Vecteurs de l'espace · Cours et exercices | 1ère Bac Sciences Math

01 · Du plan à l'espace

Vecteurs de l'espace, calcul vectoriel

Toutes les propriétés des vecteurs du plan restent valables dans l'espace — rien à réapprendre, tout à prolonger.

I

Notion de vecteur dans l'espace

Rappel

Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ de l'espace $\mathcal E$ est défini par sa direction (la droite $(AB)$ ), son sens et sa norme $\|\overrightarrow{AB}\|=AB$ . Toutes les propriétés vues dans le plan restent valables dans chaque plan de $\mathcal E$ .

À retenir

$I$ milieu de $[AB]$ $\iff$ $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}$ .
$ABCD$ est un parallélogramme de l'espace ssi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ .
Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .

Cube ABCDEFGH — ABCD la base, EFGH la face du dessus (E au-dessus de A, etc.)

II

Propriétés du calcul vectoriel

Propriétés

Pour tous vecteurs, tous réels $k,k'$ :

\begin{gathered}(k+k')\vec u=k\vec u+k'\vec u,\qquad k(\vec u+\vec v)=k\vec u+k\vec v \\ k(k'\vec u)=(kk')\vec u,\qquad 1\cdot\vec u=\vec u \\ k\vec u=\vec 0\iff k=0\ \text{ou}\ \vec u=\vec 0\end{gathered}

02 · Deux vecteurs, une même direction

Colinéarité et définition vectorielle d'une droite

Colinéarité de vecteurs, alignement de points, et l'écriture vectorielle d'une droite de l'espace.

III

Colinéarité de deux vecteurs

Définition

\vec u

et

\vec v

sont colinéaires ssi il existe

\alpha\in\mathbb R

tel que

\vec u=\alpha\vec v

ou

\vec v=\alpha\vec u

.

Conséquences immédiates

Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ colinéaires $\iff$ $(AB)\parallel(CD)$ .
$A,B,C$ alignés $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires.

IV

Définition vectorielle d'une droite

Définition

Soit $A$ un point et $\vec u\neq\vec0$ . La droite $\mathcal D(A,\vec u)$ de vecteur directeur $\vec u$ passant par $A$ est :

\mathcal D(A,\vec u)=\big\{M\in\mathcal E\ /\ \overrightarrow{AM}=\alpha\vec u,\ \alpha\in\mathbb R\big\}

03 · Trois vecteurs dans un même plan

Vecteurs coplanaires, plan défini vectoriellement

Le concept central du chapitre : décider si trois vecteurs — ou quatre points — vivent dans un même plan.

V

Vecteurs coplanaires

Définition

$A,B,C,D$ sont coplanaires ssi ils appartiennent à un même plan.
$\vec u,\vec v,\vec w$ sont coplanaires ssi il existe $A,B,C,D$ coplanaires tels que $\vec u=\overrightarrow{AB}$ , $\vec v=\overrightarrow{AC}$ , $\vec w=\overrightarrow{AD}$ .

Le critère pratique le plus utile

\vec u,\vec v,\vec w

sont coplanaires ssi

\vec w

s'écrit en fonction de

\vec u

et

\vec v

:

\vec u,\vec v,\vec w\ \text{coplanaires}\iff \exists\,x,y\in\mathbb R,\ \vec w=x\vec u+y\vec v

En particulier : si deux des trois vecteurs sont colinéaires, alors les trois sont automatiquement coplanaires.

VI

Détermination vectorielle d'un plan

Définition

Un plan est déterminé par un point $A$ et deux vecteurs non coplanaires $\vec u,\vec v$ (vecteurs directeurs du plan), noté $P(A,\vec u,\vec v)$ :

P(A,\vec u,\vec v)=\big\{M\in\mathcal E\ /\ \overrightarrow{AM}=x\vec u+y\vec v,\ x,y\in\mathbb R\big\}

04 · Traduire le parallélisme en vecteurs

Parallélisme des droites et des plans

Trois critères vectoriels, tous construits sur la colinéarité et la coplanarité déjà vues.

VII

Les trois critères de parallélisme

Droite ∥ droite

\Delta(B,\vec v)\parallel\mathcal D(A,\vec u)\iff \vec v=\alpha\vec u,\ \alpha\in\mathbb R^*

Droite ∥ plan

$\mathcal D(A,\vec u)$ et $P(B,\vec v,\vec w)$ :

\mathcal D(A,\vec u)\parallel P(B,\vec v,\vec w)\iff \vec u=x\vec v+y\vec w,\ x,y\in\mathbb R

Plan ∥ plan

$P(A,\vec u,\vec v)$ et $Q(B,\vec u_1,\vec v_1)$ sont parallèles ssi $\vec u,\vec v,\vec u_1$ et $\vec u,\vec v,\vec v_1$ sont coplanaires (chacun des deux vecteurs directeurs de $Q$ s'écrit en fonction de $\vec u$ et $\vec v$ ).

05 · À toi de jouer

Exercices · Vecteurs de l'espace

6 exercices corrigés sur cube, parallélépipède et tétraèdre, couvrant Chasles, coplanarité et parallélisme.

0 / 6 vérifiés

1

Exercice 1 · Simplifier une somme vectorielle (Chasles)

1 simplification

$ABCDEFGH$ un cube. Simplifier $\vec t=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{FH}$ .

2

Exercice 2 · Coplanarité de quatre points

1 démonstration

Soient $A,B,C,D,E$ tels que $2\overrightarrow{EA}+4\overrightarrow{EB}-5\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{ED}=\vec0$ . Montrer que $A,B,C,D$ sont coplanaires.

3

Exercice 3 · Coplanarité dans un parallélépipède

1 démonstration

$ABCDEFGH$ un parallélépipède de centre $O$ , $I$ le milieu de $[AD]$ . On pose $\vec u=\overrightarrow{EG}$ , $\vec v=\overrightarrow{FC}$ , $\vec w=\overrightarrow{IO}$ . Montrer que $\vec u,\vec v,\vec w$ sont coplanaires.

4

Exercice 4 · Parallélisme de deux droites (tétraèdre)

1 démonstration

$ABCD$ un tétraèdre. Soient $N,Q,P,M$ tels que $\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AD}$ , $\overrightarrow{CQ}=3\overrightarrow{CB}$ , $\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{CD}$ , $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}$ . Montrer que $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.

5

Exercice 5 · Parallélisme via décomposition (tétraèdre)

1 démonstration

$ABCD$ un tétraèdre, $E$ le milieu de $[BC]$ . Soient $L,K$ tels que $\overrightarrow{CL}=\dfrac12\big(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\big)$ et $\overrightarrow{DK}=\dfrac14\overrightarrow{CB}-\dfrac12\overrightarrow{AD}$ . Montrer que $(LD)\parallel(EK)$ .

6

Exercice 6 · Droite parallèle à un plan

1 démonstration

$ABCDEFGH$ un cube. $K$ est le symétrique de $D$ par rapport à $H$ . Montrer que $(AK)\parallel(BCG)$ .