

Exemple résolu

Pour $f(x)=x^3-3x$ : $f''(x)=6x$ . $f''(x)\ge0\iff x\ge0$ .

f est concave sur $]-\infty,0]$ , convexe sur $[0,+\infty[$ ; le point $O(0,0)$ est un point d'inflexion (f'' change de signe en 0).

Branches infinies et plan d'étude d'une fonction

Rappel — branches infinies

Si $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ : $(C_f)$ admet une asymptote verticale $x=a$ .
Si $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b$ : $(C_f)$ admet une asymptote horizontale $y=b$ .
Si $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big[f(x)-(ax+b)\big]=0$ : $(C_f)$ admet une asymptote oblique $y=ax+b$ (on trouve souvent $a$ via $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ ).

Plan d'une étude de fonction complète

Domaine de définition ; parité / périodicité éventuelle (réduction du domaine d'étude).
Limites aux bornes du domaine ; asymptotes / branches infinies.
Calcul de $f'$ , étude de son signe, tableau de variation.
Extremums relatifs, éventuellement convexité via $f''$ .
Points remarquables (intersections avec les axes), tracé de la courbe.

À toi de jouer

Série d'exercices · Dérivabilité et Étude des fonctions

12 exercices corrigés en détail, niveau Sciences Mathématiques. Cherche sur ton cahier, puis clique pour vérifier.

0 / 12 vérifiés

Dérivabilité en un point par la définition

Soit $f(x)=\sqrt{x}$ . En utilisant la définition (limite du taux d'accroissement), montrer que $f$ est dérivable en $4$ et calculer $f'(4)$ .

Étude de dérivabilité d'une fonction définie par morceaux

Soit f définie par :

f(x)=\begin{cases}x^2+1 & \text{si } x\le1\\2x & \text{si } x>1\end{cases}

$f$ est-elle continue en 1 ? Dérivable en 1 ?

Équation de la tangente

Soit $f(x)=x^3-2x^2+1$ . Déterminer une équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $x_0=1$ .

Calculs de dérivées

Calculer la dérivée des fonctions suivantes, en précisant le domaine de dérivabilité :

$f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2+1}$
$g(x)=\sqrt{4-x^2}$
$h(x)=(3x+1)^{5}$

Dérivée de la fonction réciproque, sans calculer f⁻¹

Soit $f(x)=x^5+x$ définie sur $\mathbb R$ .

Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$ .
Calculer $\left(f^{-1}\right)'(2)$ .

Sens de variation et extremums

Soit $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x}$ définie sur $\mathbb R^*$ .

Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variation de f et donner les extremums relatifs.

Convexité et point d'inflexion

Soit $f(x)=x^4-6x^2+2$ sur $\mathbb R$ .

Calculer $f''(x)$ et étudier son signe.
En déduire les intervalles de convexité et les points d'inflexion de $(C_f)$ .

Une inégalité par l'étude des variations

Soit $f(x)=\sin x-x$ définie sur $[0,+\infty[$ .

En étudiant le sens de variation de $f$ , montrer que $\sin x\le x$ pour tout $x\ge0$ .

Asymptotes et branches infinies

Soit $f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}$ définie sur $\mathbb R\setminus\{1\}$ .

Montrer que $(C_f)$ admet une asymptote verticale et une asymptote oblique, dont on précisera les équations.

Étude complète d'une fonction rationnelle

Soit $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$ définie sur $D_f=\mathbb R\setminus\{1\}$ .

Calculer les limites de f aux bornes de son domaine.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe, et dresser le tableau de variation de $f$ .
Montrer que la droite $y=x+1$ est asymptote à $(C_f)$ en $\pm\infty$ .

Dérivabilité d'une fonction avec racine, étude complète

Soit $f(x)=x\sqrt{x}$ (c'est-à-dire $f(x)=x^{\frac32}$ ) définie sur $[0,+\infty[$ .

Étudier la dérivabilité de f en 0 (utiliser la définition). Que peut-on dire de la tangente en $O$ ?
Calculer $f'(x)$ pour $x>0$ et dresser le tableau de variation de f.

Problème de synthèse — bijection, réciproque, convexité

Soit $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-x$ définie sur $I=[1,+\infty[$ .

Étudier le sens de variation de $f$ sur $I$ , et montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à préciser.
Montrer que $f^{-1}$ est dérivable en $0=f(1)-1+1$ … plus précisément, calculer $\left(f^{-1}\right)'\left(-\dfrac23\right)$ .
Étudier la convexité de $f$ sur $I$ .

Dérivabilité et Étude des fonctions · Mathématiques, 2ème Bac Sciences Mathématiques, semestre 1.