1ère Bac Sciences · Semestre 2

Rotation dans le plan

Une transformation qui conserve tout — longueurs, angles et alignements — et le premier outil du programme pour prouver des perpendicularités et des égalités de longueur sans aucun calcul de coordonnées.

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propriétés de conservation

exercices corrigés

100%

corrigé

01 · La transformation qui tourne autour d'un point

Définition, rotation réciproque, caractérisation

Une rotation est entièrement déterminée par un centre et un angle — et, comme on le verra, aussi par l'image de deux points.

Définition

La rotation de centre

O

et d'angle

\alpha

transforme

M

M'

tel que :

OM'=OM

(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM'})=\alpha\ [2\pi]

On la note

r_{(O,\alpha)}

Remarques essentielles

Le centre $O$ est invariant : $r(O)=O$ .
Une rotation d'angle $\alpha=\dfrac\pi2$ est un quart de tour direct ; d'angle $-\dfrac\pi2$ , un quart de tour indirect.
La rotation de centre $O$ et d'angle $\pi$ est exactement la symétrie centrale par rapport à $O$ .

Rotation réciproque, caractérisation par deux points

Rotation réciproque

La rotation de centre

O

et d'angle

-\alpha

est appelée rotation réciproque de

r_{(O,\alpha)}

, notée

r^{-1}

: si

r(M)=M'

alors

r^{-1}(M')=M

Une rotation est déterminée par l'image de deux points

Soient

A,B

distincts et

A',B'

tels que

AB=A'B'

\overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{A'B'}

. Il existe une unique rotation qui transforme

A

A'

B

B'

, d'angle

\theta=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'})

02 · Ce qu'une rotation conserve

Propriétés de la rotation

Ces quatre propriétés sont l'outil principal pour prouver des égalités de longueur, des perpendicularités et des alignements sans aucune coordonnée.

III

Conservation des longueurs, des angles, du parallélisme

Propriété 1 — la rotation conserve

les longueurs ;
les angles (l'image d'un angle a la même amplitude) ;
le parallélisme (deux droites parallèles ont des images parallèles) ;
les aires.

Propriété 2 — la propriété la plus utile de tout le chapitre

Si $M'$ et $N'$ sont les images de $M$ et $N$ par la rotation de centre $C$ et d'angle $\theta$ , alors :

M'N'=MN

(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{M'N'})=\theta\ [2\pi]

Autrement dit : si l'on trouve une seule rotation qui envoie deux points donnés sur deux autres, le segment qui les relie et son image sont automatiquement de même longueur et font un angle égal à l'angle de la rotation.

Alignement, angles de vecteurs, images de droites et de cercles

Propriétés 3 et 4

Propriété 3 : une rotation transforme trois points alignés (dans un ordre) en trois points alignés dans le même ordre.
Propriété 4 : si $A',B',C'$ sont les images de $A,B,C$ , alors $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'})$ .

Images de figures usuelles

Pour une rotation $r$ et deux points $A\neq B$ :

l'image de la droite $(AB)$ est la droite $(A'B')$ ;
l'image du segment $[AB]$ est le segment $[A'B']$ ;
l'image du cercle $\mathcal C(O,R)$ est le cercle $\mathcal C(O',R)$ (même rayon), où $O'=r(O)$ .

03 · À toi de jouer

Exercices · Rotation dans le plan

6 exercices corrigés : tous se résolvent en trouvant la bonne rotation, puis en appliquant directement les propriétés du cours.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · Images directes sur un carré

1 étude

$ABCD$ est un carré de centre $O$ , tel que $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ est positif. Soit $r_A$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac\pi2$ , et $r_O$ une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ .

a. Déterminer $r_A(A)$ , $r_A(B)$ et $r_A(D)$ .

b. Comment choisir $\alpha$ pour avoir $r_O(A)=B$ ? Pour avoir $r_O(A)=C$ ?

Exercice 2 · Deux triangles isocèles rectangles

1 étude

$ABC$ est un triangle. On construit à l'extérieur deux triangles $ABD$ et $ACE$ , isocèles et rectangles en $A$ . Montrer que $BE=CD$ et $(BE)\perp(CD)$ .

Exercice 3 · Deux points en position symétrique sur un carré

1 étude

$ABCD$ est un carré de centre $O$ , tel que $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ est positif. $I$ et $J$ sont tels que $\overrightarrow{AI}=\dfrac14\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BJ}=\dfrac14\overrightarrow{BC}$ . Montrer que $OI=OJ$ et $(OI)\perp(OJ)$ .

Exercice 4 · Perpendicularité immédiate par la propriété 2

1 étude

Soit $r$ une rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac\pi2$ , et $M,N$ deux points distincts du plan. On note $E=r(M)$ et $F=r(N)$ . Montrer que $(EF)\perp(MN)$ .

Exercice 5 · Un triangle isocèle rectangle et son milieu

1 étude

$ABC$ est isocèle et rectangle en $A$ , avec $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ positif, et $O$ le milieu de $[BC]$ . $D,E$ sont tels que $\overrightarrow{AD}=\dfrac23\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CE}=\dfrac23\overrightarrow{CA}$ . Montrer que $ODE$ est isocèle et rectangle en $O$ .

Exercice 6 · Quatre points en rotation cyclique sur un carré

1 étude complète

$ABCD$ est un carré de centre $O$ . $M,N,P,Q$ sont les points tels que $\overrightarrow{AM}=\dfrac13\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BN}=\dfrac13\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{CP}=\dfrac13\overrightarrow{CD}$ , $\overrightarrow{DQ}=\dfrac13\overrightarrow{DA}$ . La droite $(AN)$ coupe $(DM)$ en $E$ et $(BP)$ en $F$ ; la droite $(CQ)$ coupe $(DM)$ en $H$ et $(BP)$ en $G$ . Soit $r$ la rotation de centre $O$ associée au carré (celle qui envoie chaque sommet sur le suivant).

a. Montrer que $r(M)=N$ , $r(N)=P$ , $r(P)=Q$ et $r(Q)=M$ .

b. Montrer que $r(F)=G$ , puis que $FOG$ est isocèle et rectangle en $O$ .

Rotation dans le plan · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat, semestre 2.