Généralités sur les fonctions · Cours et exercices | 1ère Bac Sciences

01 · Les rappels essentiels

Parité, monotonie, extremums

Les définitions de base qui reviendront dans chaque étude de fonction de l'année.

I

Fonction paire, fonction impaire

Définitions

f

est paire sur

D_f

si et seulement si

D_f

est symétrique par rapport à 0 et

\forall x\in D_f:\ f(-x)=f(x)

.

f

est impaire sur

D_f

si et seulement si

D_f

est symétrique par rapport à 0 et

\forall x\in D_f:\ f(-x)=-f(x)

.

Ce que ça change concrètement

Si

D_f=I\cup I'

avec

I

et

I'

symétriques par rapport à 0, il suffit d'étudier

f

sur l'ensemble d'étude

D_E=D_f\cap\mathbb R^+

: si

f

est paire, les variations sur

I'

sont opposées à celles sur

I

; si elle est impaire, elles sont identiques.

II

Monotonie et extremums absolus

Monotonie sur un intervalle I

f

est croissante sur

I

ssi

\forall x,x'\in I: x<x'\Rightarrow f(x)\le f(x')

(le sens de l'inégalité ne change pas). Elle est décroissante ssi le sens change :

x<x'\Rightarrow f(x)\ge f(x')

. Elle est constante ssi

f(x)=f(x')

pour tous

x,x'\in I

.

Extremum absolu

f(x_0)

est le maximum absolu de

f

ssi

\forall x\in D_f:\ f(x)\le f(x_0)

. C'est le minimum absolu ssi

\forall x\in D_f:\ f(x_0)\le f(x)

.

Extremum relatif — la différence

f(x_0)

est un maximum (ou minimum) relatif s'il existe seulement un intervalle ouvert

I_{x_0}

centré en

x_0

sur lequel l'inégalité est vraie — pas nécessairement sur

D_f

tout entier.

02 · Deux nouveaux outils

Taux d'accroissement et fonction périodique

Le taux d'accroissement relie directement le signe d'un quotient au sens de variation.

III

Taux d'accroissement

Définition

Pour

x\neq x'

dans

I

, le taux d'accroissement de

f

entre

x

et

x'

est

T_f=\dfrac{f(x)-f(x')}{x-x'}

.

Propriétés — le lien avec la monotonie

$T_f\ge0$ sur $I$ $\iff$ $f$ croissante sur $I$ ( $T_f>0$ pour strictement croissante).
$T_f\le0$ sur $I$ $\iff$ $f$ décroissante sur $I$ ( $T_f<0$ pour strictement décroissante).
$T_f=0$ sur $I$ $\iff$ $f$ constante sur $I$ .

IV

Fonction périodique

Définition

f

est périodique sur

D_f

de période

T>0

ssi :

x\in D_f\Rightarrow(x+T\in D_f\ \text{et}\ x-T\in D_f)

et

\forall x\in D_f:\ f(x+T)=f(x)

(

T

étant le plus petit réel

>0

vérifiant cette égalité).

Exemples classiques et conséquence

$\sin$ et $\cos$ sont périodiques de période $2\pi$ ; $\tan$ est périodique de période $\pi$ .

Conséquence : $\forall n\in\mathbb Z,\forall x\in D_f:\ f(x+nT)=f(x)$ . Pour tracer la courbe, il suffit de construire $C_0$ sur un intervalle de longueur $T$ puis de la translater par $\vec u=kT\vec i$ pour chaque $k\in\mathbb Z$ .

03 · Comparer et combiner

Fonction bornée, comparaison, composée de deux fonctions

On termine les rappels par ce qui permettra d'étudier des fonctions plus complexes en les décomposant.

V

Fonction majorée, minorée, bornée

Majorée / minorée

f

est majorée par

M

sur

I

ssi

\forall x\in I:\ f(x)\le M

.

f

est minorée par

m

sur

I

ssi

\forall x\in I:\ m\le f(x)

.

