1ère Bac Sciences · Semestre 1

Logique mathématique

Le langage de toutes les démonstrations : propositions, quantificateurs, opérations logiques et les sept types de raisonnement à connaître pour toute l'année.

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types de raisonnement

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\forall\ \exists

01 · Le langage des démonstrations

Proposition, fonction propositionnelle, quantificateurs

Avant de démontrer quoi que ce soit, il faut savoir ce qu'est un énoncé vrai ou faux, et comment le quantifier.

Proposition

Définition

Une proposition est un énoncé mathématique qui a un sens et qui est soit vrai, soit faux — jamais les deux à la fois. On la note souvent

P

Q

R

. Si

P

est vraie on écrit

V

(ou

1

), si elle est fausse on écrit

F

(ou

0

Exemples

$P$ : « 2 est un nombre pair » — vraie.
$Q$ : « $2+3=6$ » — fausse.

Fonction propositionnelle

Définition

Une fonction propositionnelle est un énoncé contenant une ou plusieurs variables (

x

x,y

, …). On la note

P(x)

P(x,y)

. Dès qu'on remplace la variable par un élément précis, elle devient une proposition (vraie ou fausse).

Exemple

A(x)

: « pour tout

x

\mathbb R

\sqrt{x^2}=x

» est une fonction propositionnelle : si

x=2

, la proposition obtenue est vraie ; si

x=-3

, elle est fausse.

III

Les quantificateurs

Quantificateur universel ∀

\forall x\in E,\ Q(x)

se lit « pour tout

x

E

Q(x)

». Exemple :

\forall x\in\mathbb R:\sqrt{x^2}=|x|

Quantificateur existentiel ∃

\exists x\in E,\ Q(x)

se lit « il existe

x

E

tel que

Q(x)

». Exemple :

\exists x\in\mathbb R: x+4\le3

Le symbole ∃!

\exists!\,x\in E,\ Q(x)

signifie qu'il existe un unique

x

E

vérifiant

Q(x)

. Exemple :

\exists!\,x\in\mathbb R: x+4=3

À retenir absolument

L'ordre de deux quantificateurs identiques ne change pas le sens : $\forall x,\forall y$ ou $\forall y,\forall x$ — même chose.
L'ordre de deux quantificateurs différents change tout le sens de la phrase : $\exists x\in\mathbb R,\forall y\in\mathbb R, x+y>0$ (faux) n'est pas la même chose que $\forall y\in\mathbb R,\exists x\in\mathbb R, x+y>0$ (vrai).
La négation de $\forall$ est $\exists$ , et la négation de $\exists$ est $\forall$ .

02 · Combiner des propositions

Négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence

Cinq opérations, cinq tables de vérité — la base de toute manipulation logique.

Négation, conjonction (∧), disjonction (∨)

Négation

La négation de

P

, notée

\overline P

\lnot P

, a une valeur de vérité opposée à celle de

P

. Propriété :

\overline{\overline P}=P

$P$	$\overline P$
$1$	$0$
$0$	$1$

Conjonction P ∧ Q (« et »)

Vraie seulement si

P

Q

sont toutes les deux vraies.

Disjonction P ∨ Q (« ou »)

Fausse seulement si

P

Q

sont toutes les deux fausses.

$P$	$Q$	$P\wedge Q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$0$

$P$	$Q$	$P\vee Q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$0$

Propriétés (∧ et ∨)

Commutativité : $P\wedge Q=Q\wedge P$ ; $P\vee Q=Q\vee P$ .
Associativité : $(P\wedge Q)\wedge R=P\wedge(Q\wedge R)$ (idem pour $\vee$ ).
Lois de De Morgan : $\overline{P\wedge Q}=\overline P\vee\overline Q$ et $\overline{P\vee Q}=\overline P\wedge\overline Q$ .
Distributivité : $P\wedge(Q\vee R)=(P\wedge Q)\vee(P\wedge R)$ , et de même pour $\vee$ sur $\wedge$ .

Implication et équivalence

Implication P ⇒ Q

La proposition

P\Rightarrow Q

est fausse uniquement dans le cas où

P

est vraie et

Q

est fausse.

P

s'appelle l'hypothèse,

Q

la conclusion.

$P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$

Vocabulaire à ne pas confondre

Réciproque de $P\Rightarrow Q$ : c'est $Q\Rightarrow P$ . Si $P\Rightarrow Q$ est vraie, la réciproque n'est pas forcément vraie.
Contraposée de $P\Rightarrow Q$ : c'est $\overline Q\Rightarrow\overline P$ , et elle est toujours équivalente à $P\Rightarrow Q$ .
Négation de l'implication : $\overline{P\Rightarrow Q}=P\wedge\overline Q$ .
Transitivité : $[(P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow R)]\Rightarrow(P\Rightarrow R)$ .

Équivalence P ⇔ Q

P\Leftrightarrow Q

signifie

(P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow P)

, on lit «

P

si et seulement si

Q

».

$P$	$Q$	$P\Leftrightarrow Q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$

03 · Sept techniques de démonstration

Les types de raisonnement

La boîte à outils qui servira toute l'année : à chaque énoncé son type de preuve adapté.

