1ère Bac Sciences · Semestre 1

Les suites numériques

Suites arithmétiques, suites géométriques, et la technique-clé pour toute l'année : faire apparaître une suite auxiliaire arithmétique ou géométrique pour percer une récurrence compliquée.

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familles de suites

exercices corrigés

100%

corrigé

01 · Le vocabulaire des suites

Généralités, suite bornée, monotonie

Une suite n'est qu'une fonction dont la variable est un entier — tout le vocabulaire des fonctions se retrouve ici.

Définition et vocabulaire

Définition

Soit

I\subset\mathbb N

. Toute application

u:I\to\mathbb R

s'appelle une suite numérique, notée

(u_n)_{n\in I}

Vocabulaire

$u_n$ s'appelle le terme général de la suite.
$u_{n_0}$ s'appelle le premier terme, où $n_0$ est le plus petit élément de $I$ .
$u_{n_0}+u_{n_0+1}+\cdots+u_n$ s'appelle la somme des $n-n_0+1$ premiers termes.

Suite récurrente

Une suite peut être donnée par une relation de récurrence, par exemple

u_0=3,\ u_1=4

u_{n+2}=2u_{n+1}-u_n

— pour calculer

u_{i+2}

il faut connaître

u_i

u_{i+1}

(suite récurrente d'ordre 2).

Suite majorée, minorée, bornée

Définitions

(u_n)_{n\ge n_0}

est majorée par

M

ssi

\forall n\ge n_0:\ u_n\le M

, minorée par

m

ssi

\forall n\ge n_0:\ m\le u_n

, et bornée ssi elle est à la fois majorée et minorée.

III

Monotonie d'une suite

Définitions

(u_n)_{n\ge n_0}

est croissante ssi

\forall n,n'\ge n_0:\ n>n'\Rightarrow u_n\ge u_{n'}

, et décroissante ssi

n>n'\Rightarrow u_n\le u_{n'}

(idem avec

>

strict pour les versions strictes).

Le critère le plus pratique — un seul terme à comparer

$(u_n)$ croissante $\iff$ $\forall n\ge n_0:\ u_{n+1}\ge u_n$ (strictement si $>$ ).
$(u_n)$ décroissante $\iff$ $\forall n\ge n_0:\ u_{n+1}\le u_n$ (strictement si $<$ ).
$(u_n)$ constante $\iff$ $\forall n\ge n_0:\ u_{n+1}=u_n$ .

Inutile de comparer tous les couples $(n,n')$ : il suffit d'étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ .

02 · La première famille de référence

Suite arithmétique

On ajoute toujours la même quantité pour passer d'un terme au suivant.

Définition

(u_n)_{n\ge n_0}

est arithmétique de raison

r

ssi

\forall n\ge n_0:\ u_{n+1}-u_n=r

(ou

u_{n+1}=u_n+r

), avec

r

constant.

Terme général

Formules

$\forall n\ge n_0:\ u_n=u_{n_0}+(n-n_0)r$ , et plus généralement pour $p,q\ge n_0$ : $u_q=u_p+(q-p)r$ .

Somme des n premiers termes

Formule

S_n=\sum_{i=p}^{n}u_i=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=\dfrac{u_p+u_n}{2}\times(n-p+1)

Autrement dit : $S=\dfrac{(\text{premier terme})+(\text{dernier terme})}{2}\times(\text{nombre de termes})$ .

03 · La deuxième famille de référence

Suite géométrique

On multiplie toujours par la même quantité pour passer d'un terme au suivant.

VII

Définition

(u_n)_{n\ge n_0}

est géométrique de raison

q\neq0

ssi

\forall n\ge n_0:\ u_{n+1}=q\times u_n

(ou

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q

u_n\neq0

VIII

Terme général

Formules

$\forall n\ge n_0:\ u_n=u_{n_0}\times q^{n-n_0}$ , et pour $p,q'\ge n_0$ : $u_{q'}=u_p\times q^{q'-p}$ .

Somme des n premiers termes

Formule (attention au cas q = 1)

Si $q\neq1$ : $S_n=\displaystyle\sum_{i=p}^n u_i=u_p\times\dfrac{q^{n-p+1}-1}{q-1}$ .

Si $q=1$ : tous les termes sont égaux, donc $S_n=u_p\times(n-p+1)$ .

04 · Trois termes consécutifs

Moyenne arithmétique, moyenne géométrique

Un raccourci très utile quand on connaît deux termes qui encadrent un troisième.

Les deux propriétés

Moyenne arithmétique

a,b,c

sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, alors

a+c=2b

(car

b-a=c-b=r

Moyenne géométrique

a,b,c

sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique, alors

ac=b^2

(car

\dfrac ba=\dfrac cb=q

05 · À toi de jouer

Exercices · Les suites numériques

6 exercices corrigés : les deux familles de référence, deux récurrences classiques à percer avec une suite auxiliaire, et les moyennes.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · Suite arithmétique explicite

1 suite

On pose $u_n=2n+3$ pour $n\ge0$ .

a. Montrer que $(u_n)$ est arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.

b. Calculer $u_{50}$ , puis $S=u_0+u_1+\cdots+u_{50}$ .

Exercice 2 · Suite géométrique explicite

1 suite

On pose $u_n=2\times5^n$ pour $n\ge0$ .

a. Montrer que $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.

b. Calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_{10}$ (sans calculer chaque terme).

Exercice 3 · Suite auxiliaire géométrique (récurrence homographique)

1 étude complète

$(u_n)$ définie par $u_0=3$ , $u_{n+1}=\dfrac{2}{1+u_n}$ . On pose $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}$ .

a. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser ses éléments caractéristiques.

b. En déduire $u_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{10}$ .

Exercice 4 · Suite auxiliaire géométrique (récurrence affine)

1 étude complète

$(u_n)$ définie par $u_0=-3$ , $u_{n+1}=3u_n+8$ . On pose $v_n=u_n+4$ .

a. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser ses éléments caractéristiques.

b. En déduire $u_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{10}$ .

Exercice 5 · Deux suites explicites, sommes croisées

1 étude complète

On pose $u_n=\dfrac14(2^n+4n-5)$ et $v_n=\dfrac14(2^n-4n+5)$ pour $n\ge0$ , puis $a_n=u_n+v_n$ et $b_n=u_n-v_n$ .

a. Montrer que $(a_n)$ est géométrique et $(b_n)$ est arithmétique ; préciser leurs éléments caractéristiques.

b. Calculer $S_1=\sum_{k=0}^{n}a_k$ et $S_2=\sum_{k=0}^n b_k$ , puis en déduire $S_3=\sum_{k=0}^n u_k$ et $S_4=\sum_{k=0}^n v_k$ .

Exercice 6 · Moyenne arithmétique et moyenne géométrique

2 applications

a. $u_i=5$ et $u_{i+2}=17$ sont deux termes d'une suite arithmétique. Calculer $u_{i+1}$ .

b. $u_i=4$ et $u_{i+2}=9$ sont deux termes positifs d'une suite géométrique. Calculer $u_{i+1}$ .

Les suites numériques · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat, semestre 1.