1ère Bac Sciences Math · Semestre 2

Le produit vectoriel

Le dernier outil du programme : un vecteur perpendiculaire à deux autres, dont la norme mesure une aire — la clé de toutes les applications de fin d'année.

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1

vecteur, une aire

6

exercices corrigés

100%

corrigé

01 · Un nouveau produit entre vecteurs

Orientation de l'espace, définition du produit vectoriel

Contrairement au produit scalaire (un nombre), le produit vectoriel de deux vecteurs est un troisième vecteur, perpendiculaire aux deux premiers.
I

Orientation de l'espace

Base directe / indirecte

Une base (ı⃗,ȷ⃗,k⃗)(\vec\imath,\vec\jmath,\vec k) est directe si elle vérifie la règle de la main droite (ou du bonhomme d'Ampère). Permuter deux vecteurs d'une base directe donne une base indirecte ; une permutation circulaire (ȷ⃗,k⃗,ı⃗\vec\jmath,\vec k,\vec\imath) conserve le caractère direct.

II

Définition du produit vectoriel

Définition

Pour u⃗,v⃗\vec u,\vec v non colinéaires, le produit vectoriel u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v est l'unique vecteur w⃗\vec w tel que :

  • w⃗\vec w est orthogonal à u⃗\vec u et à v⃗\vec v ;
  • (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec u,\vec v,\vec w) forme une base directe ;
  • ∥w⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥ ∣sin⁡α∣\|\vec w\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,|\sin\alpha|, α\alpha étant l'angle géométrique entre u⃗\vec u et v⃗\vec v.

Si u⃗,v⃗\vec u,\vec v sont colinéaires (ou l'un est nul), u⃗∧v⃗=0⃗\vec u\wedge\vec v=\vec0.

Propriétés

u⃗∧u⃗=0⃗,v⃗∧u⃗=−(u⃗∧v⃗) (antisymeˊtrie)\vec u\wedge\vec u=\vec0,\qquad \vec v\wedge\vec u=-(\vec u\wedge\vec v)\ \text{(antisymétrie)}
(u⃗+v⃗)∧w⃗=(u⃗∧w⃗)+(v⃗∧w⃗)(bilineˊariteˊ)(\vec u+\vec v)\wedge\vec w=(\vec u\wedge\vec w)+(\vec v\wedge\vec w)\quad\text{(bilinéarité)}

02 · Calculer une aire, calculer un produit

Interprétation géométrique et expression analytique

La norme du produit vectoriel donne directement l'aire d'un parallélogramme — et une formule analytique simple permet de le calculer sans angle.
III

Aire d'un triangle, d'un parallélogramme

Propriétés

Pour A,B,CA,B,C non alignés :

Aire du paralleˊlogramme ABA′C=∥AB→∧AC→∥\text{Aire du parallélogramme }ABA'C=\big\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big\|
Aire(ABC)=12∥AB→∧AC→∥\text{Aire}(ABC)=\dfrac12\big\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big\|
IV

Expression analytique

Propriété

Dans une base orthonormée directe, pour u⃗(x,y,z)\vec u(x,y,z) et v⃗(x′,y′,z′)\vec v(x',y',z') :

u⃗∧v⃗=(yz′−zy′) ı⃗−(xz′−zx′) ȷ⃗+(xy′−yx′) k⃗\vec u\wedge\vec v=(yz'-zy')\,\vec\imath-(xz'-zx')\,\vec\jmath+(xy'-yx')\,\vec k

soit u⃗∧v⃗(yz′−zy′, zx′−xz′, xy′−yx′)\vec u\wedge\vec v\big(yz'-zy',\ zx'-xz',\ xy'-yx'\big).

03 · Un outil, quatre usages

Applications du produit vectoriel

Alignement, équation de plan, intersection de plans, distance point-droite : quatre problèmes classiques, résolus en une ligne.
V

Alignement, équation de plan

Alignement de trois points

A,B,C aligneˊs  ⟺  AB→∧AC→=0⃗A,B,C\text{ alignés}\iff\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec0

Équation cartésienne du plan (ABC)

Le vecteur AB→∧AC→\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} est normal au plan (ABC)(ABC) :

M∈(ABC)  ⟺  AM→⋅(AB→∧AC→)=0M\in(ABC)\iff\overrightarrow{AM}\cdot\big(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big)=0
VI

Intersection de deux plans, distance point-droite

Droite d'intersection de deux plans

Si n⃗,n⃗′\vec n,\vec n' sont les normaux de deux plans sécants P,P′P,P', alors n⃗∧n⃗′\vec n\wedge\vec n' est un vecteur directeur de leur droite d'intersection.

Distance d'un point à une droite

Pour D(A,u⃗)\mathcal D(A,\vec u) et MM :

d(M,D)=∥u⃗∧AM→∥∥u⃗∥d(M,\mathcal D)=\dfrac{\big\|\vec u\wedge\overrightarrow{AM}\big\|}{\|\vec u\|}

04 · À toi de jouer

Exercices · Le produit vectoriel

6 exercices corrigés couvrant norme via l'angle, expression analytique, alignement, aire d'un triangle, équation de plan, et distance d'un point à une droite.

0 / 6 vérifiés

1
Exercice 1 · Norme du produit vectoriel via l'angle
1 calcul

Soient u⃗,v⃗\vec u,\vec v tels que ∥u⃗∥=2\|\vec u\|=2, ∥v⃗∥=5\|\vec v\|=5 et (u⃗,v⃗^)=π6(\widehat{\vec u,\vec v})=\dfrac\pi6. Calculer ∥u⃗∧v⃗∥\|\vec u\wedge\vec v\|.

2
Exercice 2 · Expression analytique
1 calcul

Soient u⃗(2,−1,1)\vec u(2,-1,1) et v⃗(1,3,−2)\vec v(1,3,-2). Calculer u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v.

3
Exercice 3 · Alignement de trois points
1 vérification

Soient A(1,0,−1)A(1,0,-1), B(2,1,0)B(2,1,0), C(3,2,1)C(3,2,1). Les points A,B,CA,B,C sont-ils alignés ?

4
Exercice 4 · Aire d'un triangle
1 calcul

Soient A(0,0,0)A(0,0,0), B(1,2,0)B(1,2,0), C(0,1,3)C(0,1,3). Calculer l'aire du triangle ABCABC.

5
Exercice 5 · Équation cartésienne d'un plan
1 calcul

Soient A(0,0,0)A(0,0,0), B(1,2,0)B(1,2,0), C(0,1,3)C(0,1,3) (les points de l'exercice précédent). Déterminer l'équation cartésienne du plan (ABC)(ABC).

6
Exercice 6 · Distance d'un point à une droite
1 calcul

Calculer la distance du point M(2,2,2)M(2,2,2) à la droite D(A(1,0,0),u⃗(0,1,1))\mathcal D(A(1,0,0),\vec u(0,1,1)).

Le produit vectoriel · Mathématiques, 1ère année Baccalauréat Sciences Math, semestre 2.