Les sept raisonnements à connaître

1Par contre-exemple

Pour montrer que

\forall x\in E, P(x)

est fausse, il suffit de trouver un

x

E

qui ne vérifie pas

P(x)

.
Exemple :

\sqrt2

-\sqrt2

sont irrationnels, mais leur somme

0

ne l'est pas — donc « la somme de deux irrationnels est irrationnelle » est fausse.

2Par équivalences successives

Pour montrer

P\Leftrightarrow Q

, on enchaîne

P\Leftrightarrow Q_1\Leftrightarrow Q_2\Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow Q

.
Exemple :

a^2+b^2=2ab\Leftrightarrow(a-b)^2=0\Leftrightarrow a=b

3Déductif (direct)

P\Rightarrow Q

est vraie et que

P

est donnée, alors

Q

est vraie : on l'applique directement.

4Par contraposée

Pour montrer

P\Rightarrow Q

, on montre

\overline Q\Rightarrow\overline P

— souvent plus simple quand la conclusion est une négation («

\neq

», « n'est pas… »).

5Par disjonction des cas

On découpe

E

en plusieurs sous-ensembles et on traite chaque cas séparément — typique pour les équations avec valeur absolue.

6Par l'absurde

Pour montrer

Q

, on suppose

\overline Q

vraie, et on aboutit à une contradiction avec une donnée

P

(on obtient

P

\overline P

vraies en même temps, ce qui est impossible).

7Par récurrence

Pour montrer

P(n)

vraie pour tout

n\ge n_0

: on vérifie

P(n_0)

, on suppose

P(n)

vraie (hypothèse de récurrence), puis on montre

P(n+1)

04 · Notations condensées

Les symboles Σ et Π

Deux notations qui reviendront constamment pour écrire des sommes et des produits sans les étaler.

VII

Somme Σ et produit Π

Symbole Σ (somme)

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1+a_2+\cdots+a_n

Exemple : $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}2i=2+4+6+\cdots+2n$ .

Symbole Π (produit)

\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_j=a_1\times a_2\times\cdots\times a_n

Trois formules à connaître par cœur

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^3=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$

05 · À toi de jouer

Exercices · Logique mathématique

10 exercices corrigés, un par type de raisonnement ou presque.

0 / 10 vérifiés

Exercice 1 · Vrai ou faux, attention à l'ordre des quantificateurs

4 assertions

a. $\exists x\in\mathbb R,\ (x+1=0\ \text{et}\ x+2=0)$

b. $(\exists x\in\mathbb R,\ x+1=0)\ \text{et}\ (\exists x\in\mathbb R,\ x+2=0)$

c. $\forall x\in\mathbb R,\ (x+1\neq0\ \text{ou}\ x+2\neq0)$

d. « 136 est un multiple de 17 » et « 2 divise 167 ».

Exercice 2 · Quatre assertions quantifiées

4 assertions

$P$ : $\exists x\in\mathbb R,\forall y\in\mathbb R,\ x+y>0$

$Q$ : $\forall x\in\mathbb R,\exists y\in\mathbb R,\ x+y>0$

$R$ : $\forall x\in\mathbb R,\forall y\in\mathbb R,\ x+y>0$

$S$ : $\exists x\in\mathbb R,\forall y\in\mathbb R,\ y^2>x$

Exercice 3 · Négations

3 propositions

a. $P\Rightarrow Q$

b. $P\ \text{et}\ (Q\ \text{et}\ R)$

c. $(P\ \text{et}\ Q)\Rightarrow(R\Rightarrow S)$

Exercice 4 · Raisonnement par équivalences successives

2 équivalences

a. Montrer que $\forall x,y\in\mathbb R:\ \dfrac{x^2+y^2}{2}=xy\iff x=y$ .

b. Montrer que, pour $x\in\mathbb R^*$ : $x+\dfrac1x>0\iff x>0$ .

Exercice 5 · Raisonnement par contre-exemple

2 assertions

a. Montrer que $\forall n\in\mathbb N^*:\ n^2+n+1$ est un nombre premier, est fausse.

b. Montrer que $\forall x\in\mathbb R:\ x^2+x\ge0$ est fausse.

Exercice 6 · Raisonnement direct (identité remarquable)

2 propriétés

a. Montrer que $\forall x\in\mathbb R_+^*:\ x+\dfrac9x\ge6$ .

b. Montrer que $\forall x\in\mathbb R:\ \dfrac{x^2+1}{2}\ge x$ .

Exercice 7 · Une inégalité avec a² + b² = 1

1 propriété

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a^2+b^2=1$ . Montrer que $|a+b|\le\sqrt2$ .

Exercice 8 · Raisonnement par contraposée

2 implications

a. Montrer que, pour $a,b,c\in\mathbb R$ : $a+b>2c\Rightarrow(a>c\ \text{ou}\ b>c)$ .

b. Montrer que, si $x\neq y$ , alors $(x+1)(y-1)\neq(x-1)(y+1)$ .

Exercice 9 · Raisonnement par l'absurde

1 propriété

Soit $n\in\mathbb N^*$ . Montrer que $n^2+1$ n'est pas le carré d'un entier.

Exercice 10 · Raisonnement par récurrence

1 propriété

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$ , le nombre $10^n-(-1)^n$ est divisible par $11$ .

Logique mathématique · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat, semestre 1.