Bornée

f

est bornée sur

I

ssi elle est à la fois majorée et minorée, ce qui équivaut à :

\exists A\in\mathbb R^+,\forall x\in I:\ |f(x)|\le A

.

VI

Comparaison de deux fonctions

Définitions

Soient

f

et

g

définies sur

I

.

f\le g

sur

I

signifie

\forall x\in I:\ f(x)\le g(x)

—

C_f

est alors sous

C_g

. De même,

f\ge g

place

C_f

au-dessus de

C_g

, et

f=g

signifie que les deux courbes sont confondues sur

I

.

VII

Composée de deux fonctions

Définition

Soient

f

définie sur

D_f

et

g

définie sur

D_g

. On pose

D_{g\circ f}=\{x\in\mathbb R\ /\ x\in D_f\ \text{et}\ f(x)\in D_g\}

. Sur cet ensemble, la fonction

h(x)=g(f(x))

est appelée la composée de

f

et

g

dans cet ordre, notée

h=g\circ f

.

Attention à l'ordre

En général

g\circ f\neq f\circ g

: il faut toujours préciser dans quel ordre les fonctions sont composées, et leurs domaines de définition sont généralement différents.

VIII

Monotonie de f + c, c·f et g ∘ f

Propriétés (via le taux d'accroissement)

$f$ et $f+c$ ont toujours le même sens de variation sur $I$ , quel que soit $c\in\mathbb R$ (car $T_{f+c}=T_f$ ).
Si $c>0$ , $f$ et $c\cdot f$ varient dans le même sens ; si $c<0$ , leurs variations sont opposées (car $T_{c\cdot f}=c\,T_f$ ).
Si $f$ et $g$ ont la même monotonie (sur $D_f$ et $f(D_f)\subset D_g$ respectivement), alors $g\circ f$ est croissante.
Si $f$ et $g$ ont des monotonies opposées, alors $g\circ f$ est décroissante.

04 · Les courbes à reconnaître au premier coup d'œil

Étude des fonctions de référence

Quatre familles de courbes qui reviendront sans cesse : la parabole, la cubique, l'hyperbole homographique et la racine décalée.

IX

A. La parabole : f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Forme canonique

f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}

, d'où

f\!\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=-\dfrac{\Delta}{4a}

.

Vocabulaire et propriétés

La courbe est une parabole de sommet $S\!\left(-\dfrac{b}{2a},f\!\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)$ , d'axe de symétrie $(D):\ x=-\dfrac{b}{2a}$ .
Si $a>0$ : parabole orientée vers le haut, $f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$ est le minimum absolu.
Si $a<0$ : parabole orientée vers le bas, $f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$ est le maximum absolu.

Exemple : $f(x)=2x^2+4x+3$ . Comme $a=2>0$ , sommet $S(-1,1)$ , axe $x=-1$ , minimum absolu $f(-1)=1$ .

x	$-\infty$	$-1$	$+\infty$
f	$\searrow$ $1$ $\nearrow$

X

B. La cubique : f(x) = ax³ (a ≠ 0)

Propriétés

$D_f=\mathbb R$ , et $f$ est impaire ( $a(-x)^3=-ax^3=-f(x)$ ), donc l'étude se fait sur $D_E=\mathbb R^+$ .
Si $a>0$ : $f$ strictement croissante sur $\mathbb R$ .
Si $a<0$ : $f$ strictement décroissante sur $\mathbb R$ .

Exemple : $f(x)=\dfrac12x^3$ ( $a>0$ ) — strictement croissante sur $\mathbb R$ , symétrique par rapport à l'origine.

