1ère Bac Sciences · Semestre 2

La dérivation

Le nombre dérivé, la tangente, la fonction dérivée et son lien direct avec le sens de variation — le socle de toute l'étude de fonctions à venir.

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règles de dérivation

exercices corrigés

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corrigé

f'(a)

01 · La pente d'une courbe en un point

Nombre dérivé, tangente, dérivabilité latérale

Le nombre dérivé est une limite — et cette limite est exactement le coefficient directeur de la tangente.

Nombre dérivé en un point

Définition

f

est dérivable en

a

s'il existe

l\in\mathbb R

tel que

\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=l

. On note

l=f'(a)

, le nombre dérivé de

f

a

Exemple

Pour $f(x)=2x^2+2x$ en $a=1$ :

\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{2x^2+2x-4}{x-1}=\dfrac{2(x-1)(x+2)}{x-1}=2(x+2)\xrightarrow[x\to1]{}6

Donc $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=6$ .

Interprétation géométrique — la tangente

Propriété

f

est dérivable en

a

, la courbe

C_f

admet en

A(a,f(a))

une tangente

(T)

d'équation :

(T):\ y=f'(a)(x-a)+f(a)

III

Dérivabilité à gauche et à droite

Définitions

f_d'(a)=\displaystyle\lim_{x\to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}

f_g'(a)=\displaystyle\lim_{x\to a^-}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}

Le critère complet de dérivabilité

f

est dérivable en

a

ssi

f

est dérivable à gauche et à droite de

a

f_d'(a)=f_g'(a)

. Sinon, la courbe présente un point anguleux en

a

, avec deux demi-tangentes distinctes.

Exemple classique — f(x) = |x| en 0

\dfrac{|x|-0}{x-0}=\dfrac{x}{x}=1\ (x>0),\qquad \dfrac{|x|-0}{x-0}=\dfrac{-x}{x}=-1\ (x<0)

$f_d'(0)=1\neq f_g'(0)=-1$ : $f$ n'est pas dérivable en $0$ (point anguleux).

02 · De la valeur en un point à la fonction entière

Fonction dérivée, dérivées usuelles, opérations

Le tableau des dérivées usuelles et les règles d'opération permettent de dériver n'importe quelle fonction du programme sans repasser par la limite.

Dérivées des fonctions usuelles

f(x)	f'(x)
$k\ (k\in\mathbb R)$	$0$
$x$	$1$
$x^n\ (n\in\mathbb N^*)$	$nx^{n-1}$
$\dfrac1x$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\sqrt x$	$\dfrac{1}{2\sqrt x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$

Opérations sur les dérivées

Les formules à connaître par cœur

$(f+g)'=f'+g'$ , $(k f)'=k f'$

$(fg)'=f'g+g'f$

$\left(\dfrac1f\right)'=-\dfrac{f'}{f^2}$ ( $f\neq0$ ), $\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-g'f}{g^2}$ ( $g\neq0$ )

$(\sqrt f\,)'=\dfrac{f'}{2\sqrt f}$ ( $f>0$ ), $(f^n)'=n f' f^{n-1}$

$\big(f(ax+b)\big)'=a\,f'(ax+b)$

Exemple

$f(x)=\sin(3x+2)$ : $f'(x)=3\cos(3x+2)$ .

Dérivées successives

Définition

La dérivée de

f'

s'appelle la dérivée seconde, notée

f''

. On définit de même

f^{(n)}

, la dérivée à l'ordre

n

, par

f^{(n)}=\big(f^{(n-1)}\big)'

03 · À quoi ça sert

Sens de variation, extremums, équation différentielle

Le signe de la dérivée pilote entièrement le sens de variation — c'est l'application la plus importante de tout le chapitre.

VII

Signe de f′ et sens de variation

Le résultat central de l'analyse

Si $f'(x)=0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .
Si $f'(x)>0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f'(x)<0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .

VIII

Extremum

Propriété

Si $f$ admet un extremum en $a$ , alors $f'(a)=0$ . Réciproquement, si $f'(a)=0$ et $f'$ change de signe en $a$ , alors $f$ admet un extremum en $a$ .

Attention — la réciproque seule ne suffit pas

f'(a)=0

ne garantit pas un extremum si

f'

ne change pas de signe (exemple :

f(x)=x^3

0

Équation différentielle y″ + ω²y = 0

Solution générale

Les solutions de $y''+\omega^2y=0$ ( $\omega\in\mathbb R$ ) sont exactement les fonctions :

y:x\mapsto\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x),\qquad \alpha,\beta\in\mathbb R

Exemple

$y''+16y=0$ a pour solutions $y(x)=\alpha\cos(4x)+\beta\sin(4x)$ (car $\omega^2=16\Rightarrow\omega=4$ ).

04 · À toi de jouer

Exercices · La dérivation

6 exercices corrigés, calqués sur les techniques essentielles du cours.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · Nombre dérivé par la définition

1 calcul

Montrer que $f(x)=x^2+x-3$ est dérivable en $a=-2$ et calculer $f'(-2)$ .

Exercice 2 · Point anguleux avec valeur absolue

1 étude complète

Soit $f(x)=|x^2-1|$ . Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche et à droite de $x_0=1$ , et donner une interprétation géométrique.

Exercice 3 · Dériver un produit

1 calcul

Calculer la dérivée de $f(x)=(5x^2+1)(3x-1)$ .

Exercice 4 · Calculer une limite grâce au nombre dérivé

1 limite

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to\frac\pi6}\dfrac{2\sin x-1}{x-\frac\pi6}$ en reconnaissant un nombre dérivé.

Exercice 5 · Variations et extremums

1 étude complète

Étudier les variations de $f(x)=x^3-6x+1$ sur $\mathbb R$ et donner ses extremums éventuels.

Exercice 6 · Résoudre une équation différentielle

2 équations

a. Résoudre $y''+16y=0$ .

b. Résoudre $2y''+9y=0$ .

La dérivation · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat, semestre 2.