1ère Bac Sciences · Semestre 1

Barycentre dans le plan

Le point d'équilibre d'un système de points pondérés — et l'outil le plus puissant du programme pour prouver des alignements et des concourances sans aucun calcul de coordonnées.

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propriétés-clés

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01 · Le cas le plus simple

Barycentre de deux points pondérés

Un point pondéré, c'est un point affecté d'un coefficient — le barycentre est le point d'équilibre du système.

Définition et existence

Vocabulaire

Dans l'écriture

a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec0

, le nombre

a

s'appelle le poids (ou coefficient) du point

A

. Le couple

(A,a)

est un point pondéré, et

S=\{(A,a),(B,b)\}

un système pondéré.

Théorème d'existence

Soient

(A,a)

(B,b)

deux points pondérés avec

A\neq B

. Si

a+b\neq0

, il existe un unique point

G

tel que

a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec0

;

G

s'appelle le barycentre du système

S

. Si de plus

a=b

G

s'appelle isobarycentre (ou centre de gravité) de

A

B

— c'est alors le milieu de

[AB]

Preuve — d'où sort l'unicité

a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec0 \iff \overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}

Comme $A$ , $B$ et le réel $\dfrac{b}{a+b}$ sont fixés, il n'y a qu'un seul point $G$ vérifiant cette égalité vectorielle.

Invariance et propriété caractéristique

Invariance

G

est barycentre de

\{(A,a),(B,b)\}

, alors pour tout

k\in\mathbb R^*

G

est aussi barycentre de

\{(A,ka),(B,kb)\}

— multiplier tous les poids par un même réel non nul ne change pas le barycentre.

Propriété caractéristique

G

est barycentre de

\{(A,a),(B,b)\}

ssi

a+b\neq0

et pour tout point

M

du plan :

a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=(a+b)\overrightarrow{MG}

Le résultat le plus utile de tout le chapitre

En prenant

M=A

(ou

M=B

), on obtient

\overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}

: les points

A

B

G

sont donc toujours alignés. C'est ce fait, combiné à la propriété caractéristique, qui permet de prouver des alignements sans aucune coordonnée.

III

Construction de G

On divise $[AB]$ en $|a+b|$ segments égaux de longueur $d=\dfrac{AB}{|a+b|}$ . $G$ est alors à $|b|$ segments de $A$ , dans le sens de $A$ vers $B$ si $\dfrac{b}{a+b}>0$ , dans le sens opposé sinon.

Exemple : $(A,2)$ et $(B,3)$ — $\dfrac{b}{a+b}=\dfrac35$ , donc $G$ est aux 3/5 de $[AB]$ à partir de $A$ .

Application — ensembles de points

Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\|2\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}\|=12$ , avec $G$ barycentre de $\{(A,2),(B,4)\}$ :

\begin{gathered} \|2\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}\|=12 \iff \|6\overrightarrow{MG}\|=12 \\ \iff MG=2 \end{gathered}

L'ensemble cherché est le cercle $\mathcal C(G,2)$ .

Coordonnées de G

Formule

Dans un repère

(O,\vec i,\vec j)

, si

A(x_A,y_A)

B(x_B,y_B)

, le barycentre

G

\{(A,a),(B,b)\}

a pour coordonnées :

x_G=\dfrac{ax_A+bx_B}{a+b},\qquad y_G=\dfrac{ay_A+by_B}{a+b}

02 · Le cas du triangle

Barycentre de trois points pondérés

Même logique qu'avec deux points, avec un outil supplémentaire décisif : l'associativité.

Définition, invariance, propriété caractéristique

Théorème d'existence

a+b+c\neq0

, il existe un unique point

G

tel que

a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\vec0

. Si

a=b=c\neq0

G

est l'isobarycentre de

A,B,C

— le centre de gravité du triangle

ABC

Invariance et propriété caractéristique (mêmes idées qu'à 2 points)

Multiplier $a,b,c$ par un même $k\neq0$ ne change pas $G$ . Et pour tout point $M$ :

a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=(a+b+c)\overrightarrow{MG}

Associativité — le barycentre partiel

Théorème (l'outil le plus puissant du chapitre)

G_2

est le barycentre de

\{(A,a),(B,b)\}

(avec

a+b\neq0

) et

G

le barycentre de

\{(A,a),(B,b),(C,c)\}

, alors

G

est aussi le barycentre de

\{(G_2,a+b),(C,c)\}

Autrement dit

On peut remplacer deux points du système par leur barycentre, affecté de la somme de leurs poids, sans changer

G

. C'est ce qui permet de ramener un problème à 3 points à un problème à 2 points (donc à un alignement).