XI

C. La fonction homographique : f(x) = (ax+b)/(cx+d), c ≠ 0

Domaine et taux d'accroissement

D_f=\mathbb R\setminus\left\{-\dfrac dc\right\}

. On pose

\Delta=ad-bc=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}

: un calcul du taux d'accroissement donne

T_f=\dfrac{\Delta}{(cx+d)(cx'+d)}

, dont le signe est celui de

\Delta

(le dénominateur est toujours positif de chaque côté de l'asymptote).

Vocabulaire et propriétés

La courbe est une hyperbole de centre de symétrie $\Omega\!\left(-\dfrac dc,\dfrac ac\right)$ , d'asymptotes $(D_v):\ x=-\dfrac dc$ (verticale) et $(D_h):\ y=\dfrac ac$ (horizontale).
Si $\Delta>0$ : $f$ strictement croissante sur chacun des deux intervalles de $D_f$ .
Si $\Delta<0$ : $f$ strictement décroissante sur chacun des deux intervalles de $D_f$ .

Exemple : $f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}$ . $\Delta=\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=2-1=1>0$ , donc $f$ est strictement croissante sur chaque intervalle. Centre $\Omega(-1,2)$ , asymptotes $x=-1$ et $y=2$ .

XII

D. La fonction f(x) = √(x + a)

Propriétés

$f(x)=\sqrt{x+a}$ est définie sur $[-a,+\infty[$ et strictement croissante sur cet intervalle.
$f(x)=\sqrt{a-x}$ est définie sur $]-\infty,a]$ et strictement décroissante sur cet intervalle.

Exemple : $f(x)=\sqrt{x+2}$ , $D_f=[-2,+\infty[$ , strictement croissante, point de départ $(-2,0)$ .

05 · À toi de jouer

Exercices · Généralités sur les fonctions

6 exercices corrigés, calqués sur les techniques du cours.

0 / 6 vérifiés

1

Exercice 1 · Domaines de définition

4 fonctions

a. $f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$

b. $f(x)=\dfrac{x^2+5x+9}{x^2-18}$

c. $f(x)=\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}$

d. $f(x)=\sqrt{\dfrac{x^2+5x+9}{x^2-18}}$

2

Exercice 2 · Sommet et tableau de variation

2 paraboles

a. $f(x)=x^2-\dfrac12x+4$

b. $f(x)=2x^2-4x-2$

3

Exercice 3 · Composées et leurs domaines

2 couples de fonctions

a. $f(x)=3x+6$ et $g(x)=x^2-1$ — calculer $f\circ g$ et $g\circ f$ .

b. $f(x)=\sqrt{1+x^2}$ et $g(x)=\sqrt{x^2-1}$ — calculer $f\circ g$ , $g\circ f$ et leurs domaines.

4

Exercice 4 · Minoration et composée gof

3 fonctions liées

On pose $f(x)=x^2+4x+1$ , $g(x)=\sqrt{x+4}$ , $h(x)=\sqrt{x^2+4x+5}$ .

a. Montrer que $f$ est minorée par $-3$ , et que $h$ est minorée par $1$ .

b. Vérifier que $h=g\circ f$ , puis étudier les variations de $h$ sur $]-\infty,-2]$ et $[-2,+\infty[$ .

5

Exercice 5 · Racines d'une équation cubique lues graphiquement

1 étude complète

On pose $f(x)=x^2-4x+3$ et $g(x)=\dfrac{1}{x-1}$ , et $(E):\ x^3-5x^2+7x-4=0$ .

a. Donner la nature de $C_f$ , et les points d'intersection de $C_f$ avec les axes du repère.

b. Montrer que $(E)$ équivaut à $f(x)=g(x)$ , puis situer graphiquement sa (ses) solution(s).

6

Exercice 6 · Monotonie d'une composée sur un intervalle

1 étude complète

On pose $g(x)=-x^2+2x+2$ et $f(x)=\sqrt{x+1}$ .

a. Calculer $g\circ f(x)$ pour $x\in[-1,3]$ .

b. Étudier les variations de $g\circ f$ sur $[-1,3]$ .