1ère Bac Sciences · Semestre 2

Étude des fonctions numériques

Décrire précisément l'allure d'une courbe à l'infini et sa forme locale : asymptotes, branches paraboliques, concavité, symétries.

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types d'asymptotes

exercices corrigés

100%

corrigé

y=ax+b

01 · Le comportement de la courbe à l'infini

Asymptotes et branches paraboliques

Quand x ou f(x) tend vers l'infini, la courbe admet une branche infinie — il en existe quatre types, entièrement caractérisés par des limites.

I.1

Asymptote verticale, asymptote horizontale

Définitions

Soit $f$ une fonction numérique et $a,b\in\mathbb R$ .

Si $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=b$ , alors $C_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=b$ .
Si $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty$ , alors $C_f$ admet une asymptote verticale d'équation $x=a$ .

Exemple

$f(x)=\dfrac{2x}{x-1}$ : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=2$ donc $C_f$ admet l'asymptote horizontale $y=2$ , et $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty$ donc $C_f$ admet l'asymptote verticale $x=1$ .

I.2

Asymptote oblique

Définition et propriété pratique

La droite $y=ax+b$ ( $a\neq0$ ) est une asymptote oblique de $C_f$ au voisinage de $\infty$ ssi :

\lim_{x\to\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0

En pratique, pour la déterminer :

a=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x},\qquad b=\lim_{x\to\infty}\big(f(x)-ax\big)

Exemple

$f(x)=2x-3+\dfrac{3}{x^2}$ : comme $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\big(f(x)-(2x-3)\big)=\lim_{x\to\infty}\dfrac{3}{x^2}=0$ , la droite $y=2x-3$ est asymptote oblique à $C_f$ aux deux voisinages.

Position relative de Cf et de l'asymptote

Le signe de $f(x)-(ax+b)$ donne la position de $C_f$ par rapport à $(\Delta):y=ax+b$ : positif → $C_f$ au-dessus, négatif → en dessous, nul → elles se coupent.

I.3

Branches paraboliques

Définitions

Si $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ , on étudie $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ :

Si cette limite vaut $0$ : branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
Si cette limite vaut $\infty$ : branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
Si cette limite vaut $a\in\mathbb R^*$ et $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\big(f(x)-ax\big)=\infty$ : branche parabolique de direction la droite $y=ax$ .

Direction : axe des abscisses

Direction : axe des ordonnées

Direction : la droite y = ax

02 · La forme locale de la courbe

Concavité, convexité, point d'inflexion

Le signe de la dérivée seconde décrit si la courbe est au-dessus ou en dessous de ses tangentes.

Concavité et point d'inflexion

Définitions

Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle ouvert $I$ .

$C_f$ est convexe sur $I$ si elle est au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$ .
$C_f$ est concave sur $I$ si elle est au-dessous de toutes ses tangentes sur $I$ .
$A(a,f(a))$ est un point d'inflexion si $C_f$ change de concavité en $a$ — la tangente y traverse la courbe.

Propriété (le critère pratique)

Si $f''(x)\geq0$ sur $I$ , alors $C_f$ est convexe sur $I$ .
Si $f''(x)\leq0$ sur $I$ , alors $C_f$ est concave sur $I$ .
Si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$ , alors $A(a,f(a))$ est un point d'inflexion de $C_f$ .

Exemple

$f(x)=x^3-3x^2+x+1$ : $f''(x)=6x-6=6(x-1)$ , qui s'annule en changeant de signe en $x=1$ . Donc $A(1,f(1))$ est un point d'inflexion de $C_f$ .

03 · Diviser le travail par deux

Éléments de symétrie d'une courbe

Un axe ou un centre de symétrie réduit l'étude d'une fonction à la moitié de son domaine.

III.1

Axe de symétrie

Propriété

La droite $x=a$ est un axe de symétrie de $C_f$ ( $f$ définie sur $D$ ) ssi :

\begin{gathered}(\forall x\in D)\ 2a-x\in D \\ (\forall x\in D)\ f(2a-x)=f(x)\end{gathered}

Exemple

$f(x)=\cos x$ : $f(2\pi-x)=\cos(2\pi-x)=\cos(-x)=\cos x=f(x)$ , donc $x=\pi$ est un axe de symétrie de $C_f$ .

III.2

Centre de symétrie

Propriété

Le point $I(a,b)$ est un centre de symétrie de $C_f$ ssi :

\begin{gathered}(\forall x\in D)\ 2a-x\in D \\ (\forall x\in D)\ f(2a-x)+f(x)=2b\end{gathered}

Exemple

$f(x)=x^3-3x+3$ : $f(-x)=-x^3+3x+3=6-f(x)$ , donc $f(-x)+f(x)=6=2\times3$ : le point $I(0,3)$ est centre de symétrie de $C_f$ .

04 · À toi de jouer

Exercices · Étude des fonctions numériques

6 exercices corrigés couvrant asymptotes, branches paraboliques, concavité et symétrie.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · Asymptotes verticale et horizontale

1 étude complète

Soit $f(x)=\dfrac{2x-1}{3x-6}$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ et en déduire les asymptotes de $C_f$ .

Exercice 2 · Asymptote oblique

1 démonstration

Soit $f(x)=2x-1+\dfrac{1}{x-3}$ ( $x\neq3$ ). Montrer que $C_f$ admet une asymptote oblique aux deux voisinages de l'infini que l'on déterminera.

Exercice 3 · Position relative avec l'asymptote

1 étude complète

Soit $f(x)=2+\dfrac{x-1}{x^2}$ ( $x\neq0$ ). Montrer que $y=2$ est asymptote horizontale à $C_f$ , puis étudier la position de $C_f$ par rapport à cette asymptote.

Exercice 4 · Branche parabolique

1 étude

Soit $f(x)=x+\sqrt x$ définie sur $[0,+\infty[$ . Étudier la branche infinie de $C_f$ au voisinage de $+\infty$ .

Exercice 5 · Concavité et points d'inflexion

1 étude complète

Soit $f(x)=\dfrac{1}{12}x^4-2x^2+x+\dfrac23$ . Calculer $f''(x)$ , étudier son signe et en déduire la concavité de $C_f$ et ses points d'inflexion.

Exercice 6 · Centre de symétrie

1 démonstration

Soit $f(x)=\dfrac{x^2-x}{x+1}$ ( $x\neq-1$ ). Montrer que $\Omega(-1,-3)$ est un centre de symétrie de $C_f$ .

Étude des fonctions numériques · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat, semestre 2.