Exemple : le centre de gravité $G$ d'un triangle $ABC$ est le barycentre de $\{(A,1),(B,1),(C,1)\}$ . En regroupant $B$ et $C$ (isobarycentre $A'$ , milieu de $[BC]$ ), $G$ est barycentre de $\{(A,1),(A',2)\}$ , d'où $\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AA'}$ : $G$ est aux 2/3 de chaque médiane, en partant du sommet.

VII

Coordonnées de G

Formule

x_G=\dfrac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c},\qquad y_G=\dfrac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}

03 · On généralise

Barycentre de quatre points pondérés

Rien de nouveau conceptuellement : toutes les mêmes propriétés se prolongent.

VIII

Définition, invariance, associativité, coordonnées

Théorème d'existence

a+b+c+d\neq0

, il existe un unique

G

tel que

a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}+d\overrightarrow{GD}=\vec0

. Si

a=b=c=d\neq0

G

est l'isobarycentre — le centre de gravité du quadrilatère

ABCD

L'associativité se prolonge exactement pareil

On peut remplacer deux ou trois points du système par leur barycentre (affecté de la somme de leurs poids) sans changer

G

. Par exemple, si

G_2

est barycentre de

\{(A,a),(B,b)\}

G_2'

\{(C,c),(D,d)\}

, alors

G

est barycentre de

\{(G_2,a+b),(G_2',c+d)\}

Coordonnées

x_G=\dfrac{ax_A+bx_B+cx_C+dx_D}{a+b+c+d},\qquad y_G=\dfrac{ay_A+by_B+cy_C+dy_D}{a+b+c+d}

04 · À toi de jouer

Exercices · Barycentre dans le plan

6 exercices corrigés : coordonnées, réduction algébrique, associativité pour prouver alignements et concourances, et ensembles de points.

0 / 6 vérifiés

Exercice 1 · Coordonnées du barycentre de trois points

1 calcul

Le plan est muni d'un repère $(O,\vec i,\vec j)$ . On considère les points pondérés $(A,3)$ , $(B,1)$ et $(C,1)$ , avec $A(1,1)$ , $B(4,1)$ et $C(-1,3)$ . Calculer les coordonnées du barycentre $G$ .

Exercice 2 · Réduire le système autrement

1 étude

Soit $G$ le barycentre de $(A,2)$ et $(B,1)$ .

a. Montrer que $A$ est le barycentre de $(G,-3)$ et $(B,1)$ .

b. Montrer que $B$ est le barycentre de $(G,-6)$ et $(A,4)$ .

Exercice 3 · Un quadrilatère et un alignement

1 étude

$ABCD$ est un quadrilatère, $I$ le milieu de $[AC]$ , $J$ le milieu de $[BD]$ , et $G$ défini par $\overrightarrow{AG}=\dfrac12(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC})$ .

a. Montrer que $G$ est le barycentre de $(A,2)$ , $(B,-1)$ , $(C,2)$ et $(D,-1)$ .

b. En déduire que $I$ , $J$ et $G$ sont alignés.

Exercice 4 · Deux alignements par associativité

1 étude

$ABC$ est un triangle, $I$ le milieu de $[BC]$ , et $G$ le barycentre de $(A,-1)$ , $(B,2)$ et $(C,2)$ .

a. Montrer que $G$ appartient à la droite $(AI)$ .

b. Soit $H$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$ . Montrer que $C$ , $G$ et $H$ sont alignés.

Exercice 5 · Trois barycentres partiels, un milieu à trouver

1 étude

$ABC$ est un triangle. On pose : $I$ barycentre de $(A,2),(C,1)$ ; $J$ barycentre de $(A,1),(B,2)$ ; $K$ barycentre de $(C,1),(B,-4)$ .

a. Montrer que $B$ est le barycentre de $(K,3)$ et $(C,1)$ .

b. En déduire le barycentre de $(A,2),(K,3),(C,1)$ .

c. Montrer que $J$ est le milieu de $[IK]$ .

Exercice 6 · Ensembles de points définis par des normes

1 triangle, 3 ensembles

$ABC$ est un triangle tel que $AB=6$ , $BC=4$ et $CA=5$ , et $G$ son centre de gravité. Déterminer les ensembles de points $M$ du plan tels que :
a. $\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\|=6$
b. $\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|=\|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\|$
c. $\|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\|=\|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\|$

Barycentre dans le plan · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat, semestre